[PDF] Le réseau micro-vasculaire structure la distribution de la pression

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To link to this article : DOI: 10.1051/meca/2009061 URL : http://dx.doi.org/10.1051/meca/2009061 This is an author-deposited version published in: http://oatao.univ-toulouse.fr/

Eprints ID: 9192

To cite this version:

Guibert, Romain and Fonta, Caroline and Plouraboué, Franck Le réseau micro- vasculaire structure la distribution de la pression sanguine. (2009) Mécanique & Industries, vol. 10 (n° 3-4). pp. 255-260. ISSN 1296-2139

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OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible. Any correspondence concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@listes.diff.inp-toulouse.fr Le r´eseau micro-vasculaire structure la distribution de la pression sanguine

Romain Guibert

1,2,3,4,a, Caroline Fonta3,4etFranck PlourabouÂe1,2

1

Universite de Toulouse, INPT, UPS, IMFT (Institut de Mecanique des Fluides de Toulouse), Allee Camille Soula,

31400 Toulouse, France

2CNRS, IMFT, 31400 Toulouse, France

3Universite de Toulouse, UPS, Centre de Recherche Cerveau et Cognition, 31400 Toulouse, France

4CNRS, CerCo, 31400 Toulouse, France

R´

esum´e {La rheologie sanguine est complexe et non-lineaire. Elle presente, dans les plus petits vaisseaux,

des variations de viscosite eαective importantes liees au conβnement des globules rouges dans les capillaires

et des dissymetries de repartition des globules rouges aux bifurcations. Ces deux eαets, appeles eαet

Fahrus-Lindquist et segregation de phase, conduisent a une modelisation non-lineaire du ux sanguin

en reponse a une diαerence de pression imposee. Le calcul numerique complet de diαerents modeles non-

lineaires de rheologie sanguine, dans des geometries reelles tridimensionnelles de micro-reseaux vasculaires,

permet d'exhiber certaines proprietes remarquables de ces ecoulements et de ces modeles. D'une part,

nous constatons que diαerents modeles conduisent a des repartitions de la pression sanguine tres proches,

pour une gamme d'hematocrite systemique imposee physiologique. D'autre part, diαerents modeles de

segregation de phase conduisent a des repartitions d'hematocrite tres diαerentes. Toutefois, la repartition

de l'hematocrite n'aαecte que tres faiblement la repartition de la pression. Ce constat nous montre que c'est

la micro-structure vasculaire qui impose la distribution de pression, alors que les variations de viscosite

sanguine avec l'hematocrite impactent βnalement faiblement sur cette distribution.

Mots cl´es :Micro-circulation / rheologie sanguine / eαet Fahrus-Lindquist / cortex / viscosite

apparente / separation de phase / micro-tomographie Abstract {Cerebral micro-vascular networks control the blood pressure distribution when considering in vitro blood rheology models.Blood rheology is complex and non-linear. In small

vessels, the eαective viscosity variations are important due to red blood cells packing in capillaries, the

so-called Fahrus-Lindquist eαect, whilst concomitantly phase segregation appears in bifurcations. Direct

numerical simulations of diαerent non-linear rheological models of the blood are performed on realistic

three-dimensional micro-vascular networks. These simulations exhibit two signiβcant results. First, various

rheological models lead to very similar pressure distribution over the whole range of physiologically relevant

hematocrits. Secondly, diαerent models for phase segregation lead to very distinct hematocrit distributions

in the micro-vacular network. Nevertheless, the hematocrit distribution very weakly aαects the pressure

distribution. Hence, our results suggest that the micro-vacular network structure mainly controls the

pressure distribution in micro-circulation, whilst the eαect of hematocrit distribution is weak.

