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Algorithmique Structures de données

La plupart des bons algorithmes fonctionnent grâce à une méthode Un tableau est une structure de donnée T qui permet de stocker.



Structures de données et algorithmes

Des structures de données permettant d'organiser et d'accéder efficacement aux données http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/all.pdf.



Structure de Données Introduction

1 Algorithmes. Complexité. Preuve. 2 Structure de données. 3 Pseudo Langage. 4 Tableaux. 5. Étude de complexité. Tri par insertion. Calcul de xn.



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Algorithmique et structures de données en langage C 2ème année

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Structures de données et algorithmes fondamentaux

pour calculer cette décomposition il nous faut soit connaître les nombres pre-. Structures de données et algorithmes fondamentaux. 5. Page 16. Chapitre 1.

1 de 87

Algorithmique

Structures de données

Florent Hivert

Mél :Florent.Hivert@lri.fr

Page personnelle :http://www.lri.fr/˜hivert

2 de 87

Types de données

Retenir

Avoir choisi les bons types de données permet d"avoir un programmeplus lisible car auto documenté plus facile à maintenir souvent plus rapide, en tout cas plus facile à optimiser " I will, in fact, claim that the difference between a bad programmer and a good one is whether he considers his code or his data structures more important. Bad programmers worry about the code. Good programmers worry about data structures and their relationships. " - Linus Torvalds (creator of Linux)

3 de 87

Algorithmes et structures de données

La plupart des bons algorithmes fonctionnent grâce à une méthode astucieuse pour organiser les données. Nous allons étudier quatre

grandes classes de structures de données :Les structures de données séquentielles (tableaux);

Les structures de données linéaires (liste chaînées);

Les arbres;

Les graphes.

Structures séquentielles : les tableaux

4 de 87Structures

séquentielles : les tableaux

Structures séquentielles : les tableaux

5 de 87Structure de donnée séquentielle (tableau)

En anglais : array, vector.Définition

Untableauest une structure de donnéeTqui permet de stocker un certain nombre d"élémentsT[i]repérés par un indexi. Les

tableaux vérifient généralement les propriétés suivantes :tous les éléments ont le même type de base;

le nombre d"éléments stockés est fixé; l"accès et la modification de l"élément numéroiest en temps constant(1), indépendant deiet du nombre d"éléments, le tableau.

Structures séquentielles : les tableaux

6 de 87Un tableau en mémoire

Définition

Dans le tableau, tous les éléments ont la même taille mémoire. Nombre d"élément :n, taille d"un élémentt:T[0]T[1]T[2]...T[n-1]

On suppose que le tableau commence à l"adressedT[0]occupe les casesdàd+t1;T[1]occupe les casesd+tàd+2t1;T[i]occupe les casesd+itàd+ (i+1)t1;Le tableau entier occupe les casesdàd+nt1.

Note : indirection (pointeur) possible si taille variable (par exemple classe virtuelle).

Structures séquentielles : les tableaux

6 de 87Un tableau en mémoire

Définition

Dans le tableau, tous les éléments ont la même taille mémoire. Nombre d"élément :n, taille d"un élémentt:T[0]T[1]T[2]...T[n-1]

On suppose que le tableau commence à l"adressedT[0]occupe les casesdàd+t1;T[1]occupe les casesd+tàd+2t1;T[i]occupe les casesd+itàd+ (i+1)t1;Le tableau entier occupe les casesdàd+nt1.Note : indirection (pointeur) possible si taille variable (par exemple

classe virtuelle).

Structures séquentielles : les tableaux

7 de 87Structure de donnée séquentielle (tableau)

On encapsule souvent le tableau dans une structure qui permet de

faire varier la taille :Java : tableauint[](taille fixe),ArrayList(taille variable)C : tableauint[](taille fixe), pointeur (taille variable)C++ :std::array(taille fixe),std::vector(taille variable)Python :list(taille variable,6=liste chaînée)

Structures séquentielles : les tableaux

8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)

On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé

en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :

#include elem *t; t = (elem*) malloc(taille*sizeof(elem));L"adresse det[i]est notét + i. Calculée par

Addr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i

Structures séquentielles : les tableaux

8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)

On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé

en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :

#include elem *t; t = (elem*) malloc(taille*sizeof(elem));L"adresse det[i]est notét + i. Calculée par

Addr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i

Structures séquentielles : les tableaux

8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)

On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé

en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :

#include elem *t; t = (elem*) malloc(taille*sizeof(elem));L"adresse det[i]est notét + i. Calculée par

Addr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i

Structures séquentielles : les tableaux

9 de 87Tableau en Java

On suppose déclaré un typeelempour les éléments.définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :

elem[] t; t = new elem[taille];

Structures séquentielles : les tableaux

10 de 87Tableau partiellement remplis

Retenir

Pour simuler un tableau de taille variable, on peut

réserver une certaine quantité de mémoire appeléecapacite,et ranger les valeursau début du tableau .

