Le skieur : solution
On réduit le skieur à un unique point matériel et on dessine l'ensemble des forces. exercice soit facile à résoudre sinon il serait nécessaire de faire appel ...
Exercice 7 : mouvement dun skieur tir par la perche dun tlski
être suffisamment précise dans l'énoncé car elle ne fait pas partie des compétences exigibles. Académie de Créteil http://www.ac-creteil.fr/physique.
Exercice n°1 Un skieur dévale une pente en ligne droite sur une
7. Déterminer l'intensité de la force de frottement F (Il s'agit d'une valeur moyenne). Corrigé
Chapitre 7 – Correction de lactivité N° 2 Situation : Lors dun d
Le skieur a une trajectoire en ligne et son mouvement est rectiligne. 2. Cette technique s'appelle la chronophotographie. 3. On calcule la vitesse moyenne du
Un skieur de masse m avec son équipement est tiré par la perche d
EXERCICE CORRIGE. Un skieur de masse m avec son équipement est tiré par la perche d'un téléski ; celle ci fait un angle β avec la piste. La piste est un
Exercice sur le chapitre 12
Le système étudié est le « skieur » constitué de l'athlète avec son équipement de masse totale m et de centre de masse G en mouvement sur la piste de ski d'un
Corrigé du baccalauréat Centres étrangers Groupe 1 17 mai 2022
17 mai 2022 En moyenne sur 30 skieurs rencontrés à peu près 3 ont pris le coupe-file. EXERCICE 2 6 points. Thème : Fonction exponentielle. Principaux ...
BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Série STI2D CORRIGÉ Sujet
EXERCICE 4 – Remonte-pente (exercice de physique-chimie au choix avec l'exercice 3) Le skieur est alors animé d'un mouvement rectiligne accéléré. L ...
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Caractériser le vecteur vitesse de la balle lors de son impact sur le sol. Corrigé : 1. La méthode est rigoureusement la même que pour l'exercice de
Corrigé des exercices MÉCANIQUE
Le schéma est le même avec F et a en sens opposé. Page 5. Physique DF v 2.1. Corrigé des exercices de mécanique. C E M
Le skieur : solution
31. La toute première étape consiste à répertorier l'ensemble des quatre forces qui s'appliquent sur le skieur : la force.
Exercice n°1 Un skieur dévale une pente en ligne droite sur une
de ce skieur. 6. Donner l'expression du travail de ?. 7. Déterminer l'intensité de la force de frottement F (Il s'agit d'une valeur moyenne). Corrigé
Première S – Exercices supplémentaires
Au bout d'un certain temps le skieur est en mouvement de translation uniforme. Calculer alors fx. Exercice 2 : Etude d'un bouchon en liège : On place un
DS Seconde 15/02/2021 Ex 1 2 et 3 daprès lelivrescolaire.fr
http://thierry.col2.free.fr/restreint/exovideo_lycee/ex_seconde_physique/2019_ch9_ds_description_mouvement_15_02_2021.pdf
Énergie mécanique Énergie mécanique
5 févr. 2018 3 - En admettant que le skieur part du haut de la piste sans vitesse initiale appliquer le ... Exercice 5 : Mouvement sur un cercle.
Chapitre 7 – Correction de lactivité N° 2 Situation : Lors dun d
Le skieur a une trajectoire en ligne et son mouvement est rectiligne. 2. Cette technique s'appelle la chronophotographie. 3. On calcule la vitesse moyenne du
Premier exercice : (7 points) Étude du mouvement dun skieur V ?
À l'instant t = 60 s le skieur passe par un point B à la vitesse VB = 6 m/s et lâche la corde. Deuxième exercice. 7 points. Partie de la Q. Corrigé.
