[PDF] Factorisation Factoring Factorisation dun trinôme Factoring

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2.1BASICR ULESOFALGEBRA38

Factorisation

Lafactorisation,aussiappelée miseenfacteurs ,consisteà écrire une expressioncommelepr oduitdedeux ouplusieursfacteurs. End'autre termes,on" faitsortir »lesparties communesd'uneexpr essioncompli- quéepourobtenir uneexpression pluscompacte .Supposonsqu'on ait l'expression6x 2 y`15x.Nouspouvons lasimplifieren faisantsortir les facteurscommunset enl esécrivantdevant uneparenthèse. Voyonscom- mentonfait ça,étapepar étape. L'expression adeuxtermes etchacunpeut

êtreséparéenses facteursconstitutifs:

6x 2 y`15x"p3qp2qpxqpxqy`p5qp3qx. Puisquelesfacteurs xet3apparaissent danslesdeux termes,nouspou- vonslesmettre enfacteuraudébut,comme ceci: 6x 2 y`15x"3xp2xy`5q. L'expressiondedroitemeten evidencequeles facteurs3xsontcommuns auxdeuxtermes.

Voiciunautreexemple defactorisation:

2x 2 y`2x`4x"2xpxy`1`2q"2xpxy`3q.

Factoring

Factoringinvolves"taking out"the commonpartsof acompli- catedexpression inordertomakethe expressionmor ecompact.

Supposewe're giventheexpression6x

2 y`15x.We cansimplify thisexpression bytakingoutthecommon factorsandwriting theminfr ontofa bracket.Let'sseehowthisis donestepby step. Theexpression hastwotermsandeachterm canbesplit intoits constituentfactors: 6x 2 y`15x"p3qp2qpxqpxqy`p5qp3qx. Sincefactorsxand3appear inbothterms, wecanfactorthemout tothefr ontlikethis : 6x 2 y`15x"3xp2xy`5q. Theexpression ontherightshows3 xiscommonto bothterms.

Here'sanotherexamplewhere factoringis used:

2x 2 y`2x`4x"2xpxy`1`2q"2xpxy`3q.

Factorisationd'un trinôme

Untrinômedu seconddegréestuneexpr essiondela formeax 2 `bx`c. Onl'appelle" trinôme» parce qu'ilcontienttroistermes.Les constantes a,betcsontappeléescoefficients:aestlecoef ficientduterme dusecond degréouterme quadratique(c'estcelui quicontient x 2 ),bestlecoef ficient duterme linéaire(le termecontenantx 1 )etcestleterme constant.

Pourmettreenfacteursoufactoriserletrinôme ax

2 `bx`c,ilfaut le réécrirecommeproduitde deuxfacteursde laformepx`?q: ax 2 `bx`c"apx`pqpx`qq. Lorsquec'estpossible, ilestutile der eprésenterlestrinômes dusecond degrésousla "formefactorisée »pour mieuxcomprendreleurspr opriétés, commeillustrédans l'exempleci-dessous.

Factoringquadraticexpressions

Aquadraticexpression isanexpr essionlikeax

2 `bx`c,which containsx 2 ,x,andconstant terms.Theconstants a,b,andcare calledcoefficients.Thecoef ficientofthe quadraticterm(theterm containingx 2 )isa,thecoef ficientofthe linearterm(theterm containingx 1 )isb,andcistheconstant term.

Tofactorthequadratic expressionax

2 `bx`cistor ewriteitas theproduct oftwofactorsoftheform px`?q: ax 2 `bx`c"apx`pqpx`qq. It'softenuseful tor ewritequadraticexpr essionsin"factor ed form"tobetter understandtheirpr operties,asshown inthenext example.

2.1BASICR ULESOFALGEBRA39

ExempleSupposonsquenous voulionsétudierles propriétésde lafonc- tionfpxq"x 2 ´5x`6.Quellessont lesracinesdecettefonction ?C'està direquellessontlesvaleurs dexpourlesquellesfpxq"0?

Mettreenfacteursletrinôme x

2

´5x`6nousaidera àvoirplus claire-

mentcespr opriétésetrépondr eàlaquestion.Dansce cas,onpeut écrire letrinômecomme produitde deuxfacteurs: fpxq"x 2

´5x`6"px´2qpx´3q.

