volume dun boîite
On dispose d'une feuille format A4 dans laquelle on veut fabriquer une boîte sans couvercle. Pour cela on découpe un carré dans chaque coin puis on replie
La boite sans couvercle
14 Jul 2020 Le volume maximal est donc atteint quand la hauteur de la boite mesure environ 4cm et est approxima- tivement égal à : V (x1) ? 1128495. 1.2.2 ...
Ce document sur loptimisation du volume de la boite existe sous
On se propose d'étudier le volume des boîtes ainsi obtenues. Consignes pour les élèves : Travail individuel (à la maison). Construire cette boite avec la
Construction dune boîte
a) Calculer en fonction de x
Activités avec GeoGebra Optimisation
GeoGebra dans trois fenêtres différentes : la feuille découpée en 2D la visualisation de la boite en 3D et le graphique de la fonction volume.
( I ) Utilisons Excel pour optimiser les dimensions dune boîte 1er
On y découpe le patron représenté ci-contre que l'on referme selon les plis pour créer une boîte avec son couvercle. Quel sera le volume maximal.
Thème 17: Optimisation
Si la feuille de carton admet comme dimensions: 45 x 30 cm le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte fermée admettant un volume
EXERCICE
Calculer le volume V( ) de la boîte en fonction de . 4. A l'aide de la calculatrice : a). Conjecturer pour quelle valeur de le volume de la boîte est
Repiquage dune lignée cellulaire
Connaissant la surface de la boite et la quantité de cellules à repiquer pour avec précision le volume de suspension cellulaire à introduire dans une ...
COMMENT CALCULER LE VOLUME DES VACCINS ET LA
2.2 Comment déterminer le volume de vaccin emballé par dose . les boîtes de sécurité ainsi que le matériel de ce genre.
OPTIMISATION 45
3C - JtJ 2016Thème 17: Optimisation
Introduction :
Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géomé triques sont exprimées à l'aide d'une formule contenant une fonction. Il peut s'agir de la température d'un corps au moment t, du volume d'un gaz dans un ballon sphérique de rayon x, de la vitesse d'un corps au temps t ... Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables. Déterminer ces valeurs constitue ce que l'on appelle un problème d'optimisation.17.1 L'optimisation lors de la construction de boîtes
Modèle 1 :
Optimisation
On souhaite construire une boîte en découpant quatre carrés aux coins d'une feuille cartonnée, et en rabattant les bords restants. La feuille mesure 22 cm de long et 18 cm de large. De la taille des carrés découpés dépendra le volume de la boîte. Calculer la dimension des carrés de sorte que la boîte ait le plus grand volume possible.46 THÈME 17
3C - JtJ 2015 http://www.javmath.chExercice 17.1:
On désire construire une boîte en carton à partir d'une feui lle rectangulaire en coupant 6 carrés à chaque coin et au milieu des côtés et en pliant les côtés. Si la feuille de carton admet comme dimensions: 45 x 30 cm, le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte fermée admettant un volume maximum. a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule de base ? b)Justifier les relations suivantes :
p = 30 - 2x l=453x 2 c)Déterminer E
D , l'ensemble des valeurs admissibles pour x. d) Montrer que le volume exprimé en fonction de x est :V(x)=3x
3 90x2 +675x
e) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume est maximum. f)
Que vaut alors ce volume optimisé ?
x p lOPTIMISATION 47
3C - JtJ 2016Exercice 17.2:
On désire construire un garage en forme de parallélépipède rectangle. La paroi du fond, les deux parois latérales, ainsi que le toit du garage sont en tôle. La porte est en bois. Le garage doit avoir une profondeur de 6 mètres et un volume de 75 m 3 On sait que le prix de la tôle est de 20 francs le m 2 , alors que le prix de la porte en bois est de 30 francs le m 2 Le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix de revient total. a)Quelle est la fonction à optimiser?
b) Montrer que la fonction à optimiser est donnée par la formule: prix = 50 xh + 120 x + 240 h c) À l'aide de l'information concernant le volume, montrer que h peut s'exprimer en fonction de x par la relation: h=25 2x d) Montrer que le prix de revient en fonction de x est donné par: p(x)=625+120x+3000 x e)Déterminer E
D , l'ensemble des valeurs admissibles pour x. f) Déterminer la valeur de x pour laquelle ce prix est minimum. g) Déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix de revient total. Que vaut alors ce prix de revient optimisé ?Source: examen du Gymnase de Burier 2008
6 xh x48 THÈME 17
3C - JtJ 2015Une méthode générale ?