Sujet du bac S Physique-Chimie Obligatoire 2017 - Nlle Calédonie
Le candidat doit traiter les trois exercices qui sont indépendants les uns des autres. 17PYOSNC1. Page: 1 /10. Page 2. EXERCICE 1- LUTTE CONTRE
Exercice sur le chapitre 12
Le système étudié est le « skieur » constitué de l'athlète avec son équipement de masse totale m et de centre de masse G en mouvement sur la piste de ski
Corrigé – Physique chimie – Brevet des collèges – Le sport – saut à
Corrigé – Physique chimie – Brevet des collèges – Le sport – saut à ski. Question 1.1. En observant le profil de la montagne on peut dire que la portion.
Énergie mécanique
Exercices
Exercice 1 : Skieur []
Un skieur pesant 70kg descend une piste rectiligne longue de 50m et inclinée d"un angleα= 25°par rapport
à l"horizontale. Il est soumis à son poids#Pet à la réaction#Rde la piste, qui se décompose en une composante
normale#Nperpendiculaire à la piste et une composante tangentielle#Tcolinéaire et de sens opposé à la vitesse. Les
normes de ces deux composantes sont liées entre elles par la loi de Coulomb,T=μN, avecμ= 0,1.
1 -Faire un schéma de la situation représentant les différentes forces.
2 -Exprimer et calculer le travail des trois forces#P,#Net#Tau cours de la descente.
3 -En admettant que le skieur part du haut de la piste sans vitesse initiale, appliquer le théorème de l"énergie
cinétique pour déterminer sa vitesse en bas de la piste.Exercice 2 : Marsupilami []Le Marsupilami est un animal de bande dessinée créé par Franquin. Ses capacités physiques
sont remarquables, en particulier grâce à sa queue qui possède une force importante : le Marsu-
pilami peut notamment sauter en enroulant sa queue comme un ressort entre lui et le sol. On note?0= 2mla longueur à vide du ressort équivalent à la queue du Marsupilami. Lorsqu"il est complètement comprimé, la longueur minimale du ressort est?m= 50cm. On supposera que le Marsupilami pèse 50kg et que sa queue quitte le sol lorsque le ressort mesure?0.1 -Déterminer la constante de raideur de la queue du Marsupilami s"il est capable de sauter
jusqu"à une hauteurh= 10m.2 -Quelle est la vitesse du Marsupilami lorsque sa queue quitte le sol?
Exercice 3 : Piégeage d"un électron []
Considérons le mouvement selon un axe(Oz)d"un électron de massem= 9,1·10-31kget de charge-e=
-1,6·10-19Cdans un dispositif de piégeage. Son énergie potentielle y vaut E p(z) =eV02d2z2 oùV0= 5,0Vetd= 6,0mm.En négligeant tout phénomène dissipatif, c"est-à-dire en supposant l"énergie mécanique conservée, calculer la
fréquence des oscillations de l"électron dans le piège. Exercice 4 : Convoyeur de colis []Étudions un convoyeur à colis présent dans un centre de tri postal. Les colis sont déchargés par un tapis roulant à la vitessevA= 0,2m·s-1, puis glissent ensuite sur un plan incliné d"angleαpar rapport à l"horizontale. Ils sont ensuite pris en charge au niveau du pointBpar un nouveau tapis roulant qui avance à la vitessevB= 0,5m·s-1.Déterminer l"expression puis la valeur deαpour que le convoyeur fonctionne correctement, c"est-à-dire pour que
les colis arrivent enBavec la vitesse du deuxième tapis roulant.Donnée :suivant les lois de Coulomb du frottement solide, lors du glissement, les forces exercées par le tapis sur le
colis sont reliées parT=fNoùTetNsont respectivement les normes de la réaction tangentielle et normale du
support etf= 0,4est le coefficient de frottement.1/4Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018Exercice 5 : Mouvement sur un cercle []O
Rθ v0M# gUne billeMde massempeut se déplacer sans frottement sur la face intérieure d"un support circulaire vertical de rayonR. On la lance avec la vitesse horizontale#v0au point le plus bas du cercle.1 -En utilisant un théorème énergétique, établir l"équation du mouvement deM.