Souscetteforme, onvoit d'unseulcoup d'oeilqueles racinesdefpxqsont x"2etx"3.Quandx"2lefacteur px´2qestnulet doncfpxq"0.De même,six"3lefacteur px´3qestnulet doncfpxq"0.

Commentavons-noussu quelesfacteurs dex

2

´5x`6sontpx´2q

etpx´3q?Pourtr ouverlesfacteurs d'untrinômeduseconddegré,nous supposonsqueles deuxfacteurssont px`pqetpx`qqpourcertainesin- connuespetq,eton calculeleur produit: px`pqpx`qq"x 2 `pp`qqx`pq. Notezquele coefficientdu termelinéaire estlasommedesdeuxinconnues pp`qq,tandisque leterme constantestleur produitpq. Pourcertainstrinômes duseco nddegrésimples commeceluique nous venonsdevoir ,ilvous suffitde"deviner» quelssontles valeursde petq. Dansl'exemple ci-dessus,nouscher chionsdeuxnombr esdontla somme est´5etdont leproduit est6,et nousavonstr ouvép"´2etq"´3. L'approcheparessaiseterreurs estunestratégie efficacepour letypede problèmesquevousrencontr erezdans desdevoirset desexamens.Les professeursdemathschoisissent souventdesnombr essimplescomme ˘1, devrezvousservirdela formulequadratiquequiferal'objet delasection 2.2.

Trinômesduseconddegré communs

Regardonsmaintenantquelquescascommuns detrinômes dusecond degréquel'on obtientparla multiplicationdedeux facteursdela forme px`?q. Onappelle différencedecarrésdesexpressions comme: x 2 ´p 2 "px`pqpx´pq. ExampleSupposewe'r easkedtodescribethepr opertiesofthe functionfpxq"x 2

´5x`6.Specifically, we'reaskedtofind the

valuesofxforwhichthe functionisequal tozer o.

Factoringthe expressionx

2

´5x`6willhelp usseeits proper -

tiesmore clearly.Thefactoredform ofthisquadraticexpression is fpxq"x 2

´5x`6"px´2qpx´3q.

Wenowseeata glancethatthe twovaluesof xforwhichfpxq"0 arex"2andx"3.Whenx"2thefactor px´2qiszero and hencefpxq"0.Similarlyif x"3thefactor px´3qiszero, so fpxq"0.

Howdid weknowthat thefactorsof x

2

´5x`6are px´2q

andpx´3q?Findingthe factorsofa quadraticexpr essionrequir es inthevalues. Ifweassume thetwofactors arepx`pqandpx`qq forsomeunknown constantspandq,thenwe knowtheirpr oduct gives: px`pqpx`qq"x 2 `pp`qqx`pq. Observethat thelinearterm ontheright-hand sidecontainsthe sumofthe unknownspp`qq,whilethe constanttermis their productpq. Forcertainsimple quadraticslikethe oneabove, youcansim- plyguesswhatthe valuesofpandqthatfit.In theaboveexample, wewere lookingforthetwonumberswhose sumis´5andwhose productis6,andwe foundp"´2andq"´3.Thistrial anderror askedtosolve, sincemath teachersoftenchoose simplenumbers like˘1,˘2,˘3,or˘4forthe constants.Formor ecomplicate d quadraticexpr essions,you'llneedtousethe quadraticformula, whichwe'lltalk aboutinSection 2.2.

Commonquadraticforms

Let'snowlook atsomecommon quadraticexpressions that youmightencounter whenmultiplyingtwo factorsofthe form px`?q.

2.1BASICR ULESOFALGEBRA40

Iln'ya pasdeterme linéairepar cequele terme´xps'annuleavecle terme pxlorsqu'ondéveloppeles parenthèses.Chaque foisquevous verrezune expressiondelaforme a 2 ´b 2 ,sachezque vouspourriez laréécrire comme leproduit pa`bqpa´bq. Untrinômecarréparfait estune expressionobtenue lorsquelaconstante danslesdeux facteursestla même: x 2 `2px`p 2 "px`pqpx`pq"px`pq 2

