[PDF] Résumé de la séance du 17 février 2015 - 1.7 Trois théorèmes

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1.7Troist héorèmescl assiques:Thalès,Desar gues,Pappus

Définition1.41.(mesurealgé brique)SoientDunedroi teaffineda nsunespace affineX,v⃗ unve cteurdirecteurdeD.PourA,B∈D,onappellemesurealgébriquedubipoint(A,B),rela- Onvé rifiefacilementque siA,B, CetDsontquatr epointsd'unedroite affineD,alorsle rapport CD AB Théorème1.42.(théorèm edeThalèsdansunp lanaffine)SoitPunpl anaffine,Det D deuxdroites distinctesdansP.Si∆ 1 2 3 sonttroisd roitesdistinctes, parallèles,de directiondistinctedeD etD ,tellesque∆ i (1!i!3)coupeDetD respectivementenA i etA i alorsona: A 1 A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 1 A 2

Démonstration.NousavonsP

=D 1 ,doncA 1 A 3 s'écritdemanièreuni queA 1 A 3 =u⃗+v⃗, oùu⃗∈D etv⃗∈∆ 1 1 A 3 etv⃗=A 1 A 1 A 3 A 3 .NoussavonsqueA 1 A 3 =λA 1 A 2 etque A 1 A 3 A 1 A 2 .Enutilisantencoreunefoisla relationdeChasles,o nobtie nt:A 1 A 3 A 1 A 2 (A 1 A 1 +A 1 A 2 +A 2 A 2

Onen déduit alorsqueλ=λ

,d'oùlethéorème."

Corollaire1.43.SoientDetD

deuxdroites sécantesenAdansunplan affineP.SoientB,C deuxpoints deDdistinctsdeA;B ,C deuxpoints deD distinctsdeA.Alorslesdroites (BB )et(CC )sontparall èlessietseulementsi AC AB AC AB Démonstration.Dansunsens onappl iquelethéor ème1.42enfa isantpasserparAunedroi te parallèleà(BB Énoncéduthéorème deThal èsdansunespaceaffinededi mens ionaumo ins3: Définition1.44.SoitXunespac eaffinededi mension naumo inségaleà3.Onappell e unpl anaffine). Théorème1.45.SoientXunes paceaffinededi mension n#3,D,D deuxdroites affinesdis- tinctesdeX,H 1 ,H 2 ,H 3 troishyperpla nsdistincts,parallèlesetdedire ctionnecontenantpas cellesdeDetD .Si l'hype rplanH i coupelesdroit esDetD respectivementenA i ,A i ,alorson a: A 1 A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 1 A 2 Théorème1.46.(théorèm edeDesargues)SoientXunes paceaffine,ABCetA B C deuxtriangles nondégénérésdeXtelsqueA=/A ,B=/B etC=/C

Onsup poseque(AB)//(A

B ),(BC)//(B C )et(CA)//(C A ).Alorslesdroites(AA ),(BB et(CC )sontconcou rantesouparallèles.

10Géométrieaffine

Démonstration.Lesdr oites(AB)et(A

B )étantparallèles ,lesquatrepointsA,B, A etB sontcoplan aires.Demême,lespointsA,C,A etC sontcoplan aires.

Onco mmenceparremarquerquesi lespoints A,B, A

etB sontaligné s,alorsiln'yarienà prouver(lesdroite s(AA )et(BB )étantalorsconf ondues).

SupposonslespointsA,B,A

etB nonalig nés.

Sile sdroites(AA

)et(BB )sontsécant esenunpointO,onvérifiealorsqueO=/A,O=/A

O=/BetO=/B

L'hypothèse(AB)//(A

B )nousdonne h(B)=B .Posonsh(C)=C .h(AC)estladr oite parallèleà(AC)etpa ssantparh(A)=A ,demêmeh(BC)estladr oitepa rallèleà(BC)et passantparh(B)=B .Ainsih(AC)=(A C ),h(BC)=(B C

Onen déduit queC

=C ,donclesdroites(AA ),(BB )et(CC )sontconcou rantesenO. Si(AA )et(BB )sontparall èles,onconsidèrelatranslationt AA envoyantAsurA .Deshypo- thèses(AB)//(A B )et(AA )//(BB )ondé duitqueAA B

Bestunpa rallélo gramme,donc

t AA (B)=B .PosonsC =t AA (C).Onat AA (AC)=(A C ),t AA (BC)=(B C )eton en déduitC =C ,donclesdroites(AA ),(BB )et(CC )sontparall èles." Théorème1.47.(théorème dePappus)SoientA,B, Ctroispointsdi stinctsd'unedroi te affineD,A ,B ,C troispoints,d 'uneautredroiteD .Si(AB )//(BC )et(A

B)//(B

C), alorsona(AA )//(CC Démonstration.Onco mmenceparremarquerquesi D//D ,alorsc'estgagné(faireundessin etut iliserdesparallélogrammes ).

Notonsquelaco ndition(AB

)//(BC )et(A

B)//(B

C)entraînequelessixpointss ontcop la-

naires. Ilre steàtraiterlas itu ationoùlesdroitesDetD sontsécant esenunpointO.

SupposonsdoncDetD

sécantesenO.Soitalorsh 1 l'homothétiedecentreOquienvo ieAsur Beth 2 l'homothétiedecentreOquienvoi eBsurC. Cesdeux homothétiesc ommutentcarellesontmêmecentre.On ah 2 ◦h 1 (A)=h 1 ◦h 2 (A)=C, h 2 ◦h 1 (A )=h 1 ◦h 2 (A )=C .h 2 ◦h 1

étantunehomot hétie,onendéd uitque(AA

)//(CC

1.7Tro isthéorèmesclas siques:Thalès,Desargues,Pa ppus11

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