[PDF] Baccalauréat 2017 - S Nouvelle Calédonie

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Baccalauréat 2017 - SNouvelle CalédonieSérie S ObligatoireMars 2017Correction Like Math93 on Facebook / Follow Math93 on Twitter

Remarque:dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faci-

liter la lecture et la compréhension du lecteur. Il est cependant exclu de faire cela lors de l"examen, le temps est précieux! Il est

par contre nécessaire de numéroter avec soin vos questions et de souligner ou encadrer vos résultats. Pour plus de précisions et

d"astuces, consultez la page dédiée de math93.com : présenter une copie, trucs et astuces.

Exercice 1.5 points

Commun à tous/toutes lescandidat/e/s

On considère la fonction f définie et dérivable sur[0 ;+∞[par f(x)=xe-xet on noteCfsa courbe dans un repèreorthogonal.

Partie A

1. Justifier toutes lesinformationsdu tableaude variationsdefdonné ci-dessous.

x0 1+∞ 1 e f(x) 00

• La fonctionfest définie et dérivable sur[0;+∞[comme somme et composée de fonctions qui le sont. Elle est de la

formeuvdonc de dérivéeu?v+uv?avec : u(x)=xu?(x)=1 v(x)=e-xu(x)=-e-x

Pour tout réel de[0;+∞[on a :

f ?(x)=1×e-x+x×?-e-x?=(1-x)e-x

• Lafonction exponentielle eststrictementpositif surRdoncf?estdusignedufacteur (1-x)sur[0;+∞[doncnégative

avant 1, nulle en 1 et positive après 1. La fonctionfest donc croissante sur [0 ; 1] et décroissante sur [1 ;+∞[.

• On obtient facilementf(0)=0 etf(1)=1 e.

Limiteen+∞.

-(1) : limx→+∞e xx=+∞ -(2) : limx→-∞xex=0-(3) : limx→0e x-1x=1 Propriété1(Limites liées à la fonction exponentielle )

On a d"après le (1) du théorème :

?f(x)=xe-x=x ex=1ex x lim x→+∞e x x=+∞=?limx→+∞f(x)=0

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Obligatoire- Mars 2017

2. SoitFlafonctiondéfinieetdérivablesur[0;+∞[parF(x)=(-x-1)e-x.DémontrerquelafonctionFestuneprimitive

defsur [0;+∞[.

La fonctionFest définie et dérivable sur[0;+∞[comme somme et composée de fonctions qui le sont. Elle est de la forme

uvdonc de dérivéeu?v+uv?avec : u(x)=-1-xu?(x)=-1 v(x)=e-xu(x)=-e-x

Pour tout réel de[0;+∞[on a :

F ?(x)=-1×e-x+(-1-x)×?-e-x? -1-(-1-x)?

×e-x

=xe-x F ?(x)=f(x) DoncF?=fce qui prouve que la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur??0 ;+∞??.

Partie B

Soit a un nombre réel tel que0

avec la courbeCf. On note xMl"abscisse du point M. On noteH(a)l"aire, exprimée en unités d"aire, du domaine hachuré sur

le graphique ci-dessous,c"est-à-diredu domaine situé sous la courbeCfau-dessusde la droiteDaetentre les droitesd"équation

x=0et x=xM. Le but de cette partie est d"établir l"existence et l"unicité de la valeur de a telle queH(a)=0,5puis d"étudier un

algorithme. 0,1 1D a Cf M1e

1. Prouverque la droiteDaet la courbeCfont un unique point d"intersectionMdistinct de l"origine.

Or on a :

ax=xe-x??ax-xe-x=0 ??x(a-e-x)=0 ??x=0 oua-e-x=0 ??x=0 oua=e-x ??x=0 ou ln(a)=-x ??x=0 oux=-ln(a) Donc la droiteDaet la courbeCfse coupent au point O et en un autre point d"abscisse -ln(a). www.math93.com /www.mathexams.fr©ISSN 2272-53182/13

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Obligatoire- Mars 2017

On admet dans la suite de l"exercice que le point M a pour abscisse xM= -lna et que la courbeCfest située au-dessus de la

droite D asur l"intervalle[0 ;-ln(a)].

2. MontrerqueH(a)=aln(a)-1

2a(ln(a))2+1-a.

Pourastrictement compris entre 0 et 1, on admet que la courbeCfest au dessus de la droiteDasur l"intervalle??0 ;-ln(a)??.

Donc pour tout réel de cet intervalle, la différence (f(x)-ax) est positive.

La fonctionx?-→(f(x)-ax) étant sur l"intervalle??0 ;-ln(a)??définie, positive et continue, on peut affirmer que l"aireH(a)

du domaine hachuré s"exprime , en unités d"aire par : -ln(a)

0?f(x)-ax?dx

On a donc pour touta?]0; 1[:

H(a)=?

-ln(a)

0?f(x)-ax?dx

-ln(a) 0 f(x)dx-? -ln(a) 0 axdx(par linéarité) F(x)? -ln(a) 0-? ax2 2? -ln(a) 0 ln(a)-1? e-(-ln(a))-(-1)e0? a(ln(a))2 2-0?

