4èeme : Chapitre2 : Triangles et droites parallèles 1. La droite qui
La droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. Exemple : ABC est un triangle quelconque avec I milieu de
F1 Comment démontrer que deux droites sont parallèles
P : Si un triangle est rectangle alors ses 2 angles aigus sont complémentaires. P : Si un quadrilatère est un parallélogramme
COMMENT DEMONTRER……………………
Propriété : Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au support du troisième côté de ce triangle.
Outils de démonstration
Si un quadrilatère est un losange alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
sécante forment des angles correspondants de même mesure alors ces droites sont parallèles. Les droites (vt) et (uy) sont coupées par la sécante (zw).
Chapitre 2 – Proportionnalité dans le triangle
Avec les conditions précédentes on déduit que les dimensions du triangle OMN sont En effet
Angles et triangles
2 Angles et parallèles Alors ces deux droites sont parallèles. ... La somme des angles d'un triangle quelconque est égale à 180 degrés. Démonstration.
Chapitre 2 – Triangles et parallèles
Dans un triangle si une droite passe par les milieux de deux des côtés
Quelques propriétés utiles en géométrie Si deux droites sont
Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors ces deux droites Si un triangle ABC est isocèle en A alors la hauteur issue de A
Symétrie par rapport à une droite Symétrie par rapport à un point
Le rectangle le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. En effet
Chapitre 2 - Triangles et parallèles1- Propriétés de la droite des milieuxa) Propriété de parallélisme Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux des côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. Démonstration On considère un triangle ABC et les points I et J, milieux respectifs de [ AB ] et [ BC ].
Soit alors le point K, symétrique de J par rapport à I. On sait donc que : I est le mileu des segments [ AB ] et [ KJ ] qui sont les diagonales de AKBJ.Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc : AKBJ est un parallélogramme .
Par ailleurs, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. On en déduit donc que : KA = BJ et ( KA ) // ( BJ ) .
On sait, de plus, que J est le milieu de [ BC ] ; par conséquent : BJ = JC et ( BJ ) = ( JC ) .
On a alors : KA = JC et ( KA ) // ( JC ) .Or, si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même mesure, alors c'est un parallélogramme. Donc : KACJ est un parallélogramme .
Enfin, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles. D'où : ( KJ ) // ( AC ).
Et par suite : ( IJ ) // ( AC ) . CQFD !2 IA BCJKb) Propriété de longueur Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux des côtés, alors il mesure la moitié du troisième côté. Démonstration Par la démonstration précédente, on sait que KACJ est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même mesure. Donc : KJ = AC .
Cependant, I est le mileu de [ KJ ]. De sorte que : IJ = ½ KJ .On peut donc en conclure que : IJ = ½ AC . CQFD ! c) Propriété réciproque Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Démonstration On considère un triangle ABC ainsi que les points I et J, milieux respectifs de [ AB ] et [ AC ].
On appelle ( d ) la parallèle à ( BC ) passant par I. Dans le triangle ABC, on sait que I est le milieu de [ AB ] et que J est le milieu de [ AC ].Or, dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté. Donc la droite ( IJ ) est parallèle à la droite ( BC ).
D'autre part, la droite ( d ) est parallèle à la droite ( BC ).Mais deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles. On en déduit alors que les droites ( IJ ) et ( d ) sont parallèles. Or, les droites ( d ) et ( IJ ) ont un point commun : le point I.
Par conséquent, les droites ( d ) et ( IJ ) sont confondues. Et, par suite, la droite ( d ) passe par J, milieu de [ AC ].
CQFD !
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