[PDF] Particule chargée dans un champ magnétique avec frottement

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Mécanique C5PCSI A

Particule chargée dans un champ magnétique avec frottement 

Dans un référentiel galiléen de repère d'espaceRO,ux,uy,uzdes particules identiques de masse m, de charge q > 0 sont

émises dans une région de l'espace où règne un champ magnétique ⃗B=B⃗uz. A t = 0 les particules sont en O avec la vitesse

⃗v0=v0⃗ux,v0>0. Elles se déplacent dans un milieu matériel où elles sont soumises à la force de frottement visqueux

⃗f=-α⃗v,⃗vreprésentant la vitesse instantanée de la particule etα un coefficient constant positif.

1. Écrire les équations différentielles régissant le mouvement d'une particule dans le repère d'espaceRO,

ux,uy,uz. On posera a=α metω=qB m.

2. Montrer que la trajectoire est plane et préciser le plan du mouvement.

3. On introduit la variable complexe

u=x+iy. Établir l'équation différentielle reliantdu dt, d2u dt2 ω et a.

4. Déterminer

v=du

dtpuisuen fonction dev0 ωetaet le temps t. En déduire les équations paramétriques du mouvement

de la particule en fonction des paramètresρ=v0 cosφ=a aet le temps t.

5. Montrer que la position finale de la particule tend vers un point

M0de coordonnées(X0,Y0,Z0)quand t tend vers

l'infini.

6. En prenant le point

M0comme nouvelle origine du repère, exprimer l'équation de la trajectoire de la particule en coordonnées cylindriques et représenter son allure.

Solution :

1. Référentiel d'étude : ref galiléen de repère d'espace R(O,⃗ux,⃗uy,⃗uz). Système : la particule.

Coordonnées : cartésiennes. Base de projection : (⃗ux,⃗uy,⃗uz).

Vecteurs cinématiques :

⃗OM=x⃗ux+y⃗uy+z⃗uz, ⃗v=vx⃗ux+vy⃗uy+v⃗uz, ⃗a=˙vx⃗ux+˙vy⃗uy+˙vz⃗uz.

Bilan des forces :

Poids : négligeable.

Force magnétique :

⃗FB=q⃗v∧⃗B=qBvy⃗ux-qBvx⃗uyForce de frottement : ⃗f=-α⃗v=-α˙x⃗ux-α˙y⃗uy-α˙z⃗uz2ème loi de Newton : m ⃗a=md⃗v dt+⃗f

Par projection sur les axes , on obtient :

¨x-qB

m˙y+α m˙x=0d'où ¨x-ω˙y+a˙x=0(1)

¨y+qB

m˙x+α m˙y=0d'où ¨y+ω˙x+a˙y=0(2)

¨z+α

m˙z=0d'où ¨z+a˙z=0(3)

2. Pour montrer que le mouvement est plan on résout l'équation (3) ˙vz+avz=0. La solution est du type

vz=Ae-atavec A une constante. A t=0 vz(0)=0 on en déduit que A=0 d'où vz(t)=0.On en déduit que

z(t)=cste=z0=0 donc le mouvement s'effectue dans le plan (O, x, y).

3. On multiplie l'équation (2) par i et on fait la somme (1) + i(2) . On obtient :

d2u dt2+(iω+a)du dt=0.

4. On pose v=du

dt d'où dv dt+(iω+a)v=0. La solution de cette équation est du type v=Ae-(a+iω)tavec A une constante. A t=0 v(0)=v0=A.On déduit que v=v0e-(a+iω)t. Par intégration on obtient : u=v0 -(a+iω)te-(a+iω)t+Kavec K une constante. A t=0 u=0=v0 -(a+iω)+Kd'où K=v0 (a+iω)d'où u=v0

a+iω(1-e-(a+iω)t). Pour déterminer x(t) et y(t) il faut séparer partie réelle et partie imaginaire.

u=v0(a-iω)

u=ρe-iφ-ρe-ate-i(ωt+φ)d'où u=ρ(cosφ-e-atcos(ωt+φ))+iρ(-sinφ+e-atsin(ωt+φ))Par identification :

x(t)=ρ(cosφ-e-atcos(ωt+φ))et y(t)=ρ(-sinφ+e-atsin(ωt+φ)).

5. On calcule

limx(t)etlimy(t)quand t→∞, on obtient M0(ρcosφ,-ρsinφ,0).

6. En prenant M0 comme origine on obtient :

X(t)=x(t)-ρcosφ=-ρe-atcos(ωt+φ)=ρe-atcos(-π+ωt+φ)=rcosθ et

Y=y(t)+ρsinφ=ρe-atsin(ωt+φ)=ρe-atsin(-π+ωt+φ)=rsinθd'où les équations

paramétriques de la trajectoire en coordonnées polaires : r=ρe-at et θ=-π+ωt+φ. On vérifie qu'à t=0 θ=-π+φ En exprimant t en fonction deθ on obtient l'équation de la trajectoire : r=ρe-a(θ-φ+π)ω, équation d'une spirale logarithmique. xy xY M0quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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