[PDF] POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ CORRECTION DES EXERCICES

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Chapitre 1 : Polynôme du second degré

POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

CORRECTION DES EXERCICES

INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ:Exercice1:

Résolvons dansRles inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.1.(2x+ 1)(x3)>0

Posons(2x+ 1)(x3) = 0

(2x+ 1)(x3) = 0,2x+ 1 = 0oux3 = 0 ,x=12 oux= 3

Faisons un tableau de signe:x

2x+ 1x3(2x+ 1)(x3)1

123+10++

0+ +00+

Ainsi, pour toutx2

1;12 []3;+1[on a(2x+ 1)(x3)>0. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: 1;12 []3;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

2.4x2 +x2

4x2 +x2, x2+ 4x20,x24x+ 20

Posonsx24x+ 2 = 0

x

24x+ 2 = 0,(x2)24 + 2 = 0

,(x2)22 = 0 ,(x2)2= 2 ,x2 =p2oux2 =p2 ,x= 2 +p2oux= 2p2

Faisons un tableau de signe.x

x

24x+ 212p22 +

p2+1+00+

Ainsi,x24x+ 20pour toutx22p2;2 +p2

Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle:

2p2;2 +p2

3.16(x4)20

Posons16(x4)2= 0

16(x4)2= 0,42(x4)2= 0

,(4x+ 4)(4 +x4) = 0 ,x(8x) = 0 ,x= 0oux= 8

Faisons un tableau de signe:c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x

16(x4)2108+10+0

Ainsi,16(x4)20pour toutx2]1;0][[8;+1[

Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;0][[8;+1[4.p5(2x1)20

On sait que pour toutx2R,(2x1)20

Ce qui équivaut àp5(2x1)20carp5<0

Par conséquentRest l"ensemble solution de l"inéquation.5.2x2<5x

2x2<5x, 2x25x <0

Posons2x25x= 0

2x25x= 0, x(x+ 5) = 0

,x= 0oux+ 5 = 0 ,x= 0oux=5

Faisons un tableau de signe:x

2x25x150+10+0

Ainsi,2x25x <0pour toutx2]1;5[[]0;+1[

Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;5[[]0;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

6.2x2p2x >0

Posons2x2p2x= 0

2x2p2x= 0,x(2xp2) = 0

,x= 0ou2xp2 = 0 ,x= 0oux=p2 2

Faisons un tableau de signe:x

2x2p2x10p2

2+1+00+

Exercice2:

On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2etg(x) =x2+ 3x2:1.Déterminons les racines des fonctionsfetgdansR. f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2 Soit1le discriminant de l"équation2x2(3 +p2)x+ 6p2 = 0

1=b24ac

= [(3 +p2)]

24(2)(6p2)

= 9 + 6p2 + 248p2 = 1142p2

On sait que11<42p2donc1142p2<0ainsi1<0

1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.

Par conséquent, la fonctionfn"admet pas de racines réelles.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

g(x) =x2+ 3x2

Soit2le discriminant de l"équationx2+ 3x2 = 0

2=b24ac

= 3

24(1)(2)

= 98 = 1

2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

x 1=bp

22a=312= 2etx2=b+p

22a=3 + 12= 1

Par conséquent, la fonctiongadmet deux racines distinctes:1et22.Donnons le tableau de signes des fonctionsfetg.

Tableau de signe defx

f(x)1+1+

Tableau de signe degx

g(x)112+10+0

3.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsf(x)<0etg(x)0

dansR.

Solution de l"inéquationsf(x)<0

A partir du tableau de signe defprécédent on a:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

f(x)>0pour toutx2Rainsi l"inéquationf(x)<0n"admet aucune solution réelle. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationf(x)<0est vide.

Solution de l"inéquationsg(x)0

A partir du tableau de signe degprécédent on a: g(x)0pour toutx2]1;1][[2;+1[ D"où l"ensemble solutions de l"inéquationg(x)0est l"intervalle ]1;1][[2;+1[

Exercice3:

On considère les fonctionsuetvdéfinies surRpar :

u(x) = 3x2+ 7x+ 5etv(x) =x22x+ 71.Déterminons si elles existent, les racines des fonctionsuetvdansR.

u(x) = 3x2+ 7x+ 5 Soit1le discriminant de l"équation3x2+ 7x+ 5 = 0

1=b24ac

= 7

24(3)(5)

= 4960 =11

1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.

Par conséquent, la fonctionun"admet pas de racines réelles. v(x) =x22x+ 7

Soit2le discriminant de l"équationx22x+ 7 = 0

2=b24ac

= (2)24(1)(7) = 4 + 28 = 32 = (4p2) 2c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

x 1=bp

22a=24p2

2=1 + 2p2et

x 2=b+p

22a=2 + 4p2

2=12p2

Par conséquent, la fonctionvadmet deux racines distinctes:12p2 et1 + 2p2

2.Donnons le tableau de signes des fonctionsuetv.