2 -Montrer que la norme de la force de réaction du support circulaire vaut
N=m?v20R
+g(3cosθ-2)?3 -Montrer que la bille reste en contact avec le support lors de tout le mouvement lorsque la vitesse initialev0est
supérieure à une vitessevminà déterminer.4 -Supposonsv0< vmin. Déterminer l"angle auquel la bille quitte le support et tombe.
Exercice 6 : Tige avec ressort []Oz
XMαOn considère une tige fixe dans un plan verticalxOz, faisant un angleαavec l"axeOz. Un anneauMde massemest enfilé sur la tige et contraint de se déplacer sans frottement le long de celle-ci. Cet anneau est attaché à un ressort de raideurket de longueur à vide?0 dont l"autre extrémité est fixée enO. On repère la position deMparOM=X.1 -Quelles sont les forces appliquées à l"anneau? En déduire son énergie potentielleEpen fonction deXet deα.
2 -Pourquoi est-il physiquement nécessaire de supposermgcosα < k?0? Étudier la fonctionEp(X)et tracer son
allure.3 -À partir du graphique, décrire le mouvement issu des conditions initialesX(0) =?0etX(0) =V0. Justifier
notamment qu"il s"agit d"un mouvement périodique.4 -Établir l"équation du mouvement par un théorème énergétique et en déduire la période du mouvement.
Exercice 7 : Oscillateur de Landau []
L"oscillateur de Landau est un modèle théorique permettant de modéliser efficacement des systèmes physiques pour
lesquelles des faibles non-linéarités sont à prendre en compte. Il s"agit d"une approximation un peu plus précise que
celle de l"oscillateur harmonique pour étudier le comportement de systèmes au voisinage de leur position d"équilibre.xa
OA M# gUn exemple de système modèle permettant de réaliser un oscillateur de Landau est un petit anneau, assimilé à un point matérielMde massem, astreint à se déplacer sans frottement le long d"une tige rectiligne horizontale choisie comme axe(Ox). Cet anneauest relié à un ressort, de longueur à vide?0et de raideurk, dont l"autre extrémité est
fixée enA. La distance deAà la tige est notéeAO=a.1 -Exprimer l"énergie potentielle totaleEp(x).
2 -La courbe d"énergie potentielle est représentée ci-dessous (version couleur sur le site de la classe) pour quatre
valeurs dea:a1=?0/10,a2=?0/3,a3=?0eta4= 3?0. En raisonnant qualitativement sur les positions d"équilibre,
attribuer chaque courbe à la valeur deaqui lui correspond.3 -Pour chaque valeur dea, analyser en fonction des conditions initiales le mouvement possible de l"anneau.
4 -Pour les valeurs deaprécédentes, l"anneau est lâché avec les mêmes conditions initiales. Sa vitesse et sa position
sont enregistrées au cours du temps, ce qui donne les trajectoires de phase de la figure ci-dessous. Déterminer la
condition initiale et affecter chaque trajectoire de phase à la valeur deaqui lui correspond.-3-2-10123
x/?0-0.50.00.51.01.52.02.53.0E
p(x)-2-1012 x/?0-1.0-0.50.00.51.0x/(?0?k/m)2/4Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018Annales de concours
Exercice 8 : Balle dans un tonneau [oral banque PT,]0h Sur Terre, on lâche une balle de massemconsidérée ponctuelle sur une rampe depuis une hauteurh. Elle achève sa course dans un tonneau circulaire. Établir une condition nécessaire sur la hauteurhpour que la balle fasse un tour complet dans le tonneau sans décoller.Exercice 9 : Chariot de parc d"attraction [oral banque PT,]On étudie numériquement la trajectoire d"un chariot de parc d"at-
traction, de massem= 10tonnes. Ce chariot part du pointA, descend le long du plan incliné et entre ensuite dans un looping haut de 40m, où l"on suppose qu"il peut parcourir plusieurs tours. Les courbes de la figure 2 représentent l"évolution au cours du temps de l"énergie cinétiqueEc, de l"énergie potentielleEp, de l"énergie totaleEmet l"évolution de la réaction normaleRndu looping sur le chariot.Donnée :g?10m·s-2.
