[PDF] Les carrés magiques Un carré magique est un

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Club de mathématique 1

Les carrés magiques

Ce document contient trop de matière pour un seul club de mathématiques. La matière du début est plus simple (niveau milieu à fin primaire). Les choses se corsent peu à peu par la suite pour satisfaire les

élèves plus avancés.

Même les élèves du secondaire peuvent débuter avec la partie facile du début, elle prépare bien pour la suite.

Première partie : pour les jeunes du primaire

(3e à 8e année) Un carré magique est un carré divisé en n rangées et n colonnes (donc n2 cases) dans lequel on met un nombre dans chaque case de manière à ce que la somme des n nombres de chaque rangée, de chaque colonne et de chaque diagonale est constante. On peut appeler cette constante la constante magique du carré. 2 7 6 9 5 1 4 3 8 est un carré magique 3 par 3, la constante magique est 15.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

est un carré magique 4 par 4, la constante magique est 34 Un carré magique, comme les deux exemples qui précèdent, dans lequel les n2 nombrHV VRQP OHV QRPNUHV 1 2 3 " Q2, est appelé un carré normal.

Instructions pour le professeur :

Les démarches suivantes expliquent la construction et la composition du carré 3 par 3. Pourquoi par exemple le 5 doit-il

être toujours au centre?

Il faut procéder lentement et laisser les enfants deviner des choses avant de tout écrire. Il faut les faire observer par eux- mêmes les différentes notions. Par exemple en regardant un un coin apparaît dans trois lignes distinctes (une rangée, une colonne et une diagonale). Puis, en regardant les huit combinaisons possibles de trois nombres de 1 à 9 dont la somme est 15, ils doivent observer combien de fois chaque nombre de 1 à 9 apparaît dans ces sommes. Par exemple le 4 apparaît trois fois (2 + 4 + 9 = 15, 3 + 4 + 8 = 15, 4 + 5 + 6 = 15). Ils doivent comprendre ce qui se passe et faire les déductions qui

Étude du carré 3 par 3.

(essayez avec les chiffres 1, 2, 3, 4). Le carré magique 3 par 3 est donc le nombres, soit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

La somme de ces neuf nombres est :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Comme il y a trois rangées (ou trois colonnes), toutes égales et dont la somme est 45, la somme dans chaque rangée (et dans chaque colonne et diagonale) doit être égale à 45153
. La constante magique du carré est donc

égale à 15.

Deuxièmement : on constate facilement que le carré doit contenir huit différentes sommes de trois entiers entre 1 et 9 (inclusivement) dont la somme est 15 : deux diagonales, trois lignes et trois colonnes. En observant plus attentivement on constate également ceci : le nombre au centre du carré apparaît dans quatre sommes distinctes (une ligne, une colonne et les deux diagonales) les nombres dans les coins apparaissent dans trois sommes distinctes (une ligne, une colonne et une diagonale) les nombres dans les milieux des lignes ou des colonnes du contour colonne) Nombre de sommes selon la position dans le carré : 3 2 3 2 4 2 3 2 3 Troisièmement, écrivons toutes les sommes de trois nombres distincts, entre 1 et 9 inclusivement, dont la somme est égale à 15. Avec un peu de patience, par essai et erreur, ou méthodiquement, peu importe, on trouve exactement 8 sommes possibles :

1 + 5 + 9

1 + 6 + 8

2 + 4 + 9

2 + 5 + 8

2 + 6 + 7

3 + 4 + 8

3 + 5 + 7

4 + 5 + 6

En observant ces sommes on aperçoit que le 5 apparaît dans quatre sommes distinctes (1 + 5 + 9, 2 + 5 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6). On aperçoit que les nombres pairs 2, 4, 6 et 8 apparaissent chacun dans trois sommes distinctes (par exemple pour 2 : 2 + 4 + 9, 2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7) Finalement, on aperçoit que les nombres impairs 1, 3, 7 et 9 apparaissent exactement dans deux sommes distinctes (par exemple pour 1 : 1 + 5 + 9 et 1 + 6 + 8)

Le 5 4 sommes

2, 4, 6 et 8 3 sommes

1, 3, 7 et 9 2 sommes

En mettant " deuxièmement » et " troisièmement » ensembles, que remarque-t-on?