Tableau de signe deux

u(x)1+1+

Tableau de signe devx

v(x)112p21 + 2p2+10+0

3.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsu(x)0etv(x)<0

dansR.

Solution de l"inéquationsu(x)0

A partir du tableau de signe deuprécédent on a: u(x)>0pour toutx2R. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationu(x)0est l"ensembleR.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

Solution de l"inéquationsv(x)<0

A partir du tableau de signe devprécédent on a: v(x)<0pour toutx21;12p2 [1 + 2p2;+1 D"où l"ensemble solutions de l"inéquationv(x)<0est l"intervalle:1;12p2 [1 + 2p2;+1

Exercice4:

Résolvons dansRles inéquations ci-dessous.1.2x2+x <3x242

2x2+x <3x242,3x2422x2x >0,x2x42>0

Posonsx2x42 = 0

Soitle discriminant de cette équation :

= (1)24(1)(42) = 1 + 168 = 169 = 132 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x

1=1132

=6etx2=1 + 132 = 7

Faisons un tableau de signe:x

x

2x42167+1+00+

Ainsi,x2x42>0pour toutx2]1;6[[]7;+1[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation2x2+x <3x242est: ]1;6[[]7;+1[2.3x2x23x+ 4

3x2x23x+ 4,2x23x+ 43x0,2x26x+ 40,

x

23x+ 20

Posonsx23x+ 2 = 0

Soitle discriminant de cette équation :c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

= (3)24(1)(2) = 98 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=312 = 1etx2=3 + 12 = 2

Faisons un tableau de signe:x

x

23x+2112+1+00+

Ainsix23x+ 20pour toutx2[1;2]

D"où l"ensemble solution de l"inéquation3x2x23x+ 4est[1;2]

Exercice5:

Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.(x3)(x25x+ 6)>0

Posons(x3)(x25x+ 6) = 0

(x3)(x25x+ 6) = 0,x3 = 0oux25x+ 6 = 0 Résolvons les équations :x3 = 0etx25x+ 6 = 0 x3 = 0,x= 3

Soitle discriminant de l"équationx25x+ 6 = 0

= (5)24(1)(6) = 2524 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=512 = 2etx2=5 + 12 = 3

Faisons un tableau de signe:c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x x3x

25x+ 6(x3)(x25x+6)123+10+

+00+ 0+0+

Ainsi(x3)(x25x+ 6)>0pour toutx2]2;3[[]3;+1[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x3)(x25x+ 6)>0est: ]2;3[[]3;+1[2.(x21)(x27x+ 6)0

Posons(x21)(x27x+ 6) = 0

(x21)(x27x+ 6) = 0,x21 = 0oux27x+ 6 = 0 Résolvons les équations:x21 = 0etx27x+ 6 = 0 x

21 = 0,x= 1oux=1

Soitle discriminant de l"équationx27x+ 6 = 0

= (7)24(1)(6) = 4924 = 25 = 52 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes : x 1=752 = 1etx2=7 + 52 = 6

Faisons un tableau de signe:x

x 21x

27x+ 6(x21)(x27x+6)1116+1+00++

++00+ +000+ c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

Ainsi pour toutx2[1;6];(x21)(x27x+ 6)0

D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x21)(x27x+ 6)0est [1;6].

Exercice6:

Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.

2x12x5

2x12x5,2x1(2x5)0

2(2x5)(x1)x10

2(2x22x5x+ 5)x10

2x2+ 7x3x10

Étudions le signe des fonctionx1et2x2+ 7x3

Posonsx1 = 0

x1 = 0,x= 1

Posons2x2+ 7x3 = 0

Soitle discriminant de cette équation.

= 7

24(2)(3) = 4924 = 25 = 52

>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x

1=754= 3etx2=7 + 54=12

Faisons un tableau de signe :c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.11

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x x12x2+ 7x32x2+ 7x3x111

213+10++

0++0 +0+0

Ainsi,

2x2+ 7x3x10pour toutx212

;1 [[3;+1[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation

2x12x5est :12

;1 [[3;+1[ La valeur interdite de cette inéquation est le réel :12.

2x23x5x

22x+ 1>1

2x23x5x

22x+ 1>1,2x23x5x

22x+ 11>0

2x23x5(x22x+ 1)x

22x+ 1>0

2x23x5x2+ 2x1x

22x+ 1>0

x2x6x

22x+ 1>0

Étudions le signe des fonctionsx2x6etx22x+ 1

Posonsx2x6 = 0

Soit1le discriminant de cette équation

1= (1)24(1)(6) = 1 + 24 = 25 = 52

1>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.12

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x 1=152 =2etx2=1 + 52 = 3

Posonsx22x+ 1 = 0

Soit2le discriminant de cette équation

2= (2)24(1)(1) = 44 = 0

1= 0donc l"équation admet une unique solution réelle:

x 0=22 = 1

Faisons un tableau de signe:x

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