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Quels sont les exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables ?
On propose des exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables. C’est le calcul différentiel en dimension finie. En particulier le calcul des dérivées partielles et les extremums des fonctions de plusieurs variables. Noter qu’on peut aussi parler de clacul differentiel dans les espaces de dimension infinie.
Comment calculer les fonctions de plusieurs variables?
1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c’est-`a-dire d´e?nies sur une partie de Rn, qu’on appellera son domaine de d´e?nition. On se limitera essentiellement aux fonctions de 2 ou 3 variables. Exemple 1. Soit f 1d´e?nie sur R2par f 1(x,y) = (x+y)/(x?y).
Qu'est-ce que les fonctions de plusieurs variables ?
Les fonctions de plusieurs variables : une extension des fonctions de variables réelle (domaine des réels). S’il y a un domaine important en introduction aux mathématiques de l’ingénieur, c’est bien le monde des équations différentielles. Elles sont primordiales lors de la modélisation mathématiques des phénomènes physiques.
Quels sont les dérivées et les fonctions de plusieurs variables?
Les dérivées et les fonctions de plusieurs variables 11 2 2 2 2 2 2 xx xx yx yx xy xy yy yy f f f f x x x f f f f x y x y f f f f y x y x f f f f y y y Le théorème de Schwarz Le théorème de Schwarz (aussi connu sous les noms de théorème de Clairaut et de théorème de Young) affirme que
Fonctions de plusieurs variables
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1**TEtudier l"existence et la valeur éventuelle d"une limite en(0;0)des fonctions suivantes :
1. xyx+y 2. xyx 2+y2 3. x2y2x 2+y2 4.1+x2+y2y
siny 5. x3+y3x 2+y2 6. x4+y4x 2+y2. t7!xt2+ytpuisF(x;y) =sup t2[1;1]f x;y(t). Etudier la continuité deFsurR2. xy(x2y2)x2+y2si(x;y)6= (0;0).
(x;y)7!(0 siy=0 y2sinxy
siy6=0. 1.Etudier la continuité de f.
2.Etudier l"e xistenceet la v aleurév entuellede déri véespartielles d"ordre 1 et 2. On montrera en particulier
queDéterminer une fontion de classeC2sur un intervalleIdeRà préciser à valeurs dansRtelle que la fonction
1 g(x;y) =fcos2xch2ysoit non constante et ait un laplacien nul sur un sous-ensemble deR2le plus grand possible (une fonction de
Laplacien nul est dite harmonique).
1.f:R2!R
(x;y)7!x2+xy+y2+2x+3y2.f:R2!R
(x;y)7!x4+y44xy admettra que ce maximum existe).2+(ya)2+py
2+(xa)2.
dansRqui à(x;y)associejyx vérifie : 3. 1. 22+y2surD=f(x;y)2R2=x>0g(en passant en polaires).
Correction del"exer cice1 NOn notefla fonction considérée. 1.Pour x6=0,f(x;x+x3)=x(x+x3)xx+x3x!0+1x
. Quandxtendvers0,x+x3tendvers0puis lim(x;y)!(0;0) x>0;y=x+x3f(x;y)=¥.fn"a de limite réelle en(0;0).
2.Pour x6=0,f(x;0) =x0x
2+02=0 puis lim(x;y)!(0;0)
y=0f(x;y) =0. Mais aussi, pourx6=0,f(x;x) =xxx2+x2=12
puis lim (x;y)!(0;0)x=yf(x;y) =12 . Donc sifa une limite réelle, cette limite doit être égale à 0 et à12 ce qui est impossible.fn"a pas de limite réelle en(0;0). 3. Pour tout (x;y)2R2,x22jxyj+y2= (jxjjyj)2>0 et doncjxyj612 (x2+y2). Par suite, pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=x2y2x2+y26(x2+y2)24(x2+y2)=14
(x2+y2).Comme lim
(x;y)!(0;0)14 (x2+y2) =0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0. 4. lim (x;y)!(0;0)sinyy =1 et lim(x;y)!(0;0)(1+x2+y2) =1. Donc lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =1. 5.Pour (x;y)2R2,jx3+y3j=jx+yj(x2+xy+y2)632
jx+yj(x2+y2)et donc pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=jx3+y3jx2+y2632
jx+yj.Comme lim
(x;y)!(0;0)32 jx+yj=0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0. 6.Pour (x;y)2R2,jx4+y4j= (x2+y2)22x2y26(x2+y2)2+212
(x2+y2)2=32 (x2+y2)2et donc pour(x;y)6= (0;0), jf(x;y)j=jx4+y4jx2+y2632
(x2+y2).Comme lim
(x;y)!(0;0)32(x2+y2) =0, on a aussi lim(x;y)!(0;0)f(x;y) =0.Correction del"exer cice2 NDéterminonstoutd"abordF(x;y)pour(x;y)2R2. •Poury2R,F(x;y)=Maxff0;y(1);f0;y(1)g=Maxfy;yg=
jyj. • Six6=0,F(x;y) =Maxfx;y(1);fx;yy2x;fx;y(1)=Maxn x+y;xy;y24xo =Maxn x+jyj;y24xo Plus précisément, six>0, on ax+jyj>0 ety24x60. DoncF(x;y) =x+jyjce qui reste vrai quandx=0. Si x<0,x+jyj y24x =4x2+4xjyj+y24x=(2x+jyj)24x<0 et doncF(x;y) =y24x.8(x;y)2R2;F(x;y) =(x+jyjsix>0
y24xsix<0.En vertu de théorèmes généraux,Fest continue surf(x;y)2R2;x>0getf(x;y)2R2;x<0g. Soity06=0.
