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Fonctions de plusieurs variables

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On propose des exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables. C’est le calcul différentiel en dimension finie. En particulier le calcul des dérivées partielles et les extremums des fonctions de plusieurs variables. Noter qu’on peut aussi parler de clacul differentiel dans les espaces de dimension infinie.

Comment calculer les fonctions de plusieurs variables?

1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c’est-`a-dire d´e?nies sur une partie de Rn, qu’on appellera son domaine de d´e?nition. On se limitera essentiellement aux fonctions de 2 ou 3 variables. Exemple 1. Soit f 1d´e?nie sur R2par f 1(x,y) = (x+y)/(x?y).

Qu'est-ce que les fonctions de plusieurs variables ?

Les fonctions de plusieurs variables : une extension des fonctions de variables réelle (domaine des réels). S’il y a un domaine important en introduction aux mathématiques de l’ingénieur, c’est bien le monde des équations différentielles. Elles sont primordiales lors de la modélisation mathématiques des phénomènes physiques.

Quels sont les dérivées et les fonctions de plusieurs variables?

Les dérivées et les fonctions de plusieurs variables 11 2 2 2 2 2 2 xx xx yx yx xy xy yy yy f f f f x x x f f f f x y x y f f f f y x y x f f f f y y y Le théorème de Schwarz Le théorème de Schwarz (aussi connu sous les noms de théorème de Clairaut et de théorème de Young) affirme que

INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE

IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.

DUTG´enieC ivil

ModuledeMath´ematiq ues.

MATH

EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

desfonc tionsdeplusieursvariables etdes ´equati onsdi

´erentielles.

G.Ch `eze

guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http://www.mat h.univ-toulouse.fr/!cheze/Enseignements.html 2

R`egledujeu

Ceciestunsup portdecou rspou rlemoduleM3del'IUTG´enieCiv ilde Toulouse.Danscemoduleilest questiondefo nctions deplusieursvariableset d'´equationsdi

´erentielles.

Certainspassagesdecec ourscomportentdestrous, ilssontl` avolontairement. C'est`avousde lescomp l´eterduran tl'heure decour shebdomadaire.Lapar tie ducour strait´eeenamph ith´eˆatreseracompl´e t´eeet disponibler´eg uli`erementsur internet`al'adresse:http://www.ma th.univ-toulouse.fr/!cheze/. Lesexercic es`afaireenTDsetrouvent` alasuite ducoursetles corrections`ala findech aquech apitre. Jeser aireconnaissant` atoutepersonnemesignalantuneoudeserreursse trouvantdanscedocum ent.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

i iiR`egledujeu

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.3Di

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

ne,Calculd'incertitude37

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

iii ivTABLEDESMATI ERES II

Equationsdi

´erentielles71

1

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

1.1.1

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.1

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

2

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

cientscons tants95

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

1 Jusqu'`apr´esentvousav ezsurtoutrencontr´edesf onctionsd'unevariable. Cepen- dantlesph´eno m`enes naturelsned´ependentpaseng´en´erald'uneseulevar iable.Par exemple:lavitessemoye nne vd´ependdeladistanceparc ourue detdu tempstmis poure ectuerceparcours,o nav=d/t.Un autree xempleestdonn´ep arlecalcul del'aired 'unrectang le:A=L"l.L 'aireestunefon ctiondelalon gueurLetdela largeurl.Da nscettepartie ,nousallons´etud ierlesfonctionsdeplus ieursvariables. Nousauronsun eattentiontoutepar ticuli`erep ourlesfonctionsdedeux variablescar danscecasnou spourr onsencor efairedesdess ins.Ensuitenousverronsquenous pouvonsaussifairedesca lculsded´eriv´ees .Celaserautilis´ epoure !ectuerdescalculs d'incertitudeetpourtrouverlesextr ema(ma ximum,minimum)d 'unefonctionde plusieursvariables. 3 4

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables

Nousallonsdan scechapitred´ efinirlesfonct ionsdep lusieursvariables.Nousno us int´eresseronsplusparticuli`erementauxfonc tionsdedeu xvariablesetauxdive rses

1.1D´efinit ion

L'exempleleplussimpledefon ctio nsdedeux variablesestdo nn´epa rl'aired'un rectangle:A=L"l.Letl´etantdesnombresp ositifsnous repr´esentonscette fonctiondelamani`eresuiv ante: f:R "R #$R (L,l)%#$L"l R "R s'appelleledomaineded´ efin itiondelafonctionf. D'unemani`ere g´en´eralenouspouvonsavo irnvariableso`und´esigneunnombre entier. D´efinition1.Soitnunn ombreentieretDunepart iedeR n .Unefonctionfde nvariablesestunproc´ ed´e quiatoutn-uplet(x 1 ,...,x n )deDassocieununiqu e nombrer´eel.

Celasenote delaman i`eresuivant e:

f:D#$R (x 1 ,...,x n )%#$f(x 1 ,...,x n

Destle domaineded´ efinitiondef.

Remarque:Lanotation(x

1 ,...,x n )es tl`apourm ontrer quenousavons nva- riables.Enpratique,lo rsquen ousn'avonsquedeuxvariables nouslesnoton sxety plutˆotquex 1 etx 2 5

6Fonctionsdeplusieursvariables

Parexemple ,lafonctionsuivantedonn elad istanced'unpointdecoordonn´ees(x,y) `al'origin eduplan. f:R 2 #$R (x,y)%#$ x 2 +y 2 festunefon ctiondedeu xvariables,R 2 estsondom aineded´efi nition. Voici,iciunexe mpled'un efonct iondetroisvariables:( x;y;z). g:R"R"R #$R (x,y,z)%#$ xcos(y)+2y 3 z 5 gestunefo nctiondetr oisvariables,R"R"R estsondo maineded´e finition. Exercice1.Lafo rmulesuivantepermetd ed´efinirunefonctionde2v ariables: f(x,y)=ln (x)+s in(y)

1.Donner l'imagede (e,0).

2.D onnerleplus granddomainede d´efinitionpossibl epourf.

Solution:

1.f(e,0)=ln(e)+s in(0 )=1+0=1.

L'imagede(e,0)par fest1.

2.Pour queln(x)ex isteilfaut(etilsu"t)quex>0.Don cx&R

sin(y)ex istepourtouty&R.Doncy&R. Ainsileplusgra ndd omaineded´ efinitionpossiblepo urfest:R "R.

1.2Repr´es entationgraphiqued'unefonctionde

deuxvari ables

1.2.1D´efini tion

Avantdedonnerlad ´efinitio ndugraphed'unefonc tion dedeuxvariablesnous allonsrappeler cequ'estlegraphed'unefon ctiond 'unevariable.

D´efinition2.Soit

f:D#$Rquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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