Calcul mathématique avec Sage PDF

Calcul de limites - Approche graphique

La limite d'une fonction f(x) lorsque x tend vers une valeur a est égale à une valeur unique L si la fonction f(x) prend des valeurs de plus en plus

Calculatrice TI-Nspire et Calcul formel.

4°) Les limites : La fonction limit(expvar

Limites de fonctions

III - Calcul de limites limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini ... A l'aide de la calculatrice conjecturer la limite de f en. Indice :.

FicheMethode Calcul de limites

pour : 1. une fonction polynôme de degré n : Chercher la limite de son terme du plus haut degré. lim x!"#. 3x2 +5x+ 4. 2. une fonction rationnelle :.

LIMITES DES FONCTIONS

En traçant la fonction f à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel il est possible de vérifier. IV. Calculs de limites par composition et comparaison. 1)

LA CALCULATRICE POUR CONJECTURER ET VÉRIFIER LES

fonction f sur ]0 ; + ?[. b) Calculer en unités d'aire

Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =

Revenons au calcul de la limite recherchée : lim. = On lève l'indétermination en utilisant le théorème de l'Hospital car les conditions d'application sont

LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)

Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :

1.3 Quelques techniques de calcul des DL

(DL de fonctions usuelles à retenir absolument) Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles en 0. Ces formules sont

Calcul mathématique avec Sage

rationnelles les développements limités et les nombres algébriques. Pour chacune de ces classes

[PDF] Limites de fonctions

Nous allons utiliser plusieurs techniques pour calculer des limites : • Partir de limites de fonctions usuelles connues puis par somme produit ou

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Comment calculer une limite à l'infini ? ? Appliquer les théorèmes des opérations sur les limites et les limites des fonctions usuelles

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La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou 0 : Lorsque tend vers 0 ( ) tend vers +? et on

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Déterminer la limite éventuelle en + ?de chacune des fonctions suivantes : A l'aide de la calculatrice remplir le tableau suivant :

Calcul de la limite dune fonction en ligne - Solumaths

Le calculateur de limite permet le calcul de la limite d'une fonction avec le détail et les étapes de calcul

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9 oct 2014 · Leurs courbes admettent alors l'axe des abscisses comme asymptote horizontale 1 2 Limite infinie à l'infini Définition 2 : Dire qu'une

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en +? et en 0 Correction : Commençons par noter que cette fonction a pour ensemble de définition ]0; +?[ On ne cherchera donc à déterminer que la limite

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Attention toute fonction / n'a pas tou ours de limite (finie ou non) en a calcul différentiel des considérations métaphysiques d'infiniments petits ou

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Cette propriété est à relier à la notion de fonction continue en un réel Il est à noter que les logiciels de calcul formel ou scientifique permettent d'obtenir

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L2 Parcours Spécial - S3 - Calcul différentiel et intégral Les propriétés de base pour les limites de fonctions de plusieurs variables sont les mêmes

Comment calculer des limites de fonctions ?
Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +?, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher. Et bien on appelle cela une limite, puisque la fonction « tend vers » quelque chose.
Comment résoudre les limites ?
La limite de la fonction f au point a est notée [lim_{x rightarrow a}f(x)] Cela signifie que l'on prend x qui tend vers a, x le plus près possible du point a. On effectue souvent des limites quand x tend vers l'infini, c'est à dire qu'on prend x le plus grand possible et l'on cherche la valeur qu'atteint f(x).
Comment calculer la limite d'une fonction numérique ?
Les limites à l'infini d'une fonction polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré. Donc quand x tend vers ?? ou quand x tend vers +? , les limites de ? 3 x 2 + 7 x -3x^2+7x ?3x2+7xminus, 3, x, squared, plus, 7, x sont les mêmes que celles de ? 3 x 2 -3x^2 ?3x2minus, 3, x, squared.

