[PDF] Chapitre 3 Equations différentielles ordinaires

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Chapitre3

Equationsdi

érentiellesordinaires

3.1Int roduction

Qu'est-cequec'estuneéquat iondi

érentielleordinaire?C'es tune

équationdéfinieentermesd'u nevariablet!I,Ii nter valleréel,une fonctioninconnuey:I"#R n etses dérivées parrapportàt.Enformule: Unefonct ionyquivérifie F(t,y(t),y$(t),y$$(t),···)=0s'appellesolu- tiondel'EDO . UneEDOes td'ordreksielleco ntientlesdér ivéesdeyjusqu'àl'ordrek.

Exemple14Leéqua tions:

y$(t)%t=0; y 2 $(t)%y(t)=0; e y 2 $(t) %t 2 +y=0; sontéquati ondi

érentiellesordinaires.

Sin=1onpar led'équationdi!érentiellescalaire.Sin>1onparle d'equationdi érentiellevectorielle.Parexem plel'équationpourl'incon- nuey(t)=(y 1 (t),y 2 (t)))!R 2 y$(t)=||y|| 2 y 39

403.2. Existenceetun icitélocalespourleprobl èmedeCa uchy

estunpr emierexemp lesimpled'équat ionvectorielle. Exemple15L'EDOd'ordre 2lapluscélèbreestladeuxièmeloide New- ton:

F(x)=mx!!(t)

quidécri tperexempleladynami qued'unp ointmatériellesoumisà la résultantedesforcesF. Onpeutécr irelaloi deNewtonentermesd usyst ème: x!(t)=v v!(t)= 1 m F(x) dedeuxéq uationsd' ordre1.Engeneraluneéquatio nscalaired'ordrek peutêtreécri tecommeuns ystèmedekéquationsd'ordre1.

Danslasuite onvacon sidererdeséquation sdi

érentiellesd'ordreksous

laform enormale: y (k) =f(t,y,···,y (k"1) )k#N

3.2Exist enceetunicitélocalespourleprobl èmede

Cauchy

SoitIuninter val le,f:I$R

n %&R n .On consider el'EDO: y!(t)=f(t,y(t)) Onpeutp enseràcetteéqu ationcommeun phén omèneévolut ifentemps (la variab let).Commeleproblèmededét ermi nertout eslesprimitives d'unefonctiondon née,cetteproblèmeadmetengenér alunnombrein- finidesolu tions. Pourchoisirunesolutionparticul ièreonimpose une conditioninitiale,c'estàdir e y(t 0 )=y 0 cequ iveutdireq ueàl'ins tantinitialt 0 laloiev olutiveva uty 0

Chapter3:Equationsdi !érentiellesordinaires41

Définition3.2.1[ProblèmedeCauchy]Onappell eprobl èmedeCauchy leprob lèmedetrouveruneintervall eItelq uet 0 !Ietunefo nction y:I"#R n quivérifie : y$(t)=f(t,y(t))t!I y(t 0 )=y 0 ,t 0 !I,y 0 !R n Premièrequestion:sous quellesconditionsexiste-t -il unesolution dupro- blèmedeCauch y?Deuxi èmequestion:cettesolutio nest-elleunique? Lethéor èmedeCauchy-Lipsch itzdon neuneréponseàcesdeuxques- tions.Sifsatisfaituneconditionsupplém entaire,alo rsl'existenceet l'unicitéd'unesolutionso ntassuréeslocalement ,c'estàdiresurun(pe- tit)interval leautourdet 0 Lacondi tionsupplémentairequ'ondem andepourlafonctionfestd'êtr e lipschitzienneparrapportàlavariableydansunv oisinagedu point initialy 0 Définition3.2.2[Fo nctionlocalementlipsch itzienne]SoientIunin- tervalle,DunouvertdeR n ,f:I%D"#R n .Soi ent(t 0 ,y 0 )!I%D.

SoitJ&Dunvois inagedupointy

0 .Onditquefestlipsch itzienne parrappo rtàlavariableydanslevois inageJsiilex isteune constante

L>0etile xisteu nvoisinageU&Idupoint t

0 telsque: ||f(t,y 1 (t))'f(t,y 2 (t))||(L||y 1 (t)'y 2 (t)|| poury 1 (t),y 2 (t)!J,t!U.

