Filtrage actif parallèle des harmoniques des réseaux de distribution PDF

Analyse de filtres numériques

Un filtre est souvent un système linéaire dont. – le rôle est de modifier le contenu spectral d'un signal sans y ajouter de nouvelles composantes.

CIRCUIT FILTRE

Le principe de base du circuit filtre ou circuit en cercle repose sur le fait de permettre au patient la réinhalation partielle ou totale des gaz expirés. 1

QUELQUES MÉTHODES DE FILTRAGE EN TRAITEMENT DIMAGE

Le noyau de convolution h s'appelle la réponse impulsionnelle du filtre. En effet si le signal d'entrée e est la mesure de Dirac ? on obtient s ? h ? ? ? h.

Papiers filtres pour les laboratoires et lindustrie

De plus le grade du papier filtre

Traitement du signal

4.4.2 Exemple 1 : le filtre moyenneur lisseur . Ce point est important pour comprendre le rôle des fenêtres d'analyse. Si la fenêtre a.

Filtrage actif parallèle des harmoniques des réseaux de distribution

29 mars 2018 courant harmonique important dans la capacité du filtre et dans le réseau ... L'onduleur joue alors le rôle d'un filtre appelé filtre actif.

PHYSIOLOGIE DU REIN

3 janv. 2011 Récupèrent les composants indispensables qui ont filtré pour les retourner dans le sang. Jouent aussi un rôle endocrine :.

CHAPITRE I La chaîne dacquisition - restitution

Ce filtre est communément appelé filtre anti-repliement. Son rôle est de limiter le contenu spectral du signal aux fréquences qui nous intéressent. Ainsi il

Traitement des images

Dans le cadre du cours le filtrage linéaire se fera donc par la convolution d'un filtre exprimé dans le domaine spatial avec l'image. On appelle ce filtre un

Cours Modulation Analogique

principe du récepteur et le rôle des filtres et mélangeurs. signal par un autre (filtre de mise en forme) mais pas sa bande spectrale (c'est-.

QUELQUES M´ETHODES DE FILTRAGE EN TRAITEMENT

D"IMAGE

par

Ma¨ıtine Bergounioux

R´esum´e. -Nous pr´esentons quelques m´ethodes?de base?en filtrage des images num´eriques. Un bref aper¸cu du filtrage unidimensionnel est donn´e puis les techniques lin´eaires et non lin´eaires sont abord´ees. Nous terminons par une ouverture sur les m´ethodes variationnelles tr`es utilis´ees actuellementpour la d´econvolution et la res- tauration des images. Abstract(Some filtering methods in image processing). -We present basic image processing denoising methods. We first recall breifly the main features of linear

1D filtering technqiues. Then we present linear and non linear standard methods. We

end with variational methods that are more and more used for deconvolution and image restoration.

Table des mati`eres

1. Introduction..................................................... 1

2. Filtrage unidimensionnel......................................... 3

3. D´ebruitage par filtrage lin´eaire.................................. 6

4. D´ebruitage par filtrage non lin´eaire.............................. 24

5. Filtrage variationnel............................................. 31

Appendice A. Quelques outils math´ematiques...................... 41 R´ef´erences.......................................................... 52

1. Introduction

L"´etude d"un signal n´ecessite de supprimer au maximum le bruit parasite dˆu aux conditions d"acquisition. L"un des buts du filtrage est de ?nettoyer?le signal en ´eliminant le plus de bruit possible tout en pr´eservant le maximum d"informations. En Classification math´ematique par sujets(2000). -68U10, 49J40. Mots clefs. -Traitement d"image, filtrage, d´ebruitage, segmentation.

2BERGOUNIOUX

outre, l"information contenue dans un signal n"est pas forc´ement enti`erement perti- nente : il faut ?s´electionner?l"information utile suivant l"usage que l"on veut en faire. Par exemple, `a l"´ecoute d"un morceau de musique, on peut vouloir unrenforcement des sons graves. Une autre finalit´e du filtrage est donc de s´electionner et renforcer certaines bandes de fr´equences porteuses de l"information int´eressante. Le filtrage des images a la mˆeme finalit´e que celui des signaux 1D. Il s"agit es- sentiellement d"enlever le bruit (parasite) ou de s´electionner certaines fr´equences. Si la notion de haute fr´equence ou basse fr´equence est naturelle en signal 1D (son aigu ou grave), lafr´equence spatialeest un concept plus d´elicat qui d´ecoule du fait que les images appartiennent au domaine spatial. La fr´equence est une grandeur qui caract´erise le nombre de ph´enom`enes qui se d´eroulent au cours d"un temps donn´e. Si en voiture, le long d"une route, on voit 2 bandes blanches PAR seconde : c"est une fr´equence temporelle. Il est ensuite facile de comprendre quece concept de fr´equence temporelle?peut aussi se traduire en disant qu"il y a 200 bandes blanches PAR kilom`etre : c"est une fr´equence spatiale. Dans une image, les d´etails se r´ep`etent fr´equemment sur un petit nombre de pixels,