Calcul mathématique avec Sage

Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas M. Thiéry

Paul Zimmermann

Version 1.0 - Juillet 2010

Calcul mathématique avec Sage1Cet ouvrage est diffusé sous la licence Creative Commons " Paternité-

Partage des Conditions Initiales à l"Identique 2.0 France ». Extrait de

Vous êtes libres :

de reproduire, distribuer et communiquer cette création au public, de mo difiercette cré ation; selon les conditions suivantes : Paternité. Vous devez citer le nom de l"auteur original de la manière indiquée par l"auteur de l"oeuvre ou le titulaire des droits qui vous confère cette autorisation (mais pas d"une manière qui suggérerait qu"ils vous soutiennent ou approuvent votre utilisation de l"oeuvre). Partage des Conditions Initiales à l"Identique. Si vous modifiez, transformez ou adaptez cette création, vous n"avez le droit de distribuer la création qui en résulte que sous un contrat identique à celui-ci. À chaque réutilisation ou distribution de cette création, vous devez faire apparaître clairement au public les conditions contractuelles de sa mise à disposition. La meilleure manière de les indiquer est un lien vers cette page web. Chacune de ces conditions peut être levée si vous obtenez l"autorisation du titulaire des droits sur cette oeuvre. Rien dans ce contrat ne diminue ou ne restreint le droit moral de l"auteur ou des auteurs. Des parties de cet ouvrage sont inspirées de l"ouvrageCalcul formel : mode d"emploi. Exemples en Maplede Philippe Dumas, Claude Gomez, Bruno Salvy et Paul Zimmermann [DGSZ95], diffusé sous la même licence, notamment les sections 1.6 et 2.1.2 , et la section 2.3.5 Une partie des exemplesSagede la section12 son ttirés du tutoriel de MuPAD-Combinat[HT04] etSage-combinat. Le dénombrement des arbres binaires complets de §

12.1.2

est en partie inspiré d "unsujet de TP de Floren t

Hivert.

L"exercice

9 sur le problème de Gauss est tiré d"un problème d eF rançois

Pantigny et l"exercice

17 sur l"effet Magn usest extrait d"un TD de Jean-Guy

Stoliaroff.

PréfaceCe livre est destiné à tous ceux qui désirent utiliser efficacement un système de calcul mathématique, en particulier le logicielSage. Ces systèmes offrent une multitude de fonctionnalités, et trouver comment résoudre un problème donné n"est pas toujours facile. Un manuel de référence fournit une description analytique et en détail de chaque fonction du système; encore faut-il savoir le nom de la fonction que l"on cherche! Le point de vue adopté ici est complémentaire, en donnant une vision globale et synthétique, avec un accent sur les mathématiques sous-jacentes, les classes de problèmes que l"on sait résoudre et les algorithmes correspondants. La première partie, plus spécifique au logicielSage, constitue une prise en main du système. Cette partie se veut accessible aux élèves de lycée, et donc a fortiori aux étudiants de BTS et de licence. Les autres parties s"adressent à des étudiants au niveau agrégation, et sont d"ailleurs organisées en suivant le programme de l"épreuve de modélisation de l"agrégation de mathématiques. Contrairement à un manuel de référence, les concepts mathématiques sont clairement énoncés avant d"illustrer leur mise en oeuvre avecSage. Ce livre est donc aussi un livre sur les mathématiques. Pour illustrer cet ouvrage, le choix s"est porté naturellement versSage, car c"est un logiciel libre, que tout un chacun peut librement utiliser, modifier et redistribuer. Ainsi l"élève qui a apprisSageau lycée pourra l"utiliser quelle que soit sa voie professionnelle : en licence, Master, doctorat, en école d"ingénieur, en entreprise, ...Sageest un logiciel encore jeune par rapport aux logiciels concurrents, et malgré ses capacités déjà étendues, comporte encore de nombreusesbogues. Mais par sa communauté très active de développeurs, Sageévolue très vite. Chaque utilisateur deSagepeut rapporter une bogue - et éventuellement sa solution - surtrac.sagemath.orgou via la liste sage-support. Pour rédiger ce livre, nous avons utilisé la version 4.4.4 deSage. Néan- moins, les exemples doivent fonctionner avec toute version ultérieure. Par contre, certaines affirmations peuvent ne plus être vérifiées, comme par exemple le fait queSageutilise Maxima pour évaluer des intégrales numé- riques. Quand j"ai proposé en décembre 2009 à Alexandre Casamayou, Guillaume Connan, Thierry Dumont, Laurent Fousse, François Maltey, Matthias Meu- 2