Organisation des données (structure, classe) :

tableau de taillecapaciteallouééléments d"indiceipour 0i0 ...taille1 ...capacite1utilisélibre

Structures séquentielles : les tableaux

11 de 87Opérations de base

Hypothèses :tableau de taillecapaciteallouééléments 0i

accès au premier élément :(1)accès à l"élément numéroi:(1)accès au dernier élément :(1)insertion/suppression d"un élément au début :(taille)insert./suppr. d"un élt en positioni:(taillei)O(taille)insert./suppr. d"un élt à la fin :(1)À faire : écrire les méthodes correspondantes

Structures séquentielles : les tableaux

12 de 87Problème de la taille maximum

0 ...taille1 ...capacite1utilisélibre

On essaye d"insérer un élément dans un tableau oùtaille = capacite

Il n"y a plus de place disponible.

0 ...taille1= capacite1u t i l i s é

Comportements possibles :Erreur (arrêt du programme, exception) Ré-allocation du tableau avec recopie, coût :(taille)

Structures séquentielles : les tableaux

12 de 87Problème de la taille maximum

0 ...taille1 ...capacite1utilisélibre

On essaye d"insérer un élément dans un tableau oùtaille = capacite

Il n"y a plus de place disponible.

0 ...taille1= capacite1u t i l i s é

Comportements possibles :Erreur (arrêt du programme, exception) Ré-allocation du tableau avec recopie, coût :(taille)

Structures séquentielles : les tableaux

13 de 87Ré-allocation

En C :realloc

void *realloc(void *ptr, size_t size);modifie la taille du bloc de mémoire pointé par ptr pour l"amener à une taille desizeoctets.realloc()conserve le contenu de la zone mémoire minimum entre la nouvelle et l"ancienne taille. [...] Si la zone pointée était déplacée, unfree(ptr)est effectué.En Java, copy systématique :

E[] newData = (E[]) new Object[...];

System.arraycopy(data, 0, newData, 0, size);

data = newData;

Structures séquentielles : les tableaux

14 de 87Ré-allocation : coût

Problème

Quel est le coût des réallocations?

On se place dans le scénario suivant :Au début, le tableau ne contient rien;

On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.

méthodeappenden Python et Java,push_backen C++

On veut calculer la complexité de l"ajoutExemple : enregistrement d"un signal audio venant d"un micros

44000 échantillons par seconde.

Structures séquentielles : les tableaux

14 de 87Ré-allocation : coût

Problème

Quel est le coût des réallocations?

On se place dans le scénario suivant :Au début, le tableau ne contient rien;

On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.

méthodeappenden Python et Java,push_backen C++

On veut calculer la complexité de l"ajoutExemple : enregistrement d"un signal audio venant d"un micros

44000 échantillons par seconde.

Structures séquentielles : les tableaux

15 de 87Rappels suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique :un+1=un+r,un=u0+nr.

u

0+u1++un= (n+1)u0+un2

= (n+1)2u0+nr2

0+r+2r+:::nr= (n+1)nr2

Suite géométrique :un+1=qun,un=u0qn.

u

0+u1++un=u01qn+11qsiq6=1

1+q+q2++qn=1qn+11q

Structures séquentielles : les tableaux

16 de 87Ré-allocation par ajout d"une case

On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.ÉtapeAllocationsCopiesStockage#écritures

11T[0]1

22T[0]T[1]2

33T[0:::1]T[2]3

..nnT[0:::n2]T[n1]n

Bilan :

nX i=1i=n(n+1)2

écritures.

Structures séquentielles : les tableaux

16 de 87Ré-allocation par ajout d"une case

On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.ÉtapeAllocationsCopiesStockage#écritures

11T[0]1

22T[0]T[1]2

33T[0:::1]T[2]3

..nnT[0:::n2]T[n1]n

Bilan :

nX i=1i=n(n+1)2

écritures.

Structures séquentielles : les tableaux

17 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixeb

Nombre d"étapes :k=dnb

e. Hypothèse simplificatrice :nest un multiple de la taillebdes blocs :n=kb. À chaque étape, on écritbvaleurs.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures

1b0:::b1b

22b0:::b1b:::2b12b

33b0:::2b12b:::3b13b

..kkb0:::(k1)b1(k1)b:::kb1kb

Bilan :

kX i=1bi=bkX i=1i=bk(k+1)2n22bécritures.

