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Algèbre-III

Réduction des endomorphismes

Alexis Tchoudjem

Université Lyon I

10 octobre 2011

Dans ce cours

est un corps qui peut être Q,R ou C.

Table des matières

1 Un peu de théoriedes groupes7

1.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .7

1.1.1 Associativité, commutativité . . . . . .. . . . . . . . . 8

1.1.2 Identité, éléments inversibles . . . . . .. . . . . . . . . 9

1.2 Groupes . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11

1.3 Sous-groupes . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 13

1.4 Groupes cycliques. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Les groupes

Z /n Z . . . . . . . . . . . . .. . . . . 14

1.5 Morphismes de groupes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Sous-groupes distingués . . . . . . . .. . . . . . . . . 18

1.5.2 Isomorphismes. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19

1.6 Classes à gauche et à droite . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20

1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 Décomposition en cycles . . . . . . . .. . . . . . . . . 22

1.7.2 Signature . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 24

2 Rappels sur les matrices27

2.0.3 Opérations . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 28

2.1 Matrices carrées .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 29

2.2 Applications . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 La suite de Fibonacci . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31

2.2.2 Graphes . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32

2.2.3 Équation différentielle . . . . . . . . . .. . . . . . . . 33

2.3 Systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 34

2.4 Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Rappels sur les espaces vectoriels . . .. . . . . . . . . 34

2.4.2 Matrices échelonnées . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 39

2.4.3 Égalité entre le rang des lignes et le rangdes colonnes . 42

2.4.4 Image et noyaud'une matrice . . . . .. . . . . . . . . 44

2.5 Lien avec les applications linéaires . . . .. . . . . . . . . . . . 46

2.5.1 Matrice associéeà une application linéaire . . . . . . . 46

4TABLE DES MATIÈRES

2.5.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 47

2.5.3 Changements debase . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 50

3 Le déterminant53

3.1 Dimension

2 et 3 . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .53

3.2 Déterminant en dimension quelconque .. . . . . . . . . . . . 54

3.2.1 Arrangements .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 54

3.2.2 Définitions du déterminant . . . . . . .. . . . . . . . . 54

3.3 Règle de Cramer. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 60

3.4 Déterminant d'unendomorphisme . . . .. . . . . . . . . . . . 65

4 Valeurs propres, vecteurs propres67

4.1 Sous-espaces invariants . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 67

4.2 Vecteurs propres. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68

4.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 70

4.4 Espaces propres .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 78

4.5 Un premier critèrede diagonalisabilité . .. . . . . . . . . . . 83

4.6 Trigonalisation .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 89

5 Polynômes d'endomorphismes93

5.1 Définition . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 93

5.2 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . .. . . . . . . . . . . . 95

5.3 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 99

6 Décomposition spectrale107

6.1 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 107

6.2 Projecteurs spectraux . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 113

6.3 Décomposition deDunford-Jordan . . . .. . . . . . . . . . . . 115

6.4 Calcul pratique des projecteurs spectraux. . . . . . . . . . . . 117

6.4.1 Méthode . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 117

6.4.2 Exemples . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 118

6.5 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 119

6.5.1 Blocs de Jordan. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 119

6.5.2 Matrices nilpotentes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 120

6.5.3 Réduction de Jordan . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 123

7 Puissances127

7.1 Motivation . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 127

7.2 Cas diagonalisable. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 127

7.3 Cas général . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 130

7.4 Suites récurrentes. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 130

TABLE DES MATIÈRES5

8 Exponentielle133

8.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 133

8.2 Suites de matrices. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 133

8.3 Définition de

exp( A . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 134

8.4 Méthode de calcul. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 137

8.5 Équations différentielles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 138

8.5.1 Dérivation des matrices . . . . . . . . .. . . . . . . . . 138

8.5.2 Équations différentielles linéaires à coefficients constants140

9 Groupe orthogonal143

9.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 143

9.2 Produit scalaire .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 143

9.3 Réflexions orthogonales . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 145

9.4 Réduction des matrices orthogonales . .. . . . . . . . . . . . 146

9.4.1 O 2 R . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 146 9.4.2 O 3 R . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 148

9.4.3 Cas général . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 150

9.5 Les quaternions .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 152

9.5.1 Définitions . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 153

9.5.2 Norme . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 155

9.5.3 Lien avec les rotations . . . . . . . . .. . . . . . . . . 155

10 Invariants de similitude159

10.1 Matrices à coefficients polynomiaux . . . .. . . . . . . . . . . 159

10.1.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 160

10.2 Réduction des matrices à coefficients polynomiaux . . . . . . . 161

10.3 Invariants de similitude . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 164

10.4 Endomorphismes cycliques . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 170

6TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Un peu de théorie desgroupes

1.1 Lois de composition

De manière très générale, faire de l'algèbre c'est étudier des structures algébriques c-à-d des ensembles où sontdéfinies des opérations. Une opération , ou loi de composition , sur un ensemble E est une applica- tion : E E E . Les éléments de l'ensemble E peuvent être des nombres, des matrices, des fonctions, etc Les ensembles de nombres suivants sont des exemples basiques de struc- tures algébriques. Ils sont munis d'au moins deuxopérations, l'addition etla multiplication : N Z Q R R

Remarques :

- les opérations d'addition et de multiplicationne sont pas définies sur tous les ensembles de nombres. Par exemple leproduit de deux nombres irrationnels n'est pas toujours un nombre irrationnel; - Le produit vectorieldes vecteurs de R 3 est un exemple de loi decom- position mais non le produit scalaire.

Rappelons que le produit vectoriel sur R

3 est défini ainsi : x i ,y j R x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 7

8 CHAPITRE 1. UN PEU DE THÉORIE DES GROUPES

Notations :

Pour une loi de composition sur un ensemble E, la notation fonctionnelle n'est pas très pratique. On utiliseplutôt une notation quires- semble à celle utilisée pour la somme ou le produit de nombres. Par exemple, si : p E E E a,b p a,b est une loi de composition on notera le plus souvent ab (ou parfois a×b,a◦b ou a b ) le résultat de l'opération p(a,b). Par exemple : (ab)c = p(p(a,b),c).

1.1.1 Associativité,commutativité

Définition 1

Soit une loi de composition sur un ensemble E notée multipli- cativement : a,b ab . On dit que cette loi est associative si : ab c a bc pour tous a,b,c E . On dit que cette loi est commutative si : ab ba pour tous a,b E

Exemples :

les lois d'addition et de multiplications sur les ensembles de nombres Q R C sont associatives et commutatives. La loi d'addition (coordonnée par coordonnée) sur l'ensemble des vecteurs de R n est aussi associative et commutative. En revanche, la loi du produit vectoriel sur les vecteurs de R 3 n'est ni associative ni commutative. La loi de multiplication des matrices carrées (réelles ou complexes) estune loi associative.