H(a)=aln(a)-a+1-1

2a(ln(a))2

3. Soit la fonctionHdéfinie sur ]0; 1] parH(x)=xln(x)-12x(ln(x))2+1-x. On admet queHest dérivablesur ]0; 1] et

quesontableaude variationscorrespondà celuiqui estproposéci-dessous. Justifier qu"il existeun uniqueréelα?]0; 1[

tel queH(α)=0,5. x

Variations

deH 01 1 00 0.5 Sifest une fonction définie,continueet strictementmonotonesur un intervalle [a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), l"équationf(x)=kadmet une unique solution dans [a;b]. Remarque: Le première démonstration rigoureuse de ce théorème est due au mathémati- cien autrichien Bernard Bolzano (1781-1848). Théorème1(Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) •Applicationdu corollairesur]0; 1]: -La fonctionHestcontinue(car dérivable) etstrictementdécroissantesur l"intervalle]0; 1]; -Le réelk=0.5 est compris entre limx→0+H(x)=1 etH(1)=0 -Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationH(x)=0.5 admet une solution uniqueαsur l"intervalle]0; 1]. www.math93.com /www.mathexams.fr©ISSN 2272-53183/13

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Obligatoire- Mars 2017

4.On considère l"algorithme présenté ci-dessous.

VARIABLES :A,BetCsont des nombres;

pest un entier naturel.

INITIALISATION : Demander la valeur dep

Aprend la valeur 0

Bprend la valeur 1

TRAITEMENT : Tant queB-A>10-p

Cprend la valeur (A+B)/2

SiH(C)>0,5

AlorsAprend la valeur deC

SinonBprend la valeur deC

Fin de la boucle Si

Fin de la boucle Tant que

SORTIE : AfficherAetB.

QuereprésententlesvaleursAetBaffichéesen sortiede cet algorithme?

Cet algorithme, dit de "dichotomie», permet de déterminer un encadrement d"amplitude inférieure ou égale à 10-pde la

solution de l"équationH(x)=0,5. Le nombreAest la borne inférieure de l"encadrement, le nombreBen est la borne supérieure.

5. Donnerun encadrementd"amplitude 0,01 deα.

Pour avoir un encadrement deα, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice. • Avec un pas deΔ=0.01 on obtient :?H(0,06)≈0,534>0,5 H (0,07)≈0,496<0,5????? , donc

0,06<α<0,07.

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Obligatoire- Mars 2017

Exercice 2. Vrai ou Faux3 points

Commun à tous lescandidats

Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera

pas prise en compte. Les deux questions sont indépendantes l"une de l"autre.

Affirmation1:La durée de vieT(exprimée en années) d"un appareil électronique suit la loiexponentielle de pa-

ramètreλoùλ>0. On sait qu"un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet

appareilfonctionnedeuxannéesde plussachantqu"il a déjàfonctionnétroisansestd"environ0,39 à 0,01près.

Soitλun réel strictement positif.

P et donc P

En outre la variableTest d"espérance :E(T)=1

Propriété2

SiXest une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifsteth:

P

X?t(X?t+h)=P(X?h)

Cette propriété traduit le fait que la loi exponentielle est"sans mémoire». Propriété3(Durée de vie sans vieillissement)

-La durée de vieT(exprimée en années) d"un appareil électronique suit la loiexponentielle de paramètreλoù

λ>0 . Or on sait qu"un tel appareil a une durée de vie moyenneE(T) de quatre ans donc on a :

E(T)=1

λ=4??λ=1E(T)=0,25

-D"après le cours, si une variable aléatoireXsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alors :

P(X

-On cherche la probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu"il a déjà fonctionné trois

ans ce qui se traduit par :P(T?3)(T?3+2).

La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement d"après la propriété 3 donc :

P (T?3)(T?3+2)=P(T?2)

De ce fait :

P (T?3)(T?3+2)=P(T?2) =1-P(T<2) =1-?1-e-0,25×2? =e-0,25×2 P (T?3)(T?3+2)≈0,61?=0,39

Conclusion : Cette affirmation estfausse.

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Obligatoire- Mars 2017

•Affirmation2:Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal?

O,-→u,-→v?

. L"équationz3-3z2+3z=0 admet

trois solutions dans l"ensemble des nombres complexesC, qui sont les affixes de trois points formant un triangle

équilatéral.

-On va résoudre dansCl"équationz3-3z2+3z=0. z

3-3z2+3z=0??z?z2-3z+3?=0

Z=0? ou? z2-3z+3=0? -On résout dansCl"équation (E") :z2-3z+3=0.

Le discriminant de cette équation du second degré estΔ=9-12= -3 donc l"équation admet deux solutions

complexes conjuguées z

1=3+i?

3

2etz2=3-i?

3 2 -Soit A le point d"affixez1et B le point d"affixez2. • OA=|z1|=???? ?3 2? 2 3 2? 2 9

4+34=?3 u.l.

• OB=|z2|=|z1|carz1etz2sont deux nombres complexes conjugués, donc OB=?

3 u.l..

• AB=|z2-z1|=?????3-i? 3

2-3+i?