1 -Associer à chaque courbe la grandeur représentée. La simulation prend-elle en compte des frottements et autres
sources de dissipation?2 -Calculer la hauteur initialehet la vitesse initialeV0du chariot, et la vitesse maximaleVmaxqu"il atteint.
3 -À quelle date le chariot quitte-t-il le looping?
4 -Combien de tours entiers effectue le chariot avant de se décoller du looping?
5 -Quelle hauteur initiale faudrait-il donner au chariot afin qu"il ne se décolle pas?Figure 2-Simulation numérique du mouvement d"un chariot.
3/4Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018Résolution de problème
Pour aborder un exercice de type résolution de problème, il peut notamment être utile de faire un
schéma modèle, d"identifier et nommer les grandeurs pertinentes, d"utiliser l"analyse dimensionnelle,
de proposer des hypothèses simplificatrices, de décomposer le problème en des sous-problèmes simples,
etc. Le candidat peut également être amené à proposer des valeurs numériques raisonnables pour
les grandeurs manquantes ... et toutes les valeurs données ne sont pas forcément utiles. Le tout est
évidemment à adapter à la situation proposée !Exercice 10 : Remonte-pente [oral CCP,]Un remonte-pente est constitué d"un câble auquel les skieurs s"accrochent pour remon-
ter. Déterminer la puissance du moteur qui entraîne le câble.Données :
?Longueur totale du câble : 200m; ?Distance séparant deux skieurs : 5m; ?Dénivelé entre les extrémités du câble : 5m; ?Vitesse du câble : 5km·h-1.?Lorsque le ski glisse sur la neige, la réaction tangentielle#RTdu sol sur le ski est reliée à la réaction normale#RN
par||#RT||=f||#RN||avecf?0,1.4/4Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
Mécanique 4 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018Énergie mécaniqueMécanique 4 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018
Énergie mécanique
Exercices
Exercice 1 : Skieur
1Schéma figure 3. Compte tenu de l"orientation des forces, il est plus judicieux d"utiliser un repérage incliné le
long de la pente.α# ex# ey# P# N#TFigure 3-Schéma du skieur en descente.
2Notonsx= 0etx=Lles deux extrémités de la piste. Le travail du poids du skieur se calcule simplement,
W(#P) =
L0#P·# dM=
L 0 m#g·dx#ex=mgsinα L 0dxd"oùW(#P) =mgsinαLComme la force de réaction normale est perpendiculaire à la pente (donc à la trajectoire), alors elle ne travaille pas,
doncW(#N) = 0
Calculons enfin le travail de la force de réaction tangentielle#T. La seule chose que l"on connaisse à son sujet est le
lien entre sa norme et celle deN. Comme le mouvement du skieur demeure sur la piste sans s"enfoncer, alors
P y+Ny= 0soitNy=N=mgcosαd"oùT=μmgcosαAlors,
W(#T) =
L0#T·# dM=-
L 0Tdx=-μmgcosα
L 0dxd"oùW(#T) =-μmgcosαL3Appliquons le théorème de l"énergie cinétique au skieur entre son point de départDet son point d"arrivéeA,
E c(A)-Ec(D) =W(#P) +W(#T) =mgL(sinα-μcosα) Comme la vitesse initiale du skieur est nulle, et en notantcsa vitesse d"arrivée, on en déduit 12 mv2-0 =mgL(sinα-μcosα) et finalement v=?2gL(sinα-μcosα) = 18m·s-1= 65km·h-1Exercice 2 : Marsupilami1Si l"on néglige les frottements, alors l"énergie mécanique du Marsupilami
E m=Epp+Epe+Ecest une constante du mouvement. Son énergie potentielle compte une contribution de pesanteurEppet une contribu-
