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chemin de s à x. (3) Si x ∈ G(s) le chemin de s à x dans G(s) est un plus court --> Algorithme "Union-Find". 1. 2. 6. 3. 4. 7. 5. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 1. 2.

Numé e t S e c fo t u - Plus court chemin dans un

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Graphes

Un algorithme de calcul de plus court chemin (Dijkstra par exemple) produit Lors de la mise en oeuvre. (dans un programme C Java

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Une fois cet algorithme exécuté pour reconstituer le plus court chemin

Solution

31 oct. 2012 système permettant de trouver un plus court chemin dans un graphe en utilisant l'algorithme de Dijkstra. ... représentées en Java par des objets ...

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10 janv. 2012 Ecrire le programme Java qui effectue l'algorithme 1. On supposera d ... plus court chemin de coût minimum

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À la recherche du plus court chemin

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11 nov. 2013 Parcours en profondeur. 3 Fermeture transitive des graphes. Algorithme de Warshall. 4 Recherche du plus court chemin. Algorithme de Ford.

Plus courts chemins

16 févr. 2011 Algorithme A* ... Plus courts chemins (Dijkstra A*

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Premières applications d'un algorithme de parcours. Connexité – Forte connexité. Divers …. 3. Optimisation et Graphes. Plus courts chemins.

Conception et réalisation dun système de gestion de véhicules

26 févr. 2013 Algorithmes de plus court chemin dans le domaine du transport. ... Algorithme du plus court chemin sur un graphe dynamique et distribué .

algorithm

Algorithme du chemin le plus court à source unique (étant donné qu'il y a un cycle différentes bases de programmation telles que Python ou Java

UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL ALGORITHME DE JUMELAGE

objectif est de modéliser et d'implémenter en JAVA un algorithme de jumelage notamment appel à des calculs de plus courts chemins.

Première partie : Algorithmique avancée pour les graphes

L'algorithme de Dijkstra permet de calculer les plus courts chemins dans le cas où tous les coûts sont positifs et peut être vu comme une généralisation du

Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des

L'algorithme de Bellman-Ford permet de trouver les plus courts chemins à origine unique dans le cas où le graphe contient des arcs dont le coût est négatif

Graphes (3)

- Plus courts chemins -

INF 431

Algorithmes, Réseaux, Langages

X 2009

Amphi 4 - 16 février 2011

Benjamin Werner

mercredi 16 février 2011 Today

Cycles et tri topologique

Algorithme A*

Floyd-Warshall

Bellman-Ford

mercredi 16 février 2011

Circuits et sans-circuits

Rappel: circuit 㱻 Arc arrière dans la DFS Pas de circuit: graphe acyclique "DAG» (Directed acyclic graph) mercredi 16 février 2011 DAGs

Accessibilité dans un DAG: relation d'ordre

Plus courts chemins (Dijkstra, A*, Floyd-Warshall,

Bellman-Ford) : important aussi pour les graphes

cycliques

Plus longs chemins : plus difficile ! (NP)

mercredi 16 février 2011

Exemples de DAGs (1)

Arbres avec partageTTidentiquesT

mercredi 16 février 2011

Le DAG des CFC

mercredi 16 février 2011

Exemples de DAGs (2)

Tâches : On doit avoir faire A avant d'accomplir B (A,B) ∈ A Chaque semaine en TD: compilation des fichiers java

Question pratique: tri topologique

mercredi 16 février 2011

Tri Topologique

Def. Une liste topologique de S est une permutation (s 0 ; s 1 ; ... ; s n ) des sommets tel que : si (s i , s j ) ∈A alors iTri Topologique Il faut trouver tous les sommets accessibles depuis a : donc on utilise DFS pourtout sommet s etat[s]= pasVu;

F = vide;

fonction triTopo(s,F) etat[s] = enCours; pour tout voisin t de s faire si etat[t] == enCours alors erreur; si etat[t] == pasVu alors dfs(t,F); etat[s] = Vu;

F = s::F;

Relancer triTopo s'il reste des sommets pasVu

mercredi 16 février 2011

F= ∅

mercredi 16 février 2011

F= ∅

mercredi 16 février 2011 F= d mercredi 16 février 2011 F= d mercredi 16 février 2011 F= ed mercredi 16 février 2011

F= afged

mercredi 16 février 2011

F= afged

mercredi 16 février 2011

F= afged

mercredi 16 février 2011

F= bafged

mercredi 16 février 2011

F= cbafged

Done mercredi 16 février 2011

L'algorithme A*

Une amélioration de Dijkstra

Recherche de chemin de A vers B

Graphe valué

mercredi 16 février 2011 mercredi 16 février 2011 mercredi 16 février 2011

Peut-on faire plus rentable ?

mercredi 16 février 2011 mercredi 16 février 2011 mercredi 16 février 2011

Comment avance-t-on ?