3 2 3 Le 5 4 sommes

2 4 2 2, 4, 6 et 8 3 sommes

3 2 3 1, 3, 7 et 9 2 sommes

seul qui intervient dans quatre sommes distinctes. On voit ensuite que les nombres pairs, 2, 4, 6 et 8, doivent être dans On voit finalement que les nombres impairs 1, 3, 7 et 9, doivent être dans les milieux des lignes du pourtour.

Notre carré doit donc ressembler à ceci :

Pair Impair Pair

Impair 5 Impair

Pair Impair Pair

Finalement, construisons notre carré.

On commence avec un 5 au centre

5 placer automatiquement le 8 car la diagonale qui contient 2 et 5 doit contenir

8 pour que ça fasse 15 en tout (2 + 5 + 8 = 15).

8 5 2 Ensuite on place le 4 dans un des coins restants, ce qui place automatiquement le 6 car 4 + 5 + 6 = 15. 68
5 24
Finalement les quatre cases restantes se remplissent automatiquement car la somme de chaque ligne et chaque colonne doit faire 15. On obtient le carré suivant : 6 1 8 7 5 3 294

Observations finales

Il y a huit sommes possibles de trois nombres distincts de 1 à 9 et le carré carré 3 par 3. dans un coin (quatre choix). Cela place automatiquement le 8 (on complète la diagonale 2 ± 5 ± 8) Ensuite on place le 4 dans un des coins restants (deux choix). Il y a donc 8 carrés 3 par 3 possibles (4 x 2 = 8)

Ces carrés sont les suivants :

2 9 4 2 7 6 4 9 2 6 7 2

7 5 3 , 9 5 1 , 3 5 7 , 1 5 9 ,

6 1 8 4 3 8 8 1 6 8 3 4

4 3 8 6 1 8 8 3 4 8 1 6

9 5 1 , 7 5 3 , 1 5 9 3 5 7

2 7 6 2 9 4 6 7 2 4 9 2

et ou 270) ou par une réflexion (avec comme axe de symétrie la rangée centrale du carré, la colonne centrale du carré ou une des deux diagonales). On dit que ces huit carrés sont équivalents.

Exemples :

294
7 5 3 6 1 8 avec une rotation de 90 (sens horaire) devient le carré 6 7 2 1 5 9 8 3 4 6 7 2 1 5 9 8 3 4 avec la réflexion par rapport à la rangée centrale devient le carré 8 3 4 1 5 9 6 7 2

Exercices possibles :

1 Après avoir bien compris que le placement initial du 5, du 2 et du 4

Exemple : Le choix initial

24
5 conduit au carré 294
7 5 3 6 1 8

2. Prenez un carré initial donné et amusez-vous à faire les différentes

rotations

3. Prenez un carré initial donné et amusez-vous à faire les différentes

réflexions

4. Prenez un carré. Faites ses trois rotations (90, 180 et 270) dans le

sens horaire. Vous avez maintenant 4 carrés. Observez que les images miroir de ces carrés donnent quatre nouveaux carrés et vérifiez que chacun de ces nouveaux carrés peut être directement obtenu du carré initial par une des quatre réflexions. 2 7 6 9 5 1 4 3 8 est 6 7 2 1 5 9 8 3 4

5. Considérez les deux carrés magiques 4 par 4 suivants :

1 14 15 4 7 2 16 9

12 7 6 9 12 13 3 6

8 11 10 5 1 8 10 15

13 2 3 16 14 11 5 4

et par une rotation ou une réflexion, ce ne sont pas tous deux des images du même carré, ce sont deux carrés complètement différents). Cet exercice en a en fait beaucoup plus.

Approfondissement possible, pour des groupes plus

avancés

Généralités sur les carrés 4 par 4

Après avoir étudié le carré 3 par 3 on peut parler des carrés 4 par 4. La situation est nettement plus complexe et on ne peut pas en faire une étude approfondie facilement, on peut cependant dire plusieurs choses intéressantes. Comme on a vu, il y a huit carrés magiques 3 par 3, mais ces carrés sont en faits équivalents et sont différentes angles. Bernard Frénicle de Bessy (France, 17e siècle) a fait une étude complète des carrés magiques normaux 4 par 4 (publiée à titre posthume en 1693). Dans cette étude il magiques 4 par 4 distinctes. Chacune de ses classes classé tous ces carrés magiques en fonction du placement des paires de nombres dont la somme est 17. carrés suivants :