La variété des problèmes d'optimisation est telle qu'il e st bien difficile de donner une méthode générale de résolution. Nous allons néanmoins donner sous forme d'une marche à suivre, une stratégie d'approche de ces problèmes. Cependant, c e n'est qu'au prix de quelques efforts et d'entraînements que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes.Essayez donc avec ...
persévérance17.2 Marche à suivre pour la résolution des problèmes d'optimisat
ion Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant pa rallèlement une figure d"étude pour y indiquer toutes les informations. Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, ...) comme fonction d"une ou de plusieurs variables. Si Q dépend de plus d"une variable, disons n variables, trouvez au moi ns (n - 1)équations liant ces variables.
Utilisez ces équations pour exprimer Q comme fonction d"une seule variable (par substitutions).Déterminer l"ensemble de définition E
D des valeurs admissibles de cette variable. À l"aide d"un tableau de signes de la dérivée de Q, étudiez la croissance de cette fonction. Calculez les extremums de Q sans oublier de contrôler ce qui se passe au bord de E D Répondez finalement à la question posée à l"aide d"une phrase.OPTIMISATION 49
3C - JtJ 201617.3 L'optimisation d'une aire dans une figure géométrique
Modèle 2 :
Optimisation
ABCD est un carré de côté 6. Le point I est le milieu de [CD]. M est un point quelconque de [AB], N est le point de [CB] tel que CN BM Quelle doit être la position de M sur [AB] pour que l'aire du MNI soit minimale ? http://www.javmath.chSolution
Relire l"énoncé du problème et profiter de faire une figure d"étude "intelligente" : La quantité à optimiser est l"aire du triangle MNI et se calcule grâce à :Les (n - 1) équations liant ces variables :
Exprimons l"aire du triangle en fonction d"une variable :L"ensemble des valeurs possibles E
D AB I N CD M50 THÈME 17
3C - JtJ 2015Solution (fin)
Calcul de la dérivée de A(x) puis étudier sa croissance :Recherche des min (avec le bord du domaine
La réponse est donc :
http://www.javmath.chExercice 17.3:
ABCD est un carré de 8 cm de côté.
A B C D est un carré de x cm de côté.
Pour quelle valeur de x, la partie ombrée
a-t-elle la plus grande aire ?Que vaut alors cette aire optimale ?
Exercice 17.4:
On considère le rectangle ABCD de 12
cm de long et 8 cm de large. Soit M le point milieu deCD. On inscrit dans ce
rectangle un parallélogramme admettant deux de ses côtés parallèles à AM.Déterminer la position du point P sur
AB tel que ce parallélogramme soit d'aire maximum. Que vaut alors cette aire ? DA B'D' C' B C x ABCD PMOPTIMISATION 51
3C - JtJ 201617.4 L'optimisation d'un coût de construction
Modèle 3 :
Optimisation
On désire construire une caisse en bois (sans couvercle) de volume 0,64 m 3 et dont la hauteur est égale à la profondeur. Le bois prévu pour le fond coûte Fr. 20.- par m 2 , celui pour les facesFr. 10.- par m
2 Quels sont les dimensions et le prix de la caisse la moins chère (on admet que l'épaisseur du bois est négligeable) ? hauteur profondeu r52 THÈME 17
3C - JtJ 2015Exercice 17.5:
Une cabine de douche de forme parallélépipédique à base carrée est fabriquée à partir de 2 matériaux différents : le sol (carré) revient à Fr. 400.- par m 2 ; les cinq autres parois coûtentFr. 100.- par m
2 . Sachant que le coût total des matériaux est de Fr. 1500.- , quelles sont les dimensions de la cabine si l'on veut que son volume soit le plus grand possible ? a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule en fonction de x (côté du carré) et h (la hauteur de la douche) ? b) À l'aide de l'information concernant le prix des différentes parois, montrer que h peut s'exprimer en fonction de x par la relation : h=155x 2 4x c) Montrer que le volume de la cabine en fonction de x est :V(x)=5
4x 3 +15 4x d) Déterminer la valeur de x pour laquelle ce volume est maximum. e) Quelles sont alors les dimensions optimales de cette cabine de douche ?Exercice 17.6:
L'entreprise de portes et fenêtres qui vous emploie projette la construction d'un entrepôt de 450 m 2 de surface au sol. Les exigences municipales de la commune de Morges sur l'esthétisme des rues commerciales obligent les commerçants à recouvrir la façade de leurs édifices avec des matériaux de première qualité alors que les côtés et l'arrière peuv ent être recouverts avec des matériaux de moindre qualité. Les coûts ont été estimés à Fr. 800.- le mètre carré pour la faça de et de Fr.100.- le mètre carré pour les côtés et l'arrière.