Dijkstra:

Distance minimale à l'origine

plus court chemin de la forme dd

On transforme le minimal en

On va favoriser le sud

dd mercredi 16 février 2011 sd(x)xh(x) h(x) distance estimée: heuristique on choisit f(x)=d(x)+h(x) minimal mercredi 16 février 2011 sd(x)xh(x)d(y)yh(y)on choisit f(x)=d(x)+h(x) minimal mercredi 16 février 2011 pourtout sommet x faire d[x] = infini; f[x] = infini; etat = inexplore; d[s]=0; f[s] = h(s); file = {s}; tantque file nonVide faire choisir x dans file avec f[x] minimal; si x == arrivee alors fini; etat[x] = explore; pourtout y successeur de x faire si etat[y]=encours alors si d[y] > d[x]+d(x,y) alors d[y] = d[x]+d(x,y); f[y] = d[y] + h(y); si etat[y]=inexplore alors d[y] = d[x]+d(x,y); f[y] = d[y] + h(y); etat[y] = encours; ajouter(y,file);

Algorithme A*

mercredi 16 février 2011 pourtout sommet x faire d[x] = infini; f[x] = infini; etat = inexplore; pere[x] = indefini; d[s]=0; f[s] = h(s); file = {s}; tantque file nonVide faire choisir x dans file avec f[x] minimal; si x == arrivee alors fini; etat[x] = explore; pourtout y successeur de x faire si etat[y]=encours alors si d[y] > d[x]+d(x,y) alors d[y] = d[x]+d(x,y); f[y] = d[y] + h(y); pere[y]= x; si etat[y]=inexplore alors d[y] = d[x]+d(x,y); f[y] = d[y] + h(y); etat[y] = encours; ajouter(y,file); pere[y]= x;

Algorithme A*

mercredi 16 février 2011 pourtout sommet x faire d[x] = infini; f[x] = infini; etat = inexplore; d[s]=0; f[s] = h(s); file = {s}; tantque file nonVide faire choisir x dans file avec f[x] minimal; si x == arrivee alors fini; etat[x] = explore; pourtout y successeur de x faire si etat[y]=encours alors si d[y] > d[x]+d(x,y) alors d[y] = d[x]+d(x,y); f[y] = d[y] + h(y); pere[y]= x; si etat[y]=inexplore alors d[y] = d[x]+d(x,y); f[y] = d[y] + h(y); etat[y] = encours; ajouter(y,file); pere[y]= x;

Algorithme A*

Si h(x) = 0 pour tout x,

on retrouve Dijkstra mercredi 16 février 2011

Correction

4 est la longueur du plus court chemin depuis la racine6 est la longueur du plus court chemin depuis la racine

de la forme : x d=4 y d=6 y s mercredi 16 février 2011

Correction de A*

x 1 x 2 x 3 x 4 h(x)h(y)a(x,y)d 1 =0 d 2 =a(x 1 ,x 2 )d 3 =d 2+ a(x 2 ,x 3 )d 4 =d 3+ a(x 3 ,x 4 f 1 =h(x 1 )f 2 =d 2+ h(x 2 )f 3 =d 3+ h(x 3 (f i ) croissante mercredi 16 février 2011 on choisit f(x)=d(x)+h(x) minimalsoit d(y,x) la longueur du chemin de y à x on à d(y)+h(y) > d(x)+h(x) h(x)+d(x,y) > h(y) donc: d(y)+h(x) + h(y)+d(x,y) > d(x)+h(x)+h(y) d(y)+d(x,y) > d(x) dh(x)dyh(y)x d(y,x) d(x) est bien la distance de l'origine à x mercredi 16 février 2011

Sur A*

Peut fonctionner pour d'autres

heuristiques l'optimalité: on trouve le plus court chemin

Implémentation très proche de Dijkstra

A voir cet après-midi

mercredi 16 février 2011

L'algorithme de Floyd-

Warshall

Recherche de tous les plus courts chemins

(pas de source, pas de but pré-définis)

Beaucoup moins "topologique» que A*

mercredi 16 février 2011

234561

2222686193

d k (i,j) distances partielles mercredi 16 février 2011

234561

12345610

61
20 682
3 66
0 92
4 19 0 32
5 83
0quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] Plus courts chemins 16 févr. 2011 Algorithme

Graphes (3)

INF 431

Algorithmes, Réseaux, Langages

X 2009

Amphi 4 - 16 février 2011

Benjamin Werner

Cycles et tri topologique

Algorithme A*

Floyd-Warshall

Bellman-Ford

Circuits et sans-circuits

Accessibilité dans un DAG: relation d'ordre

Bellman-Ford) : important aussi pour les graphes

Plus longs chemins : plus difficile ! (NP)

Exemples de DAGs (1)

Arbres avec partageTTidentiquesT

Le DAG des CFC

Exemples de DAGs (2)

Question pratique: tri topologique

Tri Topologique

F = vide;

F = s::F;

Relancer triTopo s'il reste des sommets pasVu

F= ∅

F= ∅

F= afged

F= afged

F= afged

F= bafged

F= cbafged

L'algorithme A*

Une amélioration de Dijkstra

Recherche de chemin de A vers B

Graphe valué

Peut-on faire plus rentable ?

Comment avance-t-on ?

Dijkstra:

Distance minimale à l'origine

On transforme le minimal en

On va favoriser le sud

Algorithme A*

Algorithme A*

Algorithme A*

Si h(x) = 0 pour tout x,

Correction

4 est la longueur du plus court chemin depuis la racine6 est la longueur du plus court chemin depuis la racine

Correction de A*

Sur A*

Peut fonctionner pour d'autres

Implémentation très proche de Dijkstra

A voir cet après-midi

L'algorithme de Floyd-

Warshall

Recherche de tous les plus courts chemins

Beaucoup moins "topologique» que A*

234561

2222686193

234561

12345610