Exemple16 Lafonct ionf:R"#R

f(y)= y n'estpaslipschi tzienneauvo isinagedey=0.Enfait: lim (y 1 ,y 2 )#(0,0) |f(y 1 )'f(y 2 |y 1 'y 2 etparc onséquencei lnepeutpasexisteraucuneconsta nteLvérifiantla conditiondeLipschitz.Cep endantfestlipsch itziennesurtoutintervalle

423.2. Existenceetun icitélocalespourleprobl èmedeCa uchy

[a,b]avecb>a>0.Enfaitpouttouty 1 (t),y 2 (t)![a,b]ona: (y 1 (y 2 |y 1 "y 2 1 (y 1 (y 2 1 2 (a) Etdoncl aconditio ndeLip schitzestvérifiéeavecL= 1 2 (a) Siunef onction(d' unevariable)estdérivabl eauvoisinaged'unp ointet ladériv éeestbornéedanscev oisina ge,alorslafoncti onestlocalement lipschitzienne.Laréciproqueestfausse:ilya desfonct ionslipschitziennes quineson tpasdér ivables.Siune fonctiones tdeclasseC 1 alorselleest localementlipschitzienne.

Exemple17 Lafonct ionf:R%&R

f(y)=|y| estlipsc hitzienneauvoisinagedetouty!R.Enfaitpourtouty 1 ,y 2 !R ona: |f(y 1 )"f(y 2 )|=||y 1 |y 2 Lacondi tiondeLipschitzestdoncvé rifiéea vecL=1: ||y 1 |y 2 |y 1 "y 2 Noterquelafonct ionvaleur absolu en'estpasdérivableen y=0.Ce- pendantelleestlip shcitizienne. Théorème3.2.3[Ca uchy-Lipschitz]Soie ntI unintervalle,Dun ouvertdeR n ,f:I'D%&R n .Soi ent(t 0 ,y 0 )!I'D.Sifest continueetlipschitz iennepar rapportàsadeuxièmevariabledansun voisinagedupointy 0 ,alorsleproblèmedeCauchy: y((t)=f(t,y(t))t!I y(t 0 )=y 0 ,t 0 !I,y 0 !D admetuneuniquesol utionydéfiniedansunpe titvoisina gedupo intt 0

Deplu slasolutionestde classeC

1 danscevoi sinage.

Chapter3:Equationsdi !érentiellesordinaires43

Grâceauthéorèm edeCau chy-Lipschitz,onsa itquea umoinslocale- mentetsouscer tai nesconditions ,leproblèmedeCauchy estbienposé. Essayonsmaintenantdecalculer quelquesolutiond'EDOtrèssimp les. Exemple18[Mo dèledeMalthuspour lacroi ssancedespopulations]U n desprem ièresetplussimplesmo dèlesp ourl'évolutionentemps despo- pulationsestlemodèledeMa lthusdu1 798.On considèreunefonction t!"y(t)quidécri tlenombred'individus àl'ins tantt.Sil 'on suppose quelerapp ortentr eletauxdecroissancede lapopulatio netlap opulation mêmesoitprop ortionnelaute mpspassél'ontrouve: y(t+!t) y(t) =k!tk#R etsion faitl alim itepour !t"0l'ontrouvel 'équationdi!érentielle: y$(t)=ky(t)k#R Lafonct ionf(t,y)=ky(t)estbienco ntinueetlipsc hitzienneparrap- portàlavar iab leypourtoutecond itioninitiale(t 0 ,y 0 ).Lethéorèmede Cauchy-Lipschitzassurequepourtouteconditioniniti ale(t 0 ,y 0 )ilexiste uneuniqu esolutiondupro blème: y$(t)=ky(t)t#I y(t 0 )=y 0 y 0 #J

Onobser vequesiy

0 =0alorsla(seule)so lution duproblèmeestla fonctioncostantey(t)=y 0 =0.Siy 0 %=0onpeutc herchercette solution parséparat iondesvariables.Cetteméthodes' appliq uelorsqueleterme f(t,y(t))estdel aforme : f(t,y(t))=a(t)b(y(t)) 0 %=0, onpeuts upposerqu ey(t)%=0(auvoisinagedey 0 )etd iv iserpary(t) l'équationdi

érentielle:

y$(t) y(t) =k

443.3. EDOlinéaires

Onintég reentret

0 ett: t t 0 y!(t) y(t) dt= t t 0 kdt ln|y(t)|"ln|y 0 |=k(t"t 0 eton explici telasolutiony(t)enfo nctiondetetde lacond itioni nitiale: y(t)=y 0 e k(t"t 0 Onremar quequelasolutionestdéfi niepourto utt#R.

