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3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

1 I) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle.

1) Définitions.

angles aigus. Nous avons déjà vu en 4ème Soit un triangle ABC rectangle en A et un de ses angles aigus, c c : cos c = côté adjacent à c hypoténuseavec 0 < cos c < 1 Sinus c : sin c = côté opposé à c hypoténuseavec 0 < sin c < 1 c : Tan c = côté opposé à c côté adjacent à cavec tan c > 0

être supérieure à 1 )

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

2

Sur la figure ci-dessus :

cos b = AB

BC cos

c = AC BC sin b = AC

BC sin

c = AB BC tan b = AC

AB tan

c = AB AC

Exemple :

cos m = MP

MN = 6

10 = 0.6

tan n = MP

NP = 8

6 1.33

sin m = PN

MN = 8

10 = 0.8

2) Angles complémentaires.

Puisque ABC est un triangle rectangle en A,

c et b sont deux angles aigus complémentaires. ( c + b = 90 ° ).

On remarque que

cos b = sin c , sin b = cos c , tan b = inverse de tan c = 1 tan c A C B

Hypoténuse Côté

opposé à c

Côté

adjacent à c

Côté

adjacent à b

Côté

opposé à b 6 10 8 M P N

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

3 Prop complémentaire. complémentaire.

Exemples :

Si cos 60 ° = 0.5 alors sin 30 ° = 0.5

Si tan

a = 4 alors tan ( 90 a ) = 1

4 = 0.25

sin

R = cos

S = TS

RS = 9

15 = 3

5 = 0.6

tan

S = 12

9 = 4

3 donc tan

R = 3

4 = 0.75

3) Avec la calculatrice :

Il faut bien vérifier que la calculatrice est en mode degré.

On peut déterminer une valeur approchée

soit du sinus, du cosinus ou de la tangente : si = 50 ° alors sin = ? on tape sin 50 exe la calculatrice affiche 0.7660444 donc une valeur approchée à 0.01 près de sin est 0.77. sin 0.77 dont le sinus, le cosinus ou la tangente sont donnés. si tan = 2 alors = ? on tape shift tan 2 la calculatrice affiche 63.434949 ou 2nd

à 0.1 près est 63.4 °

63.4 °

15 12 R S T 9

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ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

4

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

cos 1 0.98 0.94 0.87 0.77 0.64 0.5 0.34 0.17 0 sin 0 0.17 0.34 0.5 0.64 0.77 0.87 0.94 0.17 1 tan 0 0.18 0.36 0.58 0.84 1.19 1.73 2.75 5.67 4) . a) .

Dans le triangle rectangle MON, ( je

connais la longueur MO du côté opposé à

N, et la longueur MN de

hypoténuse, donc je peux utiliser le N.) sin

N = OM

MN

N = sin 1 ( 8

17 ) sin

N = 8

17

N 28.07°

8 cm 17 cm M O N E 15 cm 7 cm S T

Dans le triangle rectangle EST, ( je

connais la longueur ES du côté opposé à

T, et la longueur ST du côté adjacent de

T donc je peux utiliser la tangente de T.) tan

T = ES

ST

T = tan 1 ( 15

7 ) tan

T = 15

7

T 65°

P I E 25 cm
19 cm

Dans le triangle rectangle PIE, (je

connais la longueur PI du côté adjacent de P je peux donc utiliser le cosinus de P.) cos

P = PI

PE

P = cos 1 ( 19

25 )
cos

P = 19

25

P 40.54°

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

5 b) . c) Calcul de la longu. d) Problème de synthèse.

1) Calculer BH

2) Calculer

BAC

3) Calculer AC.