Notezque x

2

´2qx`q

2 "px´qq 2 estégalementun carréparfait. En généralona l'équationa 2

˘2ab`b

2 "pa˘bq 2 pourtoutaetb. Aquadratic expressionisadifferenceofsquaresifitlooks like this: x 2 ´p 2 "px`pqpx´pq. Youcanverifythis equationiscorr ectbyexpanding thebrackets ontheright-hand side.Thelinear termsisnot therebecause the ´xptermcancelsthe pxterm.Thismeans anytimeyousee an expressionoftheform a 2 ´b 2 ,youknow it'scoming fromthe productofthetwoterms pa`bqpa´bq. Aperfectsquare isa quadraticexpression obtainedfr omthe productofrepeatedfactors px`pq: x 2 `2px`p 2 "px`pqpx`pq"px`pq 2 Notex 2

´2qx`q

2 "px´qq 2 isalsoa perfectsquar e.Ingeneral, theequationa 2

˘2ab`b

2 "pa˘bq 2 holdsforall valuesofaand b.

Complétionducarré

Nousallons maintenantdécouvrirune anciennetechniqued'algèbr e appeléecomplétiondecarré quinouspermet deréécrire touttrinômedu seconddegréx 2 `Bx`Ccommelasomme d'uncarré parfaitetune constantepx`pq 2 `k.Cettetechnique d'algèbrea étédécrite dansundes premierslivressur l'algèbre,écritparAl-Khwarizmivers l'an800de notre

ère.

Réécrivonsd'abord x

2 `Bx`Cendivisantle termelinéair eendeux partieségales: x 2 B 2 x` B 2 x`C. Nouspouvonsinterpréter géométriquementlestr oispr emierstermes commesuit: letermex 2 correspondàuncarré decotéx,tandisque les deuxtermes B 2 xcorrespondentàdesrectangles decôtés B 2 etx.Voir la partiegauche delafigur e2.2pour uneillustration.

Completingthesquare

Inthissection we'lllearnabout anancientalgebra technique calledcompletingthesquar e,whichallows ustor ewriteanyquadra- ticexpressionoftheformx 2 `Bx`Casaperfectsquareplussome constantcorrection factorpx`pq 2 `k.Thisalgebra techniquewas describedinone ofthefirst booksonal-jabr(algebra),writtenby

Al-Khwarizmiaround theyear800CE.

Firstlet's rewritethequadraticexpressi onx

2 `Bx`Cbysplit- tingthe lineartermintr otwoequal parts: x 2 B 2 x` B 2 x`C. Wecaninterpretthe firstthree termsgeometricallyasfollows: the x 2 termcorresponds toasquarewith sidelengthx,whilethe two B 2 xtermscorrespond torectangleswithsides B 2 andx.Seethe left sideofFigur e2.2for anillustration.

2.1BASICR ULESOFALGEBRA41

x x B 2 x B 2 `C x x B 2 x B 2 B 2 B 2 B 2 B 2`C FIGURE2.2Pourcompléterle carrédans l'expressionx 2 `Bx`C,nousajoutons laquantitép B 2 q 2 ,ce quicorrespond àl'aire dupetitcarrédecouleurfoncée. Nous soustrayonségalement p B 2 q 2 pourmaintenir l'égalité.

Lecarréd'air ex

2 etlesdeux rectangles peuventêtre placéspourformerun carréplusgrand decoté x` B 2 .Notezqu'il manqueun petitcarréde côté B 2 danslecoin. Pourcompléterlecarré ,nouspouvons ajouterunterme B 2 2 àcette expression.Pour préserverl'égalitéondoitaussisoustrair e B 2 2 l'expression.Onobtientalors: x 2 B 2 x` B 2 x`C"x 2 B 2 x` B 2 x` B 2 2 loooooooooooomoooooooooooon B 2 2 `C x` B 2 2 B 2 2 `C. Lecotédr oitdel'équation décritl'airedugrandcarré decôté x` B 2 moinsl'aire dupetitcarré B 2 2 ,plusla constanteC,commeillustré dans lafigure 2.2. Nouspouvonsrésumer lacomplétionde carrécommesuit : x 2 `Bx`C" x` B 2 2 `C´ B 2 2 Lepoint essentielàr etenirestque laconstantequi vaàl'intérieurdes parenthèsesestégalelamoitiédu coefficientdu termelinéaire,etnous ajustonsl'équationen soustrayantlecarré decetteconstante.

Résoudreleséquations duseconddegré

Supposonsque nousvoulionsrésoudr el'équationdu seconddegré x 2 `Bx`C"0.Iln'est paspossiblede larésoudre enutilisantl'appr ochequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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