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Leçon 1 : ArithmétiqueI Multiples et diviseursA)DéfinitionsSoient a, b, c trois nombres entiers non nuls tels que a = b x c.On dit que a est un multiple de b et de c et que b et c sont des diviseurs de a.exemples : Comme 5 x 7 = 35 alors 5 et 7 sont des diviseurs de 35 et 35 est un multiple de 5 et de 7. En revanche 35 n'est pas un multiple de 9 car il n'existe pas d'entier dont le produit avec 9 est égal à 35. Remarques : -a est un multiple de b lorsque le reste dans la division euclidienne de a par b est nul.-il existe une infinité de multiples pour un entier non nul.-Un nombre entier supérieur ou égal à 2 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.B)Critères de divisibilitéUn nombre entier est un multiple de (ou est divisible par) : - 2 lorsqu'il finit par 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 : 420 - 1356- 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3 : 111 - 561 - 1854- 4 lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4 : 2536 - 964- 5 lorsqu'il finit par 0 ou 5 : 3845 - 365280-9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9 : 35639 - 18345-10 lorsqu'il finit par 0Remarque : un nombre divisible par 9 est divisible par 3II Nombres premiersA)Définition :Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseursExemples : 2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 ...Remarque : il existe une infinité de nombres premiersB)Décomposition en facteurs premiers.Théorème : Tout nombre non premier peut s'écrire comme produit de nombres premiers.Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs prèsExemples : 356 = 2 x 178 = 2 x 2 x 89 ; 423 = 3 x 141 = 3 x 3 x 47

Partie Facultative III PGCD de deux nombres entiersA)Définition :Soient a et b deux nombres entiers.Un diviseur commun de a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.exemple : 3 est un diviseur commun de 18 et 27.Parmi tous les diviseurs communs de a et b, il en existe un plus grand que tous les autres ; c'est le PGCD de a et b noté PGCD(a ; b).exemple : les diviseurs communs de 18 et 27 sont 1, 3, 9. Donc PGCD(18 ; 27) = 9B ) Algorithme de recherche du PGCDPropriété : en notant r le reste dans la division euclidienne de a par b : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)Algorithme d' Euclide : PGCD (328 ; 144) = PGCD (144 ; 40) car 328 = 2 x 144 + 40= PGCD (40 ; 24) car 144 = 3 x 40 + 24= PGCD (24 ; 16) car 40 = 1 x 24 +16= PGCD (16 ; 8 ) car 24 = 1 x 16 + 8= PGCD (8 ; 0 ) car 16 = 2 x 8 +0= 8IV Fractions irréductibles A)DéfinitionsDeux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.Autrement dit lorsque leur seul diviseur commun est 1.Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux autrement dit lorsque l'on ne peut plus la simplifier.B)Comment rendre une fraction irréductible ?-> Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD-> En décomposant le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.