3.3EDOl inéaires

SoientIuninterva lle, Dunouv ertdeR

n ,f:I$D%&R n .Ondit quefestlin éaireparrapportàlavari ableysipo urtoutt#Ifixél'on a: f(t,! 1 y 1 (t)+! 2 y 2 (t))=! 1 f(t,y 1 (t))+! 2 f(t,y 2 (t)) pourtouty 1 (t),y 2 (t)#D,! 1 2 #R.Sifestlinéa irealorsilexiste unematrice A:I%&M n (R)tellequef(t,y(t))= A(t)y(t).On appelle

équationdi

érentiellelinéaire(duprem ierordre)touteéquation dela forme: y!(t)=A(t)y(t) oúy:I%&R n estunef onctioninco nnueetA:I%&M n (R)estune matrice. Proposition3.3.1SoientIuninterv all e,Dun ouvertdeR n ,A: I%&M n (R)unematr ice.Soient(t 0 ,y 0 )#I$D.SiAestcontinue sur

Ialorspourtou t(t

0 ,y 0 )#I$Dilexis teuneuniquesolution y:I%&R n duprobl èmedeCauchy: y!(t)=A(t)y(t)t#I y(t 0 )=y 0 y 0 #D

Chapter3:Equationsdi !érentiellesordinaires45

Cerésu ltatestunesimpleconséquen ceduth éorèmedeCau chy-Lipschitz. Leproc hainethéorèmedonneunecaractéris ationdessolutionsd 'une

équationdi

érentiellelinéaire.

Théorème3.3.1SoientIuninterv all eetA:I!"M

n (R)unemat rice continue.Alorsl'ensembl edessolutionsde l'équationdi

érentielle:

y#(t)=A(t)y(t) estuneesp acevec torieldedimensionn.No tammentilexistenfonctions y (1) (t),···,y (n) (t)tellesque: - y (i) (t)estsolu tiondel'EDOpourtou ti=1,···,n; - lesy (i) (t)sontlinéai rementindépendants: n i=1 c i y (i) (t)=0$c i =0%i,c i &R - siy(t)estunesol utiond el'EDOety(t)'=y (i) (t)pourtouti=

1,···,nalorsy(t)ilexiste k

1 ,···,k n &Rtelsque: y(t)= n i=1 c i y (i) (t)

3.4EDOl inéairesàcoe

cientsconstants

Oncherc heàrésoudreleprobl èmed eCauchy:

y#(t)=Ay(t)t&I y(t 0 )=y 0 y 0 &D (1) dontlamatri ceA&M n (R)nedépend pasdet.Pa ranalogie aveclecas scalaire(modèledeMalthu s)o nalatentationd' a rmerquelas olution duprob lèmeestdonnépary:I!"R n ainsidéfinie: y(t)=e A(t(t 0 y 0 (2)

463.4. EDOlinéairesà coe!cientsconstants

Dansl'expressi ondelasolutiononvoitapparaîtr el'exp onentiel led'une matriceA.Qu 'est-cec'estl'exponentielle d'unematr ice?Formellement elleestdéfini ecommel amatriceégaleà e A k=0 A k k! Avecunpeude théorie d'oper ateursd anslesespacesdeBanacho npour- raitmontrerq uecettesérieestconvergen te.Onappell esalimite ex- ponentielledelamatriceA.En suppos antd'avoirdonnéunsensàla notiond'exponentiell ed'unematrice,onpourraitaussidémontrerq ue2 estl'un iquesolutionduproblème1. Enpratique,pourcalculerlaso lu- tiond'unprob lèmedetype1i lfautcalculerl'exponentiell edela matricequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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