on dit qu"ils ont une fr´equence ´elev´ee : c"est le cas pour les bords et les contours dans

une image. Au contraire, les fr´equences basses correspondent `a desvariations qui se r´ep`etent peu car, dilu´ees sur de grandes parties de l"image, par exemple des variations de fond de ciel. Nous verrons dans la suite que la plupart des filtres agissent s´electivement sur ces fr´equences pour les s´electionner, en vue de les amplifier ou de les r´eduire tout comme dans le cas 1D.

Les images peuvent ˆetre entˆach´ees de bruits de nature diff´erente. On s"int´eressera

ici aux bruits - additif, gaussien - de flou (convolution) - poivre et sel Les bruits multiplicatifs et/ou poissoniens sont difficiles `a appr´ehender : nous n"en parlerons pas ici. De la mˆeme fa¸con, nous n"aborderons pas le filtrage par ondelettes qui n´ecessite des pr´e-requis importants.

FILTRAGE3

(a) Image originale (b) Bruit gaussien, moyennenulle, ´ecart-typeσ?0.02 (c) Bruit gaussien, moyenne nulle, ´ecart-typeσ?0.1 (d) Flou (e) Bruit poivre et sel (f) Bruit multiplicatif Figure 1.Exemples de perturbations d"une image (bruits et flou)

2. Filtrage unidimensionnel

Avant de pr´esenter les principales techniques de base pour le filtrage des images, nous rappelons bri`evement le principe du filtrage unidimensionnel (pour plus de d´etails on peut se r´ef´erer `a [5]). Pour d´efinir unfiltrelin´eaire math´ematiquement, on se donne deux espaces vec- torielsX(entr´ee) etY(sortie) munis d"une topologie s´equentielle et un op´erateurA lin´eaire qui, `a un signale?Xdit signal d"entr´ee, associe un signals?Yappel´e signal de sortie :

A:e??s:?A?e?.

D´efinition 2.1(Filtre). - Unfiltrelin´eaire est un syst`eme lin´eaire continu qui v´erifie les deux propri´et´es suivantes :

1. Il est invariant dans le temps : siT

a:x??x?? ?a?est l"op´erateur de translation alors T aA?ATa.

2. Si lim

k???ek?t? ?e?t?alors on a limk???sk?t? ?s?t?. Cette propri´et´e est ´equivalente `a la causalit´e.

4BERGOUNIOUX

Les espaces peuvent ˆetre de dimension infinie (signaux analogiques) oufinie (si- gnaux discrets ou num´eriques). Examinons l"effet d"un filtre lin´eaireAsur un signal p´eriodique deX?L 2 p?0,T?(o`u T?0) de fr´equenceλ?1?T. On sait que ce signal peut s"´ecrire sous la forme (1)x?? n?Z cnenλ, o`u on a pos´e (2)e

λ:t??exp?2iπλt?,

de sorte quee nλ? ?eλ?n.On sait (grˆace aux s´eries de Fourier) que la famille?enλ?n?Z forme une base hilbertienne deX.

Formellement

?1?

Ax?A??

n?Z cnenλ n?Z cn?Aenλ?. On est donc ramen´e `a examiner l"effet deAsure nλ. Proposition 2.2. -Un filtre lin´eaire associe `a tout signal exponentiel d"entr´ee le

mˆeme signal multipli´e par un facteur ind´ependant du temps, g´en´eralement complexe,

appel´efonction de transfertougain complexedu filtre.

D´emonstration. - Cherchons l"imagef

λ?Aeλdeeλpar le filtre. On remarque que

pourtfix´e, on ae

λ?t?u? ?eλ?t?eλ?u?. Donc

?u?Rf

λ?t?u? ?A?eλ?t?eλ??u?,

c"est-`a-dire par lin´earit´e deA f

λ?t?u? ?eλ?t??Aeλ?u?? ?eλ?t?fλ?u?.

Pouru?0 , on obtientf

λ?t? ?eλ?t?fλ?0?; doncAeλ?fλ?0?eλ.Par cons´equent,eλ est une fonction propre deAassoci´ee `a la valeur proprefλ?0?qui ne d´epend que de

λ. La fonctionλ??H?λ?:?f

λ?0?est appel´eefonction de transfertdu filtre. Reprenons le signal p´eriodiquexd´efini par la relation (1); la sortie filtr´ee parA est donc y:?Ax?? n?Z cnH?nλ?enλ.