tion élastiqueEpe. Prenons la position du sol comme référence des énergies potentielles. Lorsqu"il est au sol, queue
comprimée, prêt à sauter, l"énergie mécanique du Marsupilami est uniquement de type potentielle élastique,
E m= 0 +12 k(?m-?0)2+ 01/10Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
Correction TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018Il serait également raisonnable d"inclure une contribution d"énergie potentielle de pesanteurmg?mà
l"énergie mécanique, mais cela ne modifierait pas beaucoup le résultat final.Au contraire, lorsque le Marsupilami atteint sa hauteur de saut maximale, sa vitesse est nulle et son énergie mécanique
n"est plus que de type potentielle de pesanteur, E m=mgh+ 0 + 0. D"après la conservation de l"énergie mécanique, 12k(?m-?0)2=mghd"oùk=2mgh(?m-?0)2= 4,4·103N·m-1.2Lorsque la queue du Marsupilami quitte le sol, sa longueur est égale à sa longueur à vide. Le Marsupilami se
trouve donc à une hauteur?0au dessus du sol avec une vitessev. Son énergie mécanique vaut alors
E m=mg?0+ 0 +12 mv2. D"après la conservation de l"énergie mécanique, mgh=mg?0+12 mv2d"oùv=?2mg(h-?0) = 88m·s-1Exercice 3 : Piégeage d"un électronL"énergie mécanique est simplement la somme de l"énergie cinétique et de l"énergie potentielle,
E m=12 m?dzdt? 2 +12 eV 0d 2z2. Comme elle est supposée conservée, alors sa dérivée temporelle est nulle, d"où dEmdt=mdzdtd2zdt2+eV0d
2zdzdt= 0.
Si l"électron oscille dans le piège, alors sa vitesse n"est pas constamment nulle. Pour calculer la fréquence des oscilla-
tions, on peut donc diviser par dz/dt. Diviser en outre parmconduit à d2zdt2+eV0md
2z= 0.
L"équation différentielle que vérifie le mouvement de l"électron est donc celle d"un oscillateur harmonique, dont la
fréquence propre vaut f0=12π?eV
0md2= 25·106Hz = 25MHzExercice 4 : Convoyeur de colis
Comme on cherche uniquement les vitesses en deux points (AetB), la version intégrale du théorème de l"énergie
cinétique est la méthode à privilégier.On raisonne sur un paquet de massem, en mouvement par rapport au référentiel terrestre (celui du centre de
tri), galiléen en très bonne approximation. Calculons les travaux des forces s"exerçant sur le paquet.
Le paquet subit bien sûr son poids
#P, qui dérive de l"énergie potentielle de pesanteur. Sur la trajectoireABoù le colis subit une dénivellationh, le poids et moteur et son travail vaut W AB(#P) = +mgh >0Il subit également la réaction du plan incliné, #R=#T+#N, non conservative. Le travail de#Nest nul car#Nest normale au déplacement. Pour calculer le travail de#T, il nous faut d"abord déterminer son expression. En utilisant le repérage ci-contre, on sait qu"elle s"écrit #T=-T#ex mais il faut calculer sa norme, ce qui ne peut se faire que via la norme de#Net la loi de Coulomb.2/10Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
Correction TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Par projection de la loi de la quantité de mouvement sur l"axeOy, m¨y=N-mgcosα= 0 car le mouvement se fait sur le plan incliné. On en déduit doncN=mgcosαdoncT=fmgcosα
et ainsi WAB(#T) =
AB#T·# dM=-fmgcosα
AB dx=-fmgcosαLoùLest la longueur totale du plan incliné. De la trigonométrie de base donnesinα=h/LsoitL=h/sinα.
Finalement,
WAB(#T) =-fmgcosα×hsinα=-fmghcotanα.