Key words:Micro-circulation / blood rheology / Fahrus-Lindquist eαect / cortex / apparent viscosity /

phase separation / micro-tomography

1 Introduction

L e s developpements ?ecents des techniques d'image- ?ie pe?mettent, ent?e aut?es, une meilleu?e connaissance des systemes biologiques, et plus pa?ticulie?ement des aAuteur pour correspondance : R o main.Guibert@imft.fr?eseaux mic?o-vasculai?es ce?eb?aux. Ces ?eseaux ont d eja ete dec?its qualitativement dans la litte?atu?e [1], mais le u? topologie et leu? mo?phologie quantitative sont plus dicilement accessibles. De nouvelles techniques d'ima- ge?ie t?idimensionnelle haute ?esolution pe?mettent au- jou?d'hui leu? desc?iption exhaustive [2]. La ?econst?uc- t i on nume?ique de la topologie complete de ces ?eseaux a pa?ti? de leu? image?ie a haute ?esolution [3] pe?met

Nomenclature

ddiam`etre d"un vaisseau (!m) d,ddiam`etres segments fils d"une bifurcation (!m) dfdiam`etre du segment p`ere d"une bifurcation (!m) !aviscosit´e apparente du sang (Pa.s) !pviscosit´e du plasma sanguin (Pa.s) htaux d"h´ematocrite (taux volumique des globules rouges) syst´emique htaux d"h´ematocrite dans un segment fils hftaux d"h´ematocrite dans le segment p`ere qd´ebit sanguin (m3.s) qd´ebit dans un segments fils (m3.s) qfd´ebit dans le segment p`ere (m3.s) ppression sanguine intra-vasculaire (Pa) d'envisager la modelisation des ecoulements micro- vasculaires. Cette modelisation met en jeu une rheologie non-lineaire couplee a une topologie complexe tres heterogene. La modelisation et la simulation de ces ecoulements sont largement abordees dans la litterature de ces vingt dernieres annees sur des reseaux simples [ 4,5]. U ne approche continue est alors utilisee pour decrire la rheologie sanguine, et des modeles de perte de charge de type((reseaux))sont utilises pour decrire la relation entre le debit sanguin et la diαerence de pression entre deux bi- furcations. Notre contribution a pour but de quantiβer la distri- bution de la pression sanguine au sein de reseaux vascu- laires intra-corticaux, et d'evaluer l'impact des diαerents modeles proposes de viscosite et de separation de phase sur cette distribution.

2 Acquisition et traitements

Les reseaux micro-vasculaires etudies sont preleves dans le cortex cerebral de primate (marmousets). La preparation des echantillons consiste en l'injection d'un agent de contraste dans l'ensemble du systeme vasculaire. Une preparation speciβque permet de traiter puis de βxer le tissu injecte avant de l'inclure dans une resine. Les echantillons sont ensuite images par micro-tomographie aux rayons X. Cette technique permet d'imager des echantillons avec une resolution proche du micron sur un volume de l'ordre d'une dizaine de millimetres cube sur toute la profondeur du cortex (on trouvera plus de details sur la preparation dans [ 2]). L es volumes de donnees obtenus sont tres importants et diciles a manipuler sous la forme d'images en ni- veaux de gris. Le tres bon contraste de ces donnees permet de les traiter sans perte d'information par des methodes classiques de traitements d'images. La binarisa- tion est eαectuee par une segmentation par hysteresis. Les images binaires sont ensuite βltrees a l'aide d'operateurs de dilatation-erosion avec un element structurant cubique tridimensionnel qui permet la suppression des ^lots isoles de pixels, et des((trous))de pixels noirs dans les vais-

seaux. L'image est ensuite squelettisee pour obtenir unedescription vectorisee du reseau, plus legere et facilement

manipulable, qui contient toutes les informations rela- tives a la topologie. Finalement, une methode speciβque de raccordement des vaisseaux interrompus est utilisee [ 3] p our la meilleure reconstruction de la topologie du reseau. L'ensemble de ces traitements a ete developpe dans le cadre de la these de L. Risser [6]. 3 ´E l´ements de micro-circulation