Calcul mathématique avec Sage3lien, Marc Mezzarobba, Clément Pernet et Nicolas Thiéry d"écrire un livre sur

Sage, tous ont répondu présent, malgré une charge de travail déjà importante. Je tiens à les remercier, notamment pour le respect du planning serré que j"avais fixé. Tous les auteurs remercient les personnes suivantes qui ont relu une version préliminaire de ce livre : Gaëtan Bisson, Françoise Jung; ainsi qu"Emmanuel Thomé pour son aide précieuse lors de la réalisation de ce livre, et Sylvain

Chevillard pour ses conseils typographiques.

En rédigeant ce livre, nous avons beaucoup appris surSage, nous avons bien sûr rencontré quelques bogues, dont certaines sont déjà corrigées. Nous espérons que ce livre sera utile à d"autres, lycéens, étudiants, professeurs, ingénieurs, chercheurs, ... Cette première version comportant certainement de nombreuses imperfections, nous attendons en retour du lecteur qu"il nous fasse part de toute erreur, critique ou suggestion pour une version ultérieure; merci d"utiliser pour cela la pagesagebook.gforge.inria.fr.

Villers-lès-Nancy, France

juillet 2010Paul Zimmermann

Table des matières

I Prise en main du logiciel

1 Premiers pas avecSage10

1.1 Le logicielSage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.1 Un outil pour les mathématiques

1.1.2 Accès àSage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.2 Premier calcul, aide en ligne et complétion

1.3 Syntaxe générale

1.4 Variables

1.4.1 Variables et affectations

1.4.2 Variables symboliques

1.5 Calcul formel et méthodes numériques

1.6 Classes et classes normales

1.7 Les classes élémentaires

1.8 Autres classes à forme normale

2 Analyse et algèbre avecSage25

2.1 Simplification d"expressions symboliques

2.1.1 Expressions symboliques et fonctions symboliques

2.1.2 Expressions complexes et simplification

2.1.3 Hypothèses sur une variable symbolique

2.2 Équations

2.3 Analyse

2.3.1 Sommes et produits

2.3.2 Limites

2.3.3 Suites

2.3.4 Développements limités

2.3.5 Séries

2.3.6 Dérivation

2.3.7 Dérivées partielles

2.3.8 Intégration

2.3.9 Récapitulatif des fonctions utiles en analyse

2.4 Algèbre linéaire élémentaire

2.4.1 Résolution de systèmes linéaires

42
4

Calcul mathématique avec Sage5

2.4.2 Calcul vectoriel

2.4.3 Calcul matriciel

3 Programmation et structures de données

3.1 Algorithmique

3.1.1 Les boucles

3.1.2 Les tests

3.1.3 Les procédures et les fonctions

3.1.4 Algorithme d"exponentiation rapide

3.1.5 Affichage et saisie

3.2 Listes et structures composées

3.2.1 Définition des listes et accès aux éléments

3.2.2 Opérations globales sur les listes

3.2.3 Principales méthodes sur les listes

3.2.4 Exemples de manipulation de listes

3.2.5 Chaînes de caractères

3.2.6 Structure partagée ou dupliquée

3.2.7 Données modifiables ou immuables

3.2.8 Ensembles finis

3.2.9 Dictionnaires

4 Graphiques

4.1 Courbes en 2D

4.1.1 Représentation graphique de fonctions

4.1.2 Courbes paramétrées

4.1.3 Courbes en coordonnées polaires

4.1.4 Courbe définie par une équation implicite

4.1.5 Tracé de données

4.1.6 Tracé de solution d"équation différentielle

4.1.7 Développée d"une courbe

4.2 Courbes en 3D

II Calcul numérique

5 Algèbre linéaire numérique

5.1 Calculs inexacts en algèbre linéaire

5.2 Matrices pleines

102

5.2.1 Résolution de systèmes linéaires

102

5.2.2 Résolution directe

103

5.2.3 La décompositionLU. . . . . . . . . . . . . . . . . .103

5.2.4La décomposition de Cholesky des matrices réelles

symétriques définies positives 104

5.2.5 La décompositionQR. . . . . . . . . . . . . . . . . .105

Calcul mathématique avec Sage6

5.2.6 La décomposition en valeurs singulières

105

5.2.7 Application aux moindres carrés

