Spécialité Asie 1 PDF Partie : lectures graphiques f dé

Spécialité Asie 1

Partie : lectures graphiques f désigne une fonction définie et dérivable sur R. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée f' .

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29 mai 2018 On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses ... Par lecture graphique répondre aux questions suivantes.

Spécialité Asie 1

Exercice A au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A et B. Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un

encadré.

EXERCICE A

Partie : lectures graphiques

f désigne une fonction définie et dérivable sur R.On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée f'.

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes.

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f en 0.

2.a. Donner les variations de la fonction dérivée

f'.

2.b. En déduire un intervalle sur lequel f est convexe.

Partie 2 : étude de fonction

La fonction f est définie sur R par f(x)=ln (x2+x+5 2).

1. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en -∞.

2. Déterminer une expression f'(x) de la fonction dérivée de f pour toutx∈ℝ.

3. En déduire le tableau des variations de f. On veillera à placer les limites dans ce tableau.

4.a. Justifier que l'équation f(x)=2 a une unique solution

α dans l'intervalle [-1

2;+∞[.

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4.b. Donner une valeur approchée de α à 10-1 près.

5. La fonction f' est dérivable surℝ.

On admet que, pour tout x∈ℝ

f''(x)=-2x2-2x+4 (x2+x+5 2)2 Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de f.

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CORRECTION

Partie 1

1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f est : f'(0).

Par lecture graphique f'(x)=0,4.

2.a. Par lecteur graphique :

f' est décroissante sur ]-∞;-2] f' est croissante sur [-2;1] f' est décroissante sur [1;+∞[.

2.b. On suppose que f' est dérivable sur R

. On note f'' sa dérivée. Si x∈]-∞;-2] alors f''(x)⩽0. Si x∈[-2;1] alors f''(x)⩾0. Si x∈[1;+∞[ alors f''(x)⩽0. Donc [-2;1] est le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.

Partie 2

1. f(x)=ln

(x2+x+5

2) u(x)=x2+x+5

2 Δ=1-4×1×5

2=-9 donc pour tout nombre réel x, u(x)>0 et f est définie sur R. limx→+∞ u(x)=limx→+∞x2=+∞ et limX→+∞ ln(X)=+∞ donc limx→+∞ f(x)=+∞. limx→-∞u(x)= limx→-∞ x2=+∞ et limX→+∞ln(X)=+∞ donc limx→-∞f(x)=+∞.

2. (ln(u))'=u'

u u(x)=x2+x+5 2 u'(x)=2x+1 f'(x)=2x+1 x2+x+5 2

3. Pour tout nombre réel x, x2+x+5

2>0 donc le signe de f'(x) est le signe de 2x+1.

2x+1=0

⇔ x=-1

2 2x+1>0 ⇔ x>-1

2 2x+1<0 ⇔ x< -1

Tableau de variations de f

ln (9

4)≃0,81

Spécialité Asie 1

4.a. f est dérivable et strictement croissante sur [-1

2;+∞[, à valeurs dans [ln(9

4);+∞[.

ln (9

4)≃0,81 donc 2∈[ln(9

4);+∞[ Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que 2 admet un unique antécédent

α appartenant à l'intervalle

[-1

2;+∞[ c'est à dire que l'équation f(x)=2 admet une unique solution

α appartenant à l'intervalle [-1

2;+∞[.

4.b. En utilisant la calculatrice :

f(1)=1,5 f(2)=2,14

1 < α < 2

f(1,6)=1,99 f(1,7)=2,03 1,6 < α < 1,7

α=1,6 à 10-1 près.

5. On détermine le signe de

f''(x) qui est le signe de N(x)=-2x2-2x+4 sur R. Δ=4-4×(-2)×4=36=62 x1=2-6

2×(-2)=-4

-4=1 x2=2+6

2×(-2)=8

-4=-2

Le coefficient de x2 est négatif donc :

La fonction dérivée seconde s'annule en changeant de signe 2 fois pour x=-2 et pour x=1 donc :

la courbe représentative de f admet 2 points d'inflexion.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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EXERCICE A

Partie : lectures graphiques

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f en 0.

2.a. Donner les variations de la fonction dérivée

2.b. En déduire un intervalle sur lequel f est convexe.

Partie 2 : étude de fonction

1. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en -∞.

2. Déterminer une expression f'(x) de la fonction dérivée de f pour toutx∈ℝ.

3. En déduire le tableau des variations de f. On veillera à placer les limites dans ce tableau.

4.a. Justifier que l'équation f(x)=2 a une unique solution

α dans l'intervalle [-1

2;+∞[.

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4.b. Donner une valeur approchée de α à 10-1 près.

5. La fonction f' est dérivable surℝ.

On admet que, pour tout x∈ℝ

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CORRECTION

Partie 1

1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f est : f'(0).

Par lecture graphique f'(x)=0,4.

2.a. Par lecteur graphique :

2.b. On suppose que f' est dérivable sur R

Partie 2

1. f(x)=ln

2) u(x)=x2+x+5

2 Δ=1-4×1×5

2. (ln(u))'=u'

3. Pour tout nombre réel x, x2+x+5

2>0 donc le signe de f'(x) est le signe de 2x+1.

2x+1=0

2 2x+1>0 ⇔ x>-1

2 2x+1<0 ⇔ x< -1

Tableau de variations de f

4)≃0,81

Spécialité Asie 1

4.a. f est dérivable et strictement croissante sur [-1

2;+∞[, à valeurs dans [ln(9

4);+∞[.

4)≃0,81 donc 2∈[ln(9

4);+∞[ Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que 2 admet un unique antécédent

α appartenant à l'intervalle

2;+∞[ c'est à dire que l'équation f(x)=2 admet une unique solution

α appartenant à l'intervalle [-1

2;+∞[.

4.b. En utilisant la calculatrice :

1 < α < 2

α=1,6 à 10-1 près.

5. On détermine le signe de

2×(-2)=-4

2×(-2)=8

Le coefficient de x2 est négatif donc :