3.1 Les effets F°ahraeus et F°ahraeus-Lindquist

De nombreuses etudes in vitro se sont interessees

a la modelisation de la rheologie sanguine dont les speciβcites sont principalement liees a la presence des globules rouges, et a leur aptitude a se deformer lorsqu'ils se deplacent dans les plus petits vaisseaux. Ces etudes ont mis en evidence que le taux de glo- bules rouges qui s'ecoulent dans un tube (hematocrite de tube) est plus faible que le taux d'hematocrite systemique. Ce phenomene est nomme eαet Fahrus. Par ailleurs, lorsque le diametre des tubes devient compa- rable a ceux rencontres dans les vaisseaux de la micro- circulation, la viscosite apparente du sang decro^t avec ce diametre. Ce phenomene remarquable s'appelle l'ef- fet Fahrus-Lindquist. Il s'explique par la structuration de l'ecoulement diphasique plasma/globules rouges qui concentre la position des globules au centre des vais- seaux. Le plasma sanguin lubriβe alors l'ecoulement et minimise les frottements, ce qui a pour consequence de faire decro^tre la viscosite apparente du sang. Ce compor- tement sature lorsque les globules ne peuvent plus su- samment se deformer. Ces deux phenomenes sont couples.

Les modeles continusin vit?oproposes par Pries

et al. [

7] ou Kiani et al. [8] sont construits sur le taux

d 'hematocrite systemique que l'on noterah. Ces deux modeles, illustres sur les βgures1a,1b, ont des comporte- m ents tres proches pour des taux d'hematocriteh <0,6, qui sont dans la gamme des valeurs physiologiquement interessantes. Le seuil de viscosite minimale est cepen- dant atteint pour des diametres legerement diαerents pour les deux modeles. En revanche, pour la gamme

110100d (mm)0246

ma / mp (a)

110100d (mm)024681012

ma / mp (b)

Fig. 1.V

i scositea pparenter elativee nf onctiond ud iametred 'apresl esmo delesd eK ianie ta l.( traitsc ontinus)e tP riese ta l.

(traits pointilles) pour dierents taux d'hematocrite systemique (a)h= 0,2 (carre),h= 0,4 (triangle haut) eth= 0,6 (cercle),

(b)h= 0,7 (losange) eth= 0,9 (etoile). d'hematocriteh>0;6, les comportements sont signiβ- cativement diαerents entre les deux modeles. Par ailleurs, il est interessant de montrer les variations de la viscosite apparente avec le taux d'hematocrite. La

βgure

2a illustre la faible in

uence du taux d'hematocrite s ur la viscosite apparente lorsque sa valeur est inferieure a

0,6. Plus precisement on observe des variations inferieures

a 20 % pour des hematocrites dans la gamme 0< h <

0;6. Cette caracteristique de la rheologie sanguine est

generique dans tous les modeles de la litterature que nous avons analyses. Elle montre que la viscosite apparente est beaucoup plus sensible aux variations des diametres des vaisseaux qu'au taux d'hematocrite. Les contribu- tions respectives de la structure du reseau (associee au diametre des vaisseaux) et de la rheologie sanguine sur la distribution de la pression sanguine semblent donc bien diαerentes. Des simulations completes de la distribution de pression permettront d'approfondir cette observation qualitative sur les modeles de rheologie.

3.2 La sepa?ation de phase

La separation de phase se caracterise par une

repartition non uniforme des globules rouges dans les branches d'une bifurcation. Ici encore, diαerents modeles empiriques non-lineaires ont ete proposes par Dellimore et al. [9] Pries et al. [7], pour decrire des observations e xperimentales eαectuees in vivo. Le premier modele [ 9] c onsidere seulement l'in uence des debits sanguins dans les branches pere/βls de la bifurcation sur la distribution des hematocrites. En revanche le modele propose en [ 7], p lus complexe, tient compte a la fois de la repartition des de bits mais aussi des diametres des diαerentes branches, et de l'hematocrite pere. Ces modeles se basent sur une approche locale du phenomene de segregation de phase et

necessitent la connaissance locale du sens de l'ecoulement.En eαet, c'est seulement dans les bifurcations pour les-quelles l'ecoulement se produit du vaisseau pere (indicef)

vers les βls (indicesffetfi) que ces modeles s'appliquent. Dans la suite nous appellerons bifurcations((entrantes)), celles pour lesquelles il y a un debit entrant et deux debits sortants, dans la mesure ou le debit qui entre est celui du vaisseau pere de la bifurcation. Dans les autres bifur- cations pour lesquelles il y a deux debits entrants et un seul sortant, et que nous appellerons((sortantes)), seule la conservation du debit d'hematocrite devra ^etre appliquee.