Appliquons maintenant le théorème de l"énergie cinétique, 12 mv2B-12 mv2A=mgh-fmghcotanα ce qui donne cotanα=-mv2B+mv2A+ 2mgh2fmgh ce qui se simplifie en cotanα=v2A-v2B+ 2gh2fghou encoretanα=2fghv2A-v2B+ 2gh
et conduit au final à tanα= 0,4etα= 22°.Exercice 5 : Mouvement sur un cercleLe système étudié est la bille, modélisée par un point matérielMde massem, en évolution dans le référentiel
terrestre, galiléen.1Le pointMest soumis à son poids, qui dérive de l"énergie potentielle de pesanteur, et à la réaction du support,
qui ne travaille pas : puisqu"il n"y a pas de frottement, seule la composante normale est à prendre en compte. L"énergie
potentielle de pesanteur s"écrit E pp=mgzM+cte=-mgRcosθ+cteen introduisant de façon très temporaire un axezvertical ascendant d"origineO. Choisissons dès maintenant la
constante en prenantEpp= 0en bas du cercle, c"est-à-dire lorsqueθ= 0, ce qui donne E pp=-mgRcosθ+mgR=mgR(1-cosθ)De plus, comme le mouvement est circulaire, on connaît la vitesse deMd"où on déduit son énergie cinétique
E c=12 m(Rθ)2 L"énergie mécanique de la bille est alors une constante du mouvement, qui vaut E m=-mgR(1-cosθ) +12 m(Rθ)2Ainsi,
dEmdt=mgRθsinθ+mR2θ¨θ= 0 Commeθne peut pas être constamment nul (cela signifierait que la vitesse est toujours nulle, or on sait qu"àt= 0
la vitesse de la bille n"est pas nulle), on peut simplifier pour obtenir mR2¨θ+mgRsinθ= 0d"où¨θ+gR
sinθ= 03/10Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr Correction TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 On reconnaît l"équation d"un pendule simple.2Le meilleur moyen de déterminer une force inconnue est d"écrire le principe fondamental de la dynamique,
m #aM/R=#P+#N On utilise ici évidemment le répérage polaire de centreOavecr=Rconstant, d"où ?-mRθ2=-N+mgcosθ mR¨θ=mgsinθ
car#Nest orientée selon-#ur. L"équation projetée sur#uθdonne l"équation du mouvement, déterminée énergétique-
ment, alors que l"équation projetée sur#urdonne accès à la normeN,N=mRθ2+mgcosθ.
Or on a montré précédemment que
E m=mgR(1-cosθ) +12 m(Rθ)2d"oùmRθ2=2REm+ 2mg(cosθ-1)
Ainsi,
N= 2REm+mg(3cosθ-2).
Enfin, comme l"énergie mécanique est une constante du mouvement, sa valeur est toujours égale à sa valeur initiale.
Comme on adéjàchoisi la référence d"énergie potentielle en bas du cercle, alors E m=Ec(0) +Ep(0) =12mv20+ 0Il est absolument indispensable de garder la même référence d"énergie potentielle tout au long de
l"exercice. En effet,Emest définie à une constante additive près, ce qui n"est pas le cas de la force.
Changer malencontreusement de constante en cours de route ferait apparaître la différence entre les
constantes dans l"expression de la force, ce qui n"a aucun sens.Cette expression donne finalement le résultat escompté,
N=m?v20R
+g(3cosθ-2)?3La normeNdoit par définition rester positive tout au long du mouvement : si elle s"annule, c"est que le contact
entre le support et la bille est rompu. Le premier terme entre crochets est toujours positif. En revanche, le second
terme peut prendre des valeurs négatives. La valeur la plus petite qu"il puisse atteindre, lorsquecosθ=-1, est-5g.