Structures séquentielles : les tableaux

17 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixeb

Nombre d"étapes :k=dnb

e. Hypothèse simplificatrice :nest un multiple de la taillebdes blocs :n=kb. À chaque étape, on écritbvaleurs.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures

1b0:::b1b

22b0:::b1b:::2b12b

33b0:::2b12b:::3b13b

..kkb0:::(k1)b1(k1)b:::kb1kb

Bilan :

kX i=1bi=bkX i=1i=bk(k+1)2n22bécritures.

Structures séquentielles : les tableaux

18 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixe : Bilan

Retenir

On suppose que l"on réalloueune case supplémentaireà chaque débordement. Coût (nombre de copies d"éléments) : n X i=1i=n(n+1)2 2(n2)

Si on alloue des blocs de tailleb, en notantk=dnb

ele nombre de blocs :kX i=1bin22b2(n2) La vitesse est divisée parbmais lacomplexité reste la même.

Structures séquentielles : les tableaux

18 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixe : Bilan

Retenir

On suppose que l"on réalloueune case supplémentaireà chaque débordement. Coût (nombre de copies d"éléments) : n X i=1i=n(n+1)2

2(n2)Si on alloue des blocs de tailleb, en notantk=dnb

ele nombre de blocs :kX i=1bin22b2(n2) La vitesse est divisée parbmais lacomplexité reste la même.

Structures séquentielles : les tableaux

19 de 87Ré-allocation par doublement de taille

Bilan : Il faut allouer de plus en plus d"éléments.Question Que ce passe-t-il si l"on double la taille à chaque fois?

Structures séquentielles : les tableaux

20 de 87Ré-allocation par doublement de taille

Nombre d"étapes :k=dlog2ne. Hypothèse simplificatrice :nest une puissance de 2 :n=2k.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 0101
12012

240:::12:::34

380:::34:::78

4160:::78:::1516

..k2 k0:::2k112 k1:::2k12 kBilan : kX i=02 k=12k+112=2k+112nécritures.

Structures séquentielles : les tableaux

20 de 87Ré-allocation par doublement de taille

Nombre d"étapes :k=dlog2ne. Hypothèse simplificatrice :nest une puissance de 2 :n=2k.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 0101
12012

240:::12:::34

380:::34:::78

4160:::78:::1516

..k2 k0:::2k112 k1:::2k12 kBilan : kX i=02 k=12k+112=2k+112nécritures.

Structures séquentielles : les tableaux

21 de 87Ré-allocation par doublement de taille

Retenir (Solution au problème de la ré-allocation) À chaque débordement, on ré-allouedKcapaciteeoùK>1est une constante fixée (par exempleK=2).Début : tableau à 1 élément

À lam-ième ré-allocation, la taille du tableaux :KmPour un tableau ànéléments :mest le plus petit entier tel

queKmn, soitm=dlogK(n)eNombre de recopies d"éléments :

C=n+m1X

i=1K i=n+Km1K12(n+Km) = (n)

Finalement le coût est(n)(carkm1

Structures séquentielles : les tableaux

21 de 87Ré-allocation par doublement de taille

Retenir (Solution au problème de la ré-allocation) À chaque débordement, on ré-allouedKcapaciteeoùK>1est une constante fixée (par exempleK=2).Début : tableau à 1 élément

À lam-ième ré-allocation, la taille du tableaux :KmPour un tableau ànéléments :mest le plus petit entier tel

queKmn, soitm=dlogK(n)eNombre de recopies d"éléments :

C=n+m1X

i=1K i=n+Km1K12(n+Km) = (n)

Finalement le coût est(n)(carkm1

Structures séquentielles : les tableaux

21 de 87Ré-allocation par doublement de taille

Retenir (Solution au problème de la ré-allocation) À chaque débordement, on ré-allouedKcapaciteeoùK>1est une constante fixée (par exempleK=2).Début : tableau à 1 élément

À lam-ième ré-allocation, la taille du tableaux :KmPour un tableau ànéléments :mest le plus petit entier tel

queKmn, soitm=dlogK(n)eNombre de recopies d"éléments :

C=n+m1X

i=1K i=n+Km1K12(n+Km) = (n)

Finalement le coût est(n)(carkm1

Structures séquentielles : les tableaux

22 de 87Nombre moyen de copies

Selon la valeur deK, la constante de complexité varie de manière importante. Nombre de recopies d"éléments :

C=n+m1X

i=1K i=n+Km1K1n+nK1=nKK1

Quelques valeurs :

K1:01 1:1 1:2 1:5 2 3 4 5 10K

K1101 11 6 3 2 1:5 1:33 1:25 1:11

Interprétation :Si l"on augmente la taille de 10% à chaque étape, chaque nombre

sera recopié en moyenne 11 fois.Si l"on double la taille à chaque étape, chaque nombre sera en

moyenne recopié deux fois.