La βgure

2b illustre le rapport d'hematocrite predit

p ar ces modeles dans les bifurcations entrantes. Il est im- portant de noter que ces deux modeles peuvent conduire a des rapports d'hematocrite superieurs a un dans une certaine gamme de rapports de debits entre le vaisseau pere et les vaisseaux βls, et pour certains diametres. Par consequent, ces modeles peuvent predire des hematocrites βls superieures a un lorsque le taux d'hematocrite pere est eleve, ce qui n'est pas acceptable du point de vue de la modelisation. Nous ne donnons pas ici pour ^etre synthetique les details mathematiques des diαerents modeles cites ci-dessus qui peuvent ^etre trouves dans les ref erences proposees.

4 Modele hyd?odynamique

Les vaisseaux de la micro-circulation ont tous la pro- priete d'^etre fortement allonges de sorte que le rapport diametre/longueur est de l'ordre de 1/10. L'approxima- tion de lubriβcation peut alors ^etre utilisee avec proβt pour evaluer les pertes de charge dans des tubes com- plexes. A partir de l'analyse asymptotique de l'equation de Stokes, il est possible de trouver une loi de Darcy locale qui caracterise l'ecoulement de uide dans une conduite cylindrique dont le diametre local est petit devant les variations longitudinales de celle-ci. Le debitqest alors 5 7 9 5 7 9

0 0,2 0,40,60,8 1

h0246 ma / mp (a)

0 0,2 0,40,60,8 1

qa / qf00,250,50,7511,25 ha / hf (b)

Fig. 2.(

a )V iscositea pparenter elativee nf onctiond ut auxd 'hematocrited 'apresl esmo delesd eK ianie ta l.( traitsc ontinus)

et Pries et al. (traits pointilles) pour dierents diametresd= 5,7,9!m. (b) Rapport des hematocrites en fonction du rapport

des debits d'apres les modeles de separation de phase de Dellimore et al. (traits continus) et Pries et al. (traits pointilles) pour

les bifurcations caracterises pardf=dα=dβ= 20!m ( croix)e tdf=dβ= 20!m, dα= 15!m( triangleb as). proportionnel au gradient de pression longitudinal?p,de sorte que q=-π d4

128μa?p(1)

o`u le coefficient de proportionnalit´e qui relieqet?p appel´e conductance hydraulique d´epend de la puissance quatre du diam`etre local, et dans une moindre mesure des propri´et´es rh´eologiques du fluide puisqu"il est seule- ment inversement proportionnel `a la viscosit´e de celui-ci.

En int´egrant la relation (

1) entre deux bifurcations, on

o btient une relation de perte de charge qui relie les pres- sions locales aux bifurcations et qui tient compte de la viscosit´e apparente du fluide ainsi que des variations du diam`etre des vaisseaux. Les mod`eles pr´ec´edemment cit´es sont utilis´es ici pour ´evaluer la viscosit´e apparente. Pour ´evaluer la limite quasi-statique des distributions de pres- sions dans ces r´eseaux, on ´ecrit la conservation des d´ebits en chaque noeud associ´ee `a chaque bifurcation : iq i= 0(2)

La relation (

2) conduit `a l"´elaboration d"un syst`eme

l in´eaire creux appliqu´e aux noeuds de pression. Sa r´esolution s"effectue `a l"aide d"une m´ethode directe adapt´ee aux matrices creuses, en tenant compte des condi- tions aux limites impos´ees sur les noeuds de pression situ´es au bord du domaine. La r´esolution du probl`eme de pression constitue en fait la premi`ere ´etape d"un pro- cessus it´eratif propos´e en [

7]. La seconde ´etape consiste en

l a r´esolution de l"h´ematocrite associ´ee `a chaque bifurca- tion. Les variations d"h´ematocrites r´esultant de la prise en

compte du ph´enom`ene de s´eparation de phase n´ecessitentune seconde loi de conservation dans les bifurcations??sor-

tantes??? ihquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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