lim(x;y)!(0;y0) x<0;y=y0F(x;y) = +¥6=jy0j=F(0;y0)et doncFn"est pas continue en(0;y0). Enfin, lim(x;y)!(0;0) x<0;y=pxF(x;y) = 146=0=F(0;0)et doncFn"est pas continue en(0;0).
3Fest continue surR2nf(0;y);y2Rget est discontinue en tout(0;y),y2R.Correction del"exer cice3 N• Pour(x;y)2R2,x2+y2=0,x=y=0 et doncfest définie surR2. •fest de classeC¥surR2nf(0;0)g
en tant que quotient de fonctions de classeC¥surR2nf(0;0)gdont le dénominateur ne s"annule pas sur
R2nf(0;0)g.
2+y2=jxyj. Commelim(x;y)!(0;0)jxyj=0, onendéduitque lim(x;y)!(0;0)
(x;y)6=(0;0)f(x;y)= f(x;0)f(0;0)x0=x0(x202)x(x2+02)=0, et donc limx!0f(x;0)f(0;0)x0=0. Ainsi,fadmet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en(0;0)
etFinalement,fadmet surR2une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par
:0 si(x;y) = (0;0) y(x4+4x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0). dansR2 Donc,fadmet surR2une dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable définie par :0 si(x;y) = (0;0) x(x44x2y2y4)(x2+y2)2si(x;y)6= (0;0). R fest de classeC1exactement surR2.Correction del"exer cice4 N41.Posons D=f(x;y)=y6=0g.fest continue surR2nDen vertu de théorèmes généraux. Soitx02R.
jf(x;y)f(x0;0)j=(0 siy=0 y2sinxy
siy6=06y2.Comme lim
(x;y)!(x0;0)y2=0, lim(x;y)!(x0;0)jf(x;y)f(x0;0)j=0 et doncfest continue en(x0;0). Finalement, (x;y)2R2nD, xcosxy puis xy sinxy et enfin 2xy cosxy x2y2sinxy
variable surR2définie par ycosxy f(x0;y)f(x0;0)y0=(0 siy=0 ysinx 0y siy6=06jyj: et donc dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable surR2définie par2ysinxy
xcosxy 5 et donc )y =1 et doncdécritR2,cos(2x)ch(2y)décrit[1;1]. On suppose déjà quefest de classeC2sur[1;1]. L"applicationgest alors de
classeC2surR2et pour(x;y)2R2, +4sin2(2x)ch2(2y)f00cos2xch2y
Ensuite,
2(2y)f0cos2xch2y
puis2cos(2x)sh(2y)4sh(2y)ch
3(2y)f0cos2xch2y
+4cos2(2x)sh2(2y)ch4(2y)f00cos2xch2y
Mais alors
Dg(x;y) =8cos(2x)ch2(2y)+8cos(2x)sh2(2y)ch
3(2y)f0cos2xch2y
+4sin2(2x)ch2(2y)+4cos2(2x)sh2(2y)ch4(2y)f00cos2xch2y
8cos(2x)ch
3(2y)f0cos2xch2y
4(2y)f00cos2xch2y
8cos(2x)ch
3(2y)f0cos2xch2y
+4ch2(2y)4cos2(2x)ch4(2y)f00cos2xch2y
4ch 2(2y)2cos(2x)ch(2y)f0cos2xch2y
1cos2(2x)ch
2(2y) f00cos2xch2y
Par suite,
Dg=0, 8(x;y)2R2;2cos(2x)ch(2y)f0cos2xch2y
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