3

2?????

=??-i?3??=?3 u.l. -On aOA=OB=AB=?

3 u.l. donc les trois solutions de l"équation (E) sont les affixes de trois points qui sont

les sommets d"un triangle équilatéral.

Conclusion : Cette affirmation estvraie.

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Obligatoire- Mars 2017

Exercice 3. Probabilités4 points

Commun à tous lescandidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Des étudiants d"une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A,B, C et D)sont au programme.

Partie A

"il y a une chance sur deux que le thème A soit évaluéle jour de l"examen»? •Analysedes données:

-"Sur un échantillon den=34 sujets d"examen. Il est constaté que 22 d"entre eux sont duthème A.». Donc la

fréquence observée sujets d"examen du thème A est f=22÷34≈0,647058823 soitf=0,647 -On veut tester l"hypothèse : "la proportion de sujets d"examen du thème A estp=50%». •Intervallede fluctuation: Si les conditions suivantes sont remplies :??????n≥30 ?np≥5 ?n(1-p)≥5

Alors un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% de la fréquenceFnd"un caractère

dans un échantillon de taillenest sipdésigne la proportion de ce caractère dans la population :

I n=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? Théorème2(Intervalle de fluctuation asymptotique)

On a pour le cas étudié,n=34,p=50 %. Vérifions les conditions d"application du théorème :

??n=34≥30 ?np=34×0,5=17≥5 ?n(1-p)=34×0,5=17≥5 Un intervalle fluctuation asymptotique au seuil de confiancede 95% est alors : I n=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?

0,5-1,96?

0,5×0,5?34; 0,5+1,96?

0,5×0,5?34?

Soit puisque les borne sont :

?p-1,96?p(1-p)?n≈0,33193 . On arrondit la borne inférieure par défaut à 10-3près soit 0,331.

?p+1,96? p(1-p)?n≈0,66807 . On arrondit la borne supérieure par excès à 10-3près soit 0,669. I

34≈?0,331 ; 0,669?

•ConclusionLa fréquence observée appartient à l"intervalle,f=0,647?Idonc le résultat du contrôle ne remet pas en question

l"hypothèse, au seuil de 95%. www.math93.com /www.mathexams.fr©ISSN 2272-53187/13

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Obligatoire- Mars 2017

Partie B

Le thème A reste pour beaucoup d"étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors

proposé pour travailler ce thème. Lors des résultats de l"examen, un étudiant s"exclame : "Je n"ai pas du tout traité le thème A».

Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage? On arrondirale résultat à0,001près.

• Résumons le données dans un arbreen notantSl"évènement "l"étudiant asuivi le stage»etAl"évènement "l"étudiant

a traité le thème A».

-"Lors de l"examen, on a constaté que s"il y a un exercice portant sur le thème A : 30% des étudiants n"ayant pas

suivi le stage ne traitent pas l"exercice» doncP S?A? =0,3; -"5

6des étudiants ayant suivi le stage l"ont traité» doncPS(A)=56;

-"On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage» doncP(S)=0,2.

-On complète ensuite l"arbre sachant que le total des probabilités sur les branches d"un même noeud est 1.

S A A SA A

P(S)=0,2

PS(A)=56

PS?A? =16 P?S? =0,8

PS(A)=0,7

PS?A? =0,3

• On cherche la probabilité que cet étudiant qui n"a pas traité le thème A ait suivi le stage, ce qui avec les notations

proposées se traduit par :P

A(S). Or on a la relation :

P

A(S)=P?

A∩S?

P?A?

CalculdeP?A∩S?

P?

A∩S?

=P(S)×PS?A? =0,2×16=130

CalculdeP?A?

Les évènementsSet

Sforment une partition de l"univers donc d"après la formule des probabilités totales on a : P A? =P?

S∩A?

+P?S∩A? =P(S)×PS? A? +P?S?

×PS?A?

=0,2×1

6+0,8×0,3

P A? =41150 • On a donc en gardant les valeurs exactes : P

A(S)=P?

A∩S?

P?A? =1 30
41
150
1

30×15041=541

P

A(S)≈0,122

•Conclusion : la probabilité que cet étudiant qui n"a pas traité le thème A ait suivi le stage est, arrondie au millième de

0,122.

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Obligatoire- Mars 2017

Partie C

sité pour la composition de cet examen, suit la loi normale d"espéranceμ=225 et d"écart-typeσoùσ>0. La probabilité

qu"un étudiantfinisse sonexamenenmoins de 235minutes est de 0,98.

Déterminer une valeurapprochéedeσà 0,1 près.?On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire Z=T-225

Soitμun réel etσun réel strictement positif.

La variable aléatoireTsuit la loi normaleN?μ;σ2?si et seulement si, la variable aléatoireZ=T-μ

σsuit la loi

normale centrée réduiteN(0 ; 1).

Propriété4

Donc ici, puisqueTsuit la loi normaleN?225 ;σ2?, la v.a.Z=T-225 σsuit la loi normale centrée réduiteN(0 ; 1).

On cherche ici une valeur approchée à 10

-1deσsachant queP(T?235)=0,98, or : Pquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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