Structures séquentielles : les tableaux

22 de 87Nombre moyen de copies

Selon la valeur deK, la constante de complexité varie de manière importante. Nombre de recopies d"éléments :

C=n+m1X

i=1K i=n+Km1K1n+nK1=nKK1Quelques valeurs :

K1:01 1:1 1:2 1:5 2 3 4 5 10K

K1101 11 6 3 2 1:5 1:33 1:25 1:11Interprétation : Si l"on augmente la taille de 10% à chaque étape, chaque nombre

sera recopié en moyenne 11 fois.Si l"on double la taille à chaque étape, chaque nombre sera en

moyenne recopié deux fois.

Structures séquentielles : les tableaux

22 de 87Nombre moyen de copies

Selon la valeur deK, la constante de complexité varie de manière importante. Nombre de recopies d"éléments :

C=n+m1X

i=1K i=n+Km1K1n+nK1=nKK1Quelques valeurs :

K1:01 1:1 1:2 1:5 2 3 4 5 10K

K1101 11 6 3 2 1:5 1:33 1:25 1:11Interprétation : Si l"on augmente la taille de 10% à chaque étape, chaque nombre

sera recopié en moyenne 11 fois.Si l"on double la taille à chaque étape, chaque nombre sera en

moyenne recopié deux fois.

Structures séquentielles : les tableaux

23 de 87Bilan

Retenir (Nombre de copies)

Dans un tableau de taillen, coût de l"ajout d"un élément dans le pire des cas :

Coût en tempsn;Coût en espace(K1)n:

En, moyenne sur un grand nombre d"éléments ajoutés :

Coût en tempsKK1;Coût en espaceK:

On dit que l"algorithme travaille entemps constant amortis (Constant Amortized Time (CAT) en anglais).

Structures séquentielles : les tableaux

24 de 87Compromis Espace/Temps

QuandKaugmente, la vitesse augmente mais la place mémoire gaspillée ((K1)n) augmente aussi. Le choix de la valeur deK dépend donc du besoin de vitesse par rapport au coût de la mémoire.Retenir C"est une situation très classique : dans de nombreux problèmes, il

est possible d"aller plus vite en utilisant plus de mémoire.Exemple : on évite de faire plusieurs fois les même calculs en

stockant le résultat.

Structures séquentielles : les tableaux

24 de 87Compromis Espace/Temps

QuandKaugmente, la vitesse augmente mais la place mémoire gaspillée ((K1)n) augmente aussi. Le choix de la valeur deK dépend donc du besoin de vitesse par rapport au coût de la mémoire.Retenir C"est une situation très classique : dans de nombreux problèmes, il

est possible d"aller plus vite en utilisant plus de mémoire.Exemple : on évite de faire plusieurs fois les même calculs en

stockant le résultat.

Structures séquentielles : les tableaux

24 de 87Compromis Espace/Temps

QuandKaugmente, la vitesse augmente mais la place mémoire gaspillée ((K1)n) augmente aussi. Le choix de la valeur deK dépend donc du besoin de vitesse par rapport au coût de la mémoire.Retenir C"est une situation très classique : dans de nombreux problèmes, il

est possible d"aller plus vite en utilisant plus de mémoire.Exemple : on évite de faire plusieurs fois les même calculs en

stockant le résultat.

Structures séquentielles : les tableaux

25 de 87Une petite démo en Python/Cython...

Structures séquentielles : les tableaux

26 de 87En pratique ...Python

On utilisevoid *realloc(void *ptr, size_t size);

Extrait des sources du langagePython

Fichierlistobject.c, ligne 41-91 :

/* This over-allocates proportional to the list size, making room * for additional growth. The over-allocation is mild, but is * enough to give linear-time amortized behavior over a long * sequence of appends() in the presence of a poorly-performing * system realloc(). * The growth pattern is: 0, 4, 8, 16, 25, 35, 46, 58, 72, 88, ... new_allocated = (newsize >> 3) + (newsize < 9 ? 3 : 6);

Structures séquentielles : les tableaux

27 de 87En pratique ...Java

Resize impossible sur un tableau : Copie.

Mieux : utiliserArrayList:Each ArrayList instance has a capacity. The capacity is the size of the array used to store the elements in the list. It is always at least as large as the list size. As elements are added to an ArrayList, its capacity grows automatically. The details of the growth policy are not specified beyond the fact that adding an element has constant amortized time cost.