Ainsi, la bille ne décolle pas du support si
v 20R -5g >0soitv0> vmin=?5gR4Supposonsv0< vmin, et cherchons l"angleθpour lequel la norme deNs"annule, v 20R +g(3cosθ-2) = 03gcosθ= 2g-v20R
cosθ=23 -v203gRθ= arccos?23
-v203gR?4/10Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr Correction TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018Exercice 6 : Tige avec ressort
1L"anneau est soumis à son poids, force conservative dérivant de l"énergie potentielle de pesanteur, et à la force
de rappel du ressort, force conservative dérivant de l"énergie potentielle élastique. Il est également soumis à la force
de réaction de la tige, mais cette comme les frottements sont négligés cette force ne travaille pas. Ainsi, l"énergie
potentielle de l"anneau vaut E p=mgz+12 k(X-?0)2+cte soitEp=mgXcosα+12 k(X-?0)2+cte.Pour fixer les idées, on peut définir la constante en posant par exempleEp= 0lorsqueX=?0, ce qui donne cte=
-mg?0cosα, d"où E p=mg(X-?0)cosα+12k(X-?0)2.2Simgcosα > k?0, cela voudrait dire que le poids est suffisamment important pour " retourner » le ressort et
faire passerMdu côtéX <0. Le modèle du ressort idéal cesserait donc d"être valide bien avant.
Commençons l"étude par calculer la dérivée, dEpdX=mgcosα+k(X-?0).Cette dérivée est nulle enX=?0-mgcosα/k >0, et on peut facilement s"assurer qu"il s"agit d"un minimum, par
exemple en étudiant les limitesX→ ±∞du polynôme du second degré définissantEp. L"énergie potentielle minimale
vaut alors E p,min=-(mgcosα)22k, ce qui conduit au tracé figure 4.E pXE m?0Figure 4-Graphe d"énergie potentielle.
3Comme l"énergie cinétique est positive ou nulle, le mouvement a lieu dans les zones telles queEm≥Ep. La
figure 4 indiqueEm>0car la vitesse initiale est non nulle et?0est la référence d"énergie potentielle. Par conséquent,
tout au long du mouvement, E m=12 mV20Les points extrêmes correspondent à une énergie cinétique nulle, c"est-à-direEm=Ep(Xm), soit
12 mV20=mg(Xm-?0)cosα+12 k(Xm-?0)2Comme la trajectoire est bornée, alors le mouvement est périodique. De plus, comme le puits d"énergie potentielle
dans lequel il a lieu est parabolique, on s"attend à ce qu"il soit harmonique.4L"énergie mécanique de l"anneau vaut
E m=12 mX2+mg(X-?0)cosα+12 k(X-?0)2 et comme elle est constante alors dEmdt= 0 =mX¨X+mgXcosα+kX(X-?0).5/10Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
Correction TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018Comme il y a mouvement
Xn"est pas nulle à tout instant, ce qui permet d"aboutir à l"équation du mouvement X+km X=km?0-gcosα.On reconnaît comme attendu une équation d"oscillateur harmonique, d"où on déduit la période des oscillations
T0=12πω0soitT0=12π?m
kExercice 7 : Oscillateur de Landau
1Comme l"anneau est contraint de se déplacer sur une ligne horizontale, son énergie potentielle de pesanteur est
constante. Ainsi, la seule contribution à l"énergie potentielle est d"origine élastique, E p(x) =12 k(AM-?0)2. La longueurAMs"exprime à partir du théorème de Pythagore, AM2=a2+x2d"oùEp(x) =12
k(?a2+x2-?0)2.2Qualitativement, il est assez simple de comprendre pourquoi certaines courbes font apparaître deux minima et
d"autre un seul. Sia < ?0, alors deux positions deM, symétriques par rapport àOsont telles queAM=?0. Dans ce
cas, l"énergie potentielle élastique est nulle. Au contraire, sia > ?0, le ressort est toujours étiré et l"énergie potentielle
élastique jamais nulle.Ce raisonnement qualitatif se retrouve bien sûr sur l"expression mathématique deEp.Ainsi on peut identifierla courbe en pointillés violets au casa4= 3?0. La courbe en points verts ne fait
apparaître qu"un seul minimum, mais son énergie potentielle est nulle :elle correspond au casa3=?0. Enfin, il
reste à identifier les deux dernières courbes, ce qui peut se faire à partir de la valeur de l"énergie potentielle enx= 0.