1 14 15 4 7 2 16 9

12 7 6 9 12 13 3 6

8 11 10 5 1 8 10 15

13 2 3 16 14 11 5 4

et Dans le premier, les deux nombres de chaque paire dont la somme est 17 sont placés symétriquement par rapport au centre du carré. Par exemple 1 et 16 ou encore 6 et 11. Dans le second, les deux membres de chaque paire sont 7. 10 . En fonction de ses placements, les carrés des diverses catégories ont les propriétés particulières, parfois très intéressante. Les carrés de la catégorie du second exemple sont très intéressants, on les appelle des carrés diaboliques. Parmi leurs propriétés, tous les sous carrés

2 par 2 de ces carrés (chacun en a 9) contient quatre

nombres dont la somme est 34, la constante magique du carré.

Construction de carrés 4 par 4.

haut en bas et de gauche à droite, les nombres de 1 à 16.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

dans chaque diagonale pour obtenir le carré magique suivant :

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

précédent, on obtient le carré magique suivant :

16 3 5 10

9 6 4 15

2 13 11 8

7 12 14 1

type que notre premier exemple : les paires de nombres dont la somme est égale à 17 sont placés symétriquement par rapport au centre du carré. Ces carrés sont dits symétriques. Notez que les trois carrés

Propriétés des carrés 4 par 4

À priori dans un carré normal 4 par 4 nous avons 10 lignes dont la somme des quatre nombres est égale à 34 (quatre rangées, quatre colonnes et deux diagonales). En fait il y a toujours au moins quatre autres groupes de quatre nombres dont la somme est 34. Considérons le carré suivant : a c c a d b b d d b b d a c c a

Si ce carré est magique et normal,

la somme des quatre nombres marqués " a » est

égale à 34 (les 4 coins)

la somme des quatre nombres marqués " b » est

égale à 34 (le carré central)

la somme des quatre nombres marqués " c » est égale à 34 (les nombres situés au milieu de la rangée du haut et de la rangée du bas) la somme des quatre nombres marqués " d » est égale à 34 (les nombres situés au milieu des colonnes de droite et de gauche). quatre sommes sont toujours égales à la constante magique du carré. Vous pouvez vérifier que ces sommes sont bien égales à

Preuve de cette affirmation :

Appelons A la somme des quatre nombres marquées " a ». Appelons B la somme des quatre nombres marqués " b ». Appelons C la somme des quatre nombres marqués " c ». Appelons D la somme des quatre nombres marqués " d ». On voit clairement que A + B = 68 (deux diagonales). A + C = 68 (deux rangées). A + D = 68 (deux colonnes). B + C = 68 (deux colonnes). Puisque A + B = A + C = A + D, on a B = C = D. Puisque B + C = 68 et B = C, on a B = C = 34. A + C = 68 entraîne que A = 34. A + D =

68 entraîne que D = 34.

On a bien montré que A = B = C = D = 34!

carré magique 4 par 4 en remplaçant 34 par la constante magique du carré. Donc, dans tout carré magique 4 par 4, il y a 14 groupes de 4 nombres dont la somme est égale à la densité du carré (quatre rangées, quatre colonnes, deux diagonales, les quatre coins, le carré central, les nombres au milieu des rangées du haut et du bas, les nombres au milieu des colonnes de gauche et de droite). de huit sommes de trois nombres donnant 15 et on a vu à 9 dont la somme est 15. Chacune des huit sommes doit être utilisées. Dans le cas du carré 4 par 4 la situation est bien différente. On a besoin de 14 groupes de quatre nombres de 1 à 16 dont la somme est 34, il en existe 86. Le choix est beaucoup plus grand et cela explique pourquoi il y a bien plus de carrés 4 par 4 que de carrés 3 par 3. Certains carrés ont bien plus que 14 groupes de quatre nombres, bien placés (ligne, carré, double SMLUH "B Mais puisque le choix se fait parmi 86 sommes possibles, les possibilités sont grandes. Outre les lignes (10 lignes), les carrée 2 par 2 (9 carrés) configurations sont possibles. En voici quelques-unes :

X X X X X

X X X X X X

X X X X X

X X X

X X X X X

X X X X XX XX X X X X X X X Xquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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