T H E 25 cm

24°

Dans le triangle rectangle THE, ( je

T, la longueur

hypoténuse, et je cherche la longueur du côté adjacent de

T, donc je

T.) cos

T = TH

TE TH = 25 cos 24

cos 24 = TH

25 TH 22.8 cm

9 cm R I Z

32°

Dans le triangle rectangle RIZ, ( je

Z, la longueur RI du côté opposé à

Z et je

Z.) sin

Z = RI

RZ RZ = 9

sin32 sin 32 = 9

RZ RZ 16.98 cm

RZ sin 32 = 9

8 cm 15 cm A B C H

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6

1) Calcul de BH

Pythagore :

BC ² = BH ² + HC ² BH ² = 225 64

15 ² = BH ² + 8 ² BH ² = 161

BH ² = 15 ² 8 ² BH = 161

BH 12,7 cm

2) Calcul de

BCH puis de BAC

Dans le triangle BHC rectangle en H,

cos

BCH = HC

BC

BHC = cos 1 ( 8

15 ) cos

BHC = 8

15

BHC 58 °

Dans le triangle ABC, rectangle en B, les angles aigus sont complémentaires, donc BCA +

BAC = 90 °

donc

BAC 90 58 donc

BAC 32°

3) Calcul de AC :

Dans le triangle rectangle ABC,

sin

BAC = BC

AC AC = 15

sin32 sin 32 = 15

AC AC 28,3 cm

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ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

7 5) triangle rectangle. a) Relation entre sinus et cosinus. sin ² + cos ² = 1

Dans le triangle ABC rectangle en A

sin

B = AC

BC et cos

B = AB

BC donc sin ²

B + cos ²

B = ( AC

BC ) ² + ( AB

BC ) ²

= AC ²

BC ² + AB ²

BC ²

= AC ² + AB ²

BC ²

or dans le triangle rectangle ABC, je peux appliquer le théorème de

Pythagore : AC ² + AB ² = BC ²

donc sin ²

B + cos ²

B = BC ²

BC ²

donc sin ²

B + cos ²

B = 1 ,

ceci quel que soit

B compris entre 0° et 90°

Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu , sin ² + cos ² = 1 b) Relation entre sinus cosinus et tangente. sin cos = tan

Dans le triangle ABC rectangle en A,

A C B

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

8 sin B cos B = AC BC AB BC = AC

BC BC

AB = AC

AB = tan

B Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu , sin B cos

B = tan

B On donne cos = 0.6 en déduire sin et tan sans calculette. + cos ² = 1 donc sin ² + 0.6 ² = 1 donc sin ² = 1 0.6² = 1 0.36 = 0.64 donc sin = 0.64 = 0.8

Je sais que tan = sin

B cos

B donc tan = 0.8

0.6 = 8

6 = 4

3

6) Angles remarquables.

Soit un triangle ABC équilatéral de côté a, et sa hauteur [AH] Soit un triangle rectangle isocèle MNP de sommet M, avec MN = NP = a BC A H M N P a a3 2 a 2 a a a 2

60 °

30 °

45 °

45 °

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

9 Dans le triangle équilatéral ABC, les trois angles valent chacun 60 °, donc ABC = 60 °. Dans le triangle ABH rectangle en H, les angles aigu sont complémentaires, donc

BAH = 90

ABH = 90 60 = 30 °

vaut a 3

2, donc AH = a 3

2. Dans le triangle MNP isocèle rectangle , les angles aigus valent chacun

45 °

De 2 donc

NP = a 2

Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des trois angles remarquables : 30 °, 45 °, et 60 °.

Dans le triangle BAH rectangle en H,

cos

BAH = AH

AB sin

BAH = BH

AB cos 30 ° = a 3 2 a sin 30 ° = a 2 a cos 30 ° = a 3 2 1 a sin 30 ° = a 2 1 a cos 30 ° = 3

2 sin 30 ° = 1

2

Je sais que tan 30 ° = sin 30 °

cos 30 ° tan 30 ° = 1 3 tan 30 ° = 1 2 3 2 tan 30 ° = 1 3 3 3 tan 30 ° = 1 2 2

3 tan 30 ° = 3

3

Dans le triangle rectangle isocèle MNP,

cos

MNP = NM

NP cos 45 ° = 1 2

22

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ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

10 cos 45 ° = a a 2 cos 45 ° = 1

2 cos 45 ° = 2

2 complémentaire. 45 ° a pour complémentaire 45 °.

Donc cos 45 ° = sin 45 ° = 2

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