106

5.2.8 Valeurs propres, vecteurs propres

110

5.2.9 Ajustement polynomial : le retour du diable

115

5.2.10Implantation et performances (pour les calculs avec

des matrices pleines) 118

5.3 Matrices creuses

119

5.3.1 Origine des systèmes creux

119

5.3.2 Sage et les matrices creuses

120

5.3.3 Résolution de systèmes linéaires

121

5.3.4 Valeurs propres, vecteurs propres

122

6 Intégration numérique et équations différentielles

125

6.1 Intégration numérique

125

6.1.1 Manuel des fonctions d"intégration disponibles

131

6.2 Équations différentielles numériques

138

6.2.1 Exemple de résolution

140

6.2.2 Fonctions de résolution disponibles

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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[PDF] aire sous la courbe intégrale

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[PDF] aire sous la courbe statistique

[PDF] tp physique mouvement d'un projectile

[PDF] aire sous la courbe unité

[PDF] tp mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme

[PDF] aire sous la courbe pharmacocinétique

[PDF] aire sous la courbe biodisponibilité

[PDF] tp chute parabolique d'une bille

[PDF] tp mouvement parabolique

[PDF] Calcul mathématique avec Sage

Comment calculer des limites de fonctions ?

Comment résoudre les limites ?

Comment calculer la limite d'une fonction numérique ?

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Paul Zimmermann

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12.1.2

Hivert.

L"exercice

Pantigny et l"exercice

Stoliaroff.

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Table des matières

I Prise en main du logiciel

1 Premiers pas avecSage10

1.1 Le logicielSage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.1 Un outil pour les mathématiques

1.1.2 Accès àSage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.2 Premier calcul, aide en ligne et complétion

1.3 Syntaxe générale

1.4 Variables

1.4.1 Variables et affectations

1.4.2 Variables symboliques

1.5 Calcul formel et méthodes numériques

1.6 Classes et classes normales

1.7 Les classes élémentaires

1.8 Autres classes à forme normale

2 Analyse et algèbre avecSage25

2.1 Simplification d"expressions symboliques

2.1.1 Expressions symboliques et fonctions symboliques

2.1.2 Expressions complexes et simplification

2.1.3 Hypothèses sur une variable symbolique

2.2 Équations

2.3 Analyse

2.3.1 Sommes et produits

2.3.2 Limites

2.3.3 Suites

2.3.4 Développements limités

2.3.5 Séries

2.3.6 Dérivation

2.3.7 Dérivées partielles

2.3.8 Intégration

2.3.9 Récapitulatif des fonctions utiles en analyse

2.4 Algèbre linéaire élémentaire

2.4.1 Résolution de systèmes linéaires

Calcul mathématique avec Sage5

2.4.2 Calcul vectoriel

2.4.3 Calcul matriciel

3 Programmation et structures de données

3.1 Algorithmique

3.1.1 Les boucles

3.1.2 Les tests

3.1.3 Les procédures et les fonctions

3.1.4 Algorithme d"exponentiation rapide

3.1.5 Affichage et saisie

3.2 Listes et structures composées

3.2.1 Définition des listes et accès aux éléments

3.2.2 Opérations globales sur les listes

3.2.3 Principales méthodes sur les listes

3.2.4 Exemples de manipulation de listes

3.2.5 Chaînes de caractères

3.2.6 Structure partagée ou dupliquée

3.2.7 Données modifiables ou immuables

3.2.8 Ensembles finis

3.2.9 Dictionnaires

4 Graphiques

4.1 Courbes en 2D

4.1.1 Représentation graphique de fonctions

4.1.2 Courbes paramétrées

4.1.3 Courbes en coordonnées polaires

4.1.4 Courbe définie par une équation implicite

4.1.5 Tracé de données

4.1.6 Tracé de solution d"équation différentielle

4.1.7 Développée d"une courbe

4.2 Courbes en 3D

II Calcul numérique

5 Algèbre linéaire numérique