Sachant que la hauteur de l'édifice sera de 3 mètres, déterm iner le coût minimum possible de recouvrement des 4 parois de l'entrepôt.OPTIMISATION 53
3C - JtJ 201617.5 L'optimisation de la surface
Modèle 4 :
Optimisation
Parmi tous les rectangles admettant un périmètre de 1 m, quel est celui dont l'aire est maximale ? Que vaut alors cette aire ?54 THÈME 17
3C - JtJ 2015Exercice 17.7:
On dispose de 250 m de clôture grillagée pour construire 6 cages mitoyennes et identiques pour un zoo (cf. schéma ci-contre) a)Exprimer y en fonction de x.
b) Montrer que la surface au sol d'une cage est donnée par :S(x)=1
24(3x2 +250x)
c) Quelles dimensions doit-on donner à une de ces cages de manière à maximaliser sa surface au sol ?
Exercice 17.8:
Un éleveur de bovins désire enclore un terrain rectangulaire bordant une rivière rectiligne. Il dispose de 1000 m de fil et ne veut pas enclore le côté longeant la rivière, car ses bovins ne savent pas nager. Calculer la surface maximale qu'il peut créer.17.6 L'optimisation d'un cylindre
Modèle 5 :
Optimisation
On fait tourner un rectangle de périmètre 40 cm autour de l'un de ses axes de symétrie. Déterminer les dimensions du rectangle pour que le cylindre ainsi obtenu ait le plus grand volume. y xOPTIMISATION 55
3C - JtJ 2016Exercice 17.9:
On fait tourner un rectangle de périmètre 40 cm autour de l'un de ses axes de symétrie. Déterminer les dimensions du rec- tangle pour que le cylindre ainsi obtenu ait : a) la plus grande aire latérale ; b) la plus grande aire totale.17.7 Un petit mélange de tout !!
Exercice 17.10:
Un aquarium (ouvert au-dessus) de 15 cm de haut doit avoir une contenance de 600 cm 3 . Désignons par x la longueur et par y la largeur de la base (voir figure). Déterminer les dimensions de cet aquarium permettant de minimiser la surface S de verre.Exercice 17.11:
On désire accoler à une construction existante un abri rectangulaire ouvert composé de deux parois verticales de 1 m de profondeur et d'un toit plat (voir figure). Le toit est exécu té en zinc qui coûte 40 fr. le m 2 et les deux autres côtés en contre- plaqué qui coûte 15 fr. le m 2 Si on dispose de 300 fr, déterminer les dimensions de cet abri admettant un volume maximum. Que vaut alors ce volume ?Exercice 17.12:
On se propose d'envoyer un colis de
volume égal à 12 dm 3 dont la forme est celle d'un parallélépipède rectangle de base carrée ( AB BC ). Son emballage est maintenu à l'aide d'une ficelle comme le montre la figure. Trouver les dimensions du colis permettant d'utiliser le moins de ficelle possible.Exercice 17.13:
Une feuille de papier doit contenir 600 cm
2 de texte imprimé. Les marges supérieures et inférieures doivent avoir 5 cm chacune, et celles de côté 3 cm chacune. Déterminer les dimensions de la feuille pour lesquelles il faudra un minimum de papier. x y 1 m56 THÈME 17
3C - JtJ 2015OPTIMISATION 57
3C - JtJ 201658 THÈME 17
3C - JtJ 2015quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Le volume d'une goutte d'eau
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