Elle est plus élevée sur la courbe bleue que sur la courbe rouge, signe que le ressort est davantage comprimé. On en
déduit quela courbe bleue est celle du casa1=?0/10alors que la courbe rouge correspond àa2=?0/3.
3Quelles que soient les conditions initiales, le mouvement est borné carEpdiverge en±∞, et il est donc périodique.
un côtéx <0oux >0car l"anneau n"a pas assez d"énergie pour franchir la barrière de potentiel enx= 0. Si les
conditions intiales sont en revanche telles queEm> Ep(x=0), le mouvement a lieu de part et d"autre de la barrière,
et il est symétrique car le profil d"énergie potentielle l"est. C"est également le cas sia > ?0, et ce quelles que soient
les conditions initiales.4La condition initiale est très simple à déterminer : c"est le seul point commun à toutes les trajectoires de phase.
Compte tenu de la symétrie des portraits de phase et des profils d"énergie potentielle, seule la norme de la vitesse
peut être déterminée. On trouve x0= 0,4?0etx0= 0,5?0?k
mSeule la trajectoire de phase représentée en bleu n"est pas symétrique par rapport àx= 0. Elle correspond donc
au cas où la barrière de potentiel centrale est la plus élevée, doncle casa1=?0/10.La trajectoire de phase
représentée en rouge montre une réduction de vitesse enx= 0: elle correspond donc au cas où il y a une barrière de
potentiel, mais moins élevée, c"est-à-direle casa2=?0/3.Enfin, la trajectoire de phase verte est plus aplatie que
la trajectoire de phase violette. Cet aplatissement se retrouve dans les courbes d"énergie potentielle : la courbe verte
correspondau casa3=?0et la courbe violetteau casa4= 3?0.6/10Étienne Thibierge, 5 février 2018,www.etienne-thibierge.fr
Correction TD M4 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018Annales de concours
Exercice 8 : Balle dans un tonneau [oral banque PT]C"est la situation classique où il faut déterminer l"annulation d"une force de contact. Le système est la bille dans
le référentiel terrestre.Le meilleur moyen de déterminer une force inconnue est d"écrire le principe fondamental de la dynamique,
m #aM/R=#P+#NOn utilise ici évidemment le répérage polaire de centre celui du tonneau avecr=Rconstant, d"où
?-mRθ2=-N+mgcosθ mR¨θ=mgsinθ
car #Nest orientée selon-#ur, ce qui donneN=m(gcosθ+Rθ2)
Méthode 1 :parfaitement adaptée à la question mais moins générale. On reconnaîtRθ2=v2/Ravecvla vitesse de la balle. Ainsi, N=m? gcosθ+v2RIl faut queNsoit toujours positive, sinon la force s"annule ce qui est synonyme de rupture de contact. Le cas le moins
favorable se trouve enθ=πdonccosθ=-1. Calculons la vitesse en ce point, grâce à la conservation de l"énergie
mécanique. E m=????CI0 +mgh=????
θ=π12
mv(π)2+mg×2Rd"oùv(π)2= 2g(h-2R) et ainsiN(π) =mg?
-1 + 2h-2RROn a doncN >0pourhtel que
2 h-2RR >1soit2h-4R > Rdonch >52 RMéthode 2 :moins adaptée à la question mais plus générale.Pour trouver
θ2on utilise la conservation de l"énergie mécanique de la bille, qui est toujours égale à sa valeur
initiale. Ainsi, E m=???? E c+Epp12 mR2θ2+mgR(1-cosθ) =???? CImgh ce qui donne Rθ2=2ghR
+ 2g(cosθ-1) et en injectant dans l"expression deNon trouveN=m?2ghR
+ 3gcosθ-2g?quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] le slam définition
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