[PDF] Sommaire 0- Objectifs LES AIRES

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Ch 9

Sommaire

0- Objectifs

1- Aire d'une surface

2- Unités d'aire

3- Aires de ifigures simples

4- Découpages et assemblages

0- Objectifs

• Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure. • Diffférencier aire et périmètre d'une surface. • Estimer la mesure d'une aire par diffférentes procédures. • Unités usuelles d'aire : multiples et sous-multiples du m² et leurs relations, are et hectare. • Déterminer la mesure de l'aire d'une surface à partir d'un pavage simple ou en utilisant une formule. Calculer des aires en mobilisant ou non, selon les cas, des formules. • Formules de l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle, d'un disque.LES AIRES

1- Aire d'une surface

Déifinition :

La valeur de l'aire d'une surface dépend de l'unité d'aire choisie : c'est le nombre d'unités d'aire qui composent exactement cette surface.

Exemple :

• Soit un rectangle ABCD de co6tés 3 cm et 6 cm. On désigne par a(ABCD) l'aire de ce rectangle. → a(ABCD) se lit : "aire de ABCD".• si on prend un carré de 1 cm de c o6té pourunité d'aire (nommée a), on peut en mettre

18 : l'aire du rectangle est donc 18

a .On écrit : a(ABCD) = 18 a• si on prend un carré de 1,5 cm de c o6tépour unité d'aire (nommée b), on peut en mettre 8 : l'aire du rectangle est donc 8 b .

On écrit : a(ABCD) = 8

b• si on prend un demi-carré de 3 cm de c o6té pour unité d'aire (nommée c), on peut en mettre 4 : l'aire du rectangle est donc 4 c .On écrit : a(ABCD) = 4 c a b c

2- Unités d'aire

Unité principale :

L'unité d'aire principale est le mètre-carré qui correspond à l'aire d'un carré de co6té 1 mètre. On écrit : 1 m².

De la m

e6me façon, on désigne par 1 dm², 1 cm², 1 mm² les aires des carrés dont les c o6tés sont respectivement 1 dm, 1 cm, 1 mm. Pour les terrains, on utilise l'are qui correspond à l'aire d'un carré de c o6té1 dam (c'est-à-dire 10 m). On écrit : 1 a = 1 dam²

Exemple :

• Combien y a-t-il de cm² dans 1 dm² ? On sait que 1 dm = 10 cm donc, dans le carré de c o6té 1 dm, on peut mettre 10 lignes de 10 carrés de 1 cm de c o6té ;On a donc :1 dm² = 100 cm² Cela explique qu'il faut, dans le tableau des unités, une colonne libre entre celle pour cm² et celle pour dm².

Tableau des unités d'aire :

haaca

Exemples :

• Convertir 3,5 m² en dm² puis en h a3,5 m² = 350 dm² = 0,00035 h a• Convertir 7 dm² en m² puis en mm²

7 dm² = 0,07 m² = 70 000 mm²1 cm²1 dm²

Remarque :

L'écriture m² correspond à m×m.

Cela est lié à la formule qui

donne l'aire d'un carré de c o6té cqui s'écrit : a = c × c = c²

3- Aires de ifigures simples

Le rectangle :

L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa largeur (nommée ℓ) par sa longueur (nommée L ). a(rectangle) = ℓ × L

Exemples :

• Calculer l'aire d'un rectangle de c o6tés 5 cm et 7 cm.a = ℓ × L = 5 cm × 7 cm = 35 cm² car cm × cm = cm²• Calculer l'aire d'un carré de c o6té 5 cm.a = ℓ × L = 5 cm × 5 cm = 25 cm² • Calculer l'aire d'un rectangle de c o6tés 3 dm et 5 mOn convertit dans la m e6me unité, par exemple le dm :a = ℓ × L = 3 dm × 5 m = 3 dm × 50 dm = 150 dm² car dm × dm = dm²Remarque : Un carré est un rectangle particulier pour lequel la largeur et la longueur sont égales.

Pour un carré de c

o6té c, on peut utiliser la formule : a = c × c = c²

Le triangle rectangle :

L'aire d'un triangle rectangle est la moitié de l'aire d'un rectangle ; elle est égale à la moitié du produit des 2 c o6tés de l'angle droit (nommés l et L). a(triangle rectangle) = l×L2

Exemple :

• Calculer l'aire d'un triangle rectangle dont les c o6tés de l'angle droitmesurent 7 cm et 8 cm. a = l×L 2=7 cm×8cm2=56cm²

2= 28 cm²

ℓL l L

Le triangle :

L'aire d'un triangle est la moitié de l'aire d'un rectangle ;

elle est égale à la moitié du produit d'un co6té (nommé c)par la hauteur (nommée h) associée à ce c

o6té.a(triangle) = c×h

2Exemple :

• On a mesuré un triangle : voir le schéma ci-contre. AB ≈ 5 cm, AC ≈ 2,7 cm, BC ≈ 4,2 cm et DC ≈ 2,3 cm. Évaluer le périmètre et l'aire de ce triangle. p(ABC) = AB + BC + CA ≈ 5 cm + 4,2 cm + 2,7 cm ≈ 11,9 cm

Dans le triangle ABC, on a une mesure du c

o6té [AB] et de la hauteur [DC]associée à ce c o6té.a(ABC) =AB×DC

2≈5

cm×2,3cm2≈ 5,75 cm²

Le disque :

L'aire d'un disque de rayon R est égale au produit du nombre π par le carré du rayon du disque. a(disque) = π × R²

Exemple :

• Calculer l'aire d'un disque de diamètre 6 cm. On sait que le rayon est la moitié du diamètre donc R = 6 cm ÷ 2 = 3 cm a(disque) = π × R² = π × 3 cm × 3 cm = 9π cm² la calculatrice donne une valeur approchée : a(disque) ≈ 28,3 cm² (arrondie au dixième)ch R

4- Découpages et assemblages

Pour calculer l'aire d'une ifigure, on essaie de la décomposer en ifigures simples : rectangles ou triangles ou fractions d'un disque. Plusieurs méthodes sont possibles. En voici quelques-unes.

Exemple :

• Calculer l'aire de la ifigure suivante :

Méthode 1 :

On découpe cette ifigure en 2 rectangles :

→ un rectangle de co6tés 6 cm et 1,5 cm :a1 = ℓ × L = 1,5 cm × 6 cm = 9 cm² → un rectangle de c o6tés 1,5 cm et 3 cm :a2 = ℓ × L = 1,5 cm × 3 cm = 4,5 cm² donc a = a1 + a2 = 9 cm² + 4,5 cm² = 13,5 cm²

Méthode 2 :

On rajoute 2 carrés pour obtenir un plus grand rectangle : → un rectangle de c o6tés 6 cm et 3 cma1 = ℓ × L = 6 cm × 3 cm = 18 cm² → deux carrés de c o6tés 1,5 cma2 = 2 × c² = 2 × (1,5 cm)² = 2 × 2,25 cm² = 4,5 cm² donc a = a1 ─ a2 = 18 cm² ─ 4,5 cm² = 13,5 cm²

Méthode 3 :

On découpe un carré de c

o6té 1,5 cm que l'on déplacepour obtenir un rectangle de c o6tés 3 cm et 4,5 cm : a = ℓ × L = 3 cm × 4,5 cm = 13,5 cm²6 cm

1,5 cm1,5 cm

1,5 cm1,5 cm

1,5 cm

1,5 cm

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