Structures séquentielles : les tableaux

28 de 87En pratique ...Oracle Java 8

Extrait des sources de Oracle java 8

private void grow(int minCapacity) { // overflow-conscious code int oldCapacity = elementData.length; int newCapacity = oldCapacity + (oldCapacity >> 1); if (newCapacity - minCapacity < 0) newCapacity = minCapacity; if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0) newCapacity = hugeCapacity(minCapacity); // minCapacity is usually close to size, so this is a win: elementData = Arrays.copyOf(elementData, newCapacity);

BilannewCapacity = oldCapacity*1.5.

Structures séquentielles : les tableaux

29 de 87En pratique ...Java OpenJDK

Extrait des sources de OpenJDK 6-b27

public void [More ...] ensureCapacity(int minCapacity) { modCount++; int oldCapacity = elementData.length; if (minCapacity > oldCapacity) {

Object oldData[] = elementData;

int newCapacity = (oldCapacity * 3)/2 + 1; if (newCapacity < minCapacity) newCapacity = minCapacity; // minCapacity is usually close to size, so this is a win: elementData = Arrays.copyOf(elementData, newCapacity);

BilannewCapacity = oldCapacity*1.5 + 1.

Structures séquentielles : les tableaux

30 de 87Conclusion

Retenir

Les bibliothèques standards savent gérer la réallocation d"un tableau qui grossit sans perte de complexité. Mais il y a un certain surcoût. Si l"on sait par avance quelle est la taille finale, on peut demander

de réserver de la mémoire dès le début :en C++ :vector.reserve(size_type n)en Java :ArrayList.ensureCapacity(int minCapacity)en Python : liste avec des cases non initialisées[None]*n

Variables Dynamiques et pointeurs

31 de 87Variables Dynamiques

et pointeurs

Variables Dynamiques et pointeurs

32 de 87Variables dynamiques et pointeurs

Rappel : une variable usuelle est caractérisée par quatre propriétés : (nom,adresse,type,valeur)Retenir

Unevariable dynamiqueest anonyme :

(adresse, type, valeur).

On y accède grâce à un pointeur.

Unpointeurpquirepère(oupointe vers) une VD d"adresseaet de typeTest de type"T(lire " flècheT»);a pour valeur l"adresseade la VD.

Variables Dynamiques et pointeurs

33 de 87Variables dynamiques et pointeurs

les quatre propriétés d"une variable usuellenomadressetype valeur schéma pour le pointeurpqui repère la VD d"adressea, de typeTet de valeurvpx"TaaT v le lien dynamique entre le pointeurpet la VD qu"il repère est illustré par une flèchepx"TT v

Variables Dynamiques et pointeurs

33 de 87Variables dynamiques et pointeurs

les quatre propriétés d"une variable usuellenomadressetype valeur schéma pour le pointeurpqui repère la VD d"adressea, de typeTet de valeurvpx"TaaT v le lien dynamique entre le pointeurpet la VD qu"il repère est illustré par une flèchepx"TT v

Variables Dynamiques et pointeurs

33 de 87Variables dynamiques et pointeurs

les quatre propriétés d"une variable usuellenomadressetype valeur schéma pour le pointeurpqui repère la VD d"adressea, de typeTet de valeurvpx"TaaT v le lien dynamique entre le pointeurpet la VD qu"il repère est illustré par une flèchepx"TT v

Variables Dynamiques et pointeurs

34 de 87Les pointeurs nuls

Retenir

Un pointeurppeut valoirNULL: il ne repère aucune VD.schéma pour le pointeurpde type"Tqui ne repère aucune VDp"TNULL l"accès à aucune VD pour le pointeurpde

type"Test illustré par une croixp"TNULLest une valeur commune à tous les pointeurs, à ceux du type

"Tcomme à ceux des autres types.

Variables Dynamiques et pointeurs

34 de 87Les pointeurs nuls

Retenir

Un pointeurppeut valoirNULL: il ne repère aucune VD.schéma pour le pointeurpde type"Tqui ne repère aucune VDp"TNULL l"accès à aucune VD pour le pointeurpde

type"Test illustré par une croixp"TNULLest une valeur commune à tous les pointeurs, à ceux du type

"Tcomme à ceux des autres types.

Variables Dynamiques et pointeurs

34 de 87Les pointeurs nuls

Retenir

Un pointeurppeut valoirNULL: il ne repère aucune VD.schéma pour le pointeurpde type"Tqui ne repère aucune VDp"TNULLquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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