En r´esum´e, chaque coefficient de Fourierc

ndexest transform´e enγn:?H?nλ?cn. Compte tenu des propri´et´es de la transform´ee de FourierF, sixest un signal

num´erique ´echantillonn´e avec 2N´echantillons, on peut traduire la relation pr´ec´edente

par ?n? ?1,???,N?Y n?H?nλ?Xn,

1. On peut compl`etement justifier le calcul grˆace `a la lin´earit´e et la continuit´e de l"op´erateurA

deXdansX

FILTRAGE5

o`uY?F?y?etX?F?x?, c"est-`a-direF?y? ?H.?F?x?,o`u.?d´esigne le produit composante par composante. Si on poseh? 1

2NF?1?H?, cela donne :y?h?x(o`u *

d´esigne ici la convolution discr`ete.) Nous obtenons donc le r´esultat suivant (que nous admettrons pour les signaux analogiques) : Th´eor`eme 2.3. -Un syst`eme lin´eaire continu est un filtre lin´eaire si et seulement si la relation entre l"entr´eeeet la sortiesest uneconvolution: s?t? ? ?h?e??t? ?? h?θ?e?t?θ?dθ , o`uh?t?est lar´eponse impulsionnelledu filtre.

Pour les filtres `a temps discret on a

s n?? k?Z hken?k. En d"autres termes les filtres lin´eaires continus unidimensionnels sont et ne sont que des filtres de convolution (o`u la convolution est continue ou discr`ete). - Dans le cas des signaux analogiques (d"´energie finie, i.e. dansL

2?R?par

exemple), le signal de sortiesest donn´e par :s?h?e, o`ueest le signal d"entr´ee. Si on applique la transformation de Fourier, on obtient ˆs?ˆhˆe. La transform´ee de FourierH:?ˆhdehest lafonction de transfertdu filtre. Le noyau de convolutionhs"appelle lar´eponse impulsionnelledu filtre. En effet, si le signal d"entr´eeeest la mesure de Diracδon obtients?h?δ?h. C"est donc bien la sortie correspondant `a une ?impulsion?. - Dans le cas des signaux discrets, on peut faire la mˆeme analyse. La transfor- mation de Fourier est remplac´ee par la transformation de Fourier discr`ete et se calcule par FFT. G´en´eralement, on distingue les filtres suivant l"action qu"ils ont sur le spectre (c"est- `a-dire par la forme de leur fonction de transfert) : - un filtrepasse-basva ´eliminer ou att´enuer fortement l"´energie des hautes fr´equences d"un spectre en ne laissant ?passer?que les basses fr´equences; - un filtrepasse-hautva ´eliminer ou att´enuer fortement l"´energie des basses fr´equences d"un spectre; - un filtrepasse-bandene conservera que l"´energie concentr´ee dans une bande de fr´equences. - un filtrecoupe-bandeou filtre der´ejectionqui est le compl´ementaire du pr´ec´edent.

6BERGOUNIOUX

Figure 2.Diff´erents types de filtrage

3. D´ebruitage par filtrage lin´eaire

3.1. Filtrage spatial (bruit additif). -Nous avons vu que les filtres lin´eaires

d"un signal 1D sont et ne sont que des filtres de convolution. Le filtrage spatial est aussi essentiellement une op´eration de convolution (2D). Sifest l"image `a filtrer (ou `arehausser) etgle filtre spatial (ouPSF- Point

Spread Function oumasque) on a :

f?x,y? ?g?x,y? ?F ?1 Gest la fonction de transfert du filtre. Une image num´erique ´etant essentiellement discr`ete (pixels et niveaux de gris) nous allons pr´esenter les filtres dans le cas discret. Dans tout ce qui suitxetysont des entiers (coordonn´ees des pixels) etfest `a valeurs enti`eres (dans?0,???,255??. Comme dans le cas unidimensionnel, on peut distinguer trois types de filtrage : - Le filtrepasse-basdiminue le bruit mais att´enue les d´etails de l"image (flou plus prononc´e) - Le filtrepasse-hautaccentue les contours et les d´etails de l"mage mais am- plifie le bruit - Le filtrepasse-bande´elimine certaines fr´equences ind´esirables pr´esentes dans l"image On ne fait pas en g´en´eral une convolution globale mais une transformationlocale, bas´ee sur le voisinage d"un point?x,y?:

FILTRAGE7

Figure 3.Convolution locale

Lenoyaude convolution (masque, PSF ) du filtreκest `a support compact inclus dans?x

1,x2? ? ?y1,y2?:

g?x,y? ? ?f?κ??x,y? ? x2? i?x1 y2? j?y1f?x?i,y?j?κ?i,j?.

G´en´eralement le filtre est de dimensionsd

iimpaires et est sym´etrique. Dans ce cas ?x

1,x2? ? ??d1

2,d 1quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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