[PDF] Calcul symbolique et propagation des singularités pour les

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ANNALES SCIENTIFIQUES DE L"É.N.S.JEAN-MICHELBONY

Annales scientifiques de l"É.N.S. 4

esérie, tome 14, no2 (1981), p. 209-246

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1981, tous droits réservés.

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Ann. scient. Éc. Norm. Sup.

4 e série, t 14 1981,
p. 20 9 246.

CALCUL

SYMBOLIQUE

ET

PROPAGATION

DES

SINGULARITÉS

POUR LES

ÉQUATIONS

AUX

DÉRIVÉES

PARTIELLES

NON

LINÉAIRE

S PAR

JEAN-MICHEL

BONY Soit :(0.1) F(x,^(x), ...,^(x), ...)|P|^=O, une

équation

non linéaire d'ordr e m, où F est réelle et de classe

C°°.

S i u est une solution réelle de (0. 1 on définit le symbole principal B F(0.2 PM^)= Z - ^u(x\ ...K^ .[a|=w cu^ On dit que (xo ^o) eRn x(R"\{0} est caractéristique s i

P^(X()

^o)= 0 et on appelle bicaractéristique les courbes intégrales du champ hamiltonien de p^. Les résultats sont alorsles suivants : (0.3 (th. 5.3) Soit u une solution appartenan t l'espace de

Sobolev

H 5 s SQ [resp. l'espace de

Holder

C p p poL

Alors,

en tou t point (xo ^o) no n caractéristique, u est microlocalement de classeH' pour t<2s-X [resp. de classe C2^]. (0.4 (th. 6.1) S i u est une solution de classe H 5 s s^ et est microlocalement de classe FP t<2s - 1

,en un point caractéristique (xo, Ço)? alors u est microlocalement de classe H1 en tout point de

la bicaractéristique issue de (xo

Ço)

Pour l'équation (0.1 la plus générale on a

So=n/2+m

po=m',

À=n/2+m

^i=m

;s i = n/2 + m + 2, mais ces valeurs s'améliorent lorsque l'équation (0.1) est quasi linéaire (voir

les paragraphes 5 et 6 pour les

énoncés

précis). Avant de discuter ce s résultats décrivons la méthode de démonstration.

Nousintroduisons une classe d'opérateurs, dits paradifférentiels, associés à des symboles du type

suivant (0.5 ^(^)=zUx,^)+^-i(x,^) +^-[p](x,Ç)

ANNALE

S

SCIENTIFIQUES

DE

L'ÉCOL

E

NORMAL

E

SUPÉRIEURE

0012-9593/1981/209/$

5.00

Gauthier-Villar

s

210 J.-M. BONY

où p^_ est homogène de degré m fe de classe C° en et C"" k en x p 0 non entier) Un opérateur paradifférentiel de symbole p applique H 5 dans s m quel que soit s S i deux opérateurs ont p comme symbole, leur différence applique H 5 dans H 5 Tout l e calcul pseudo-différentie l classique (produit adjoint inverse, s'étend aux opérateurs paradifférentiels lquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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