[PDF] Terminale ES – Exercices : inéquations avec des logarithmes et des

2 On peut composer les deux membres par la fonction exponentielle car

2 ? x⩽e

2], soit S=]0;e

(I14) 2lnx+1⩾0 (I14) est définie, comme la fonction ln, sur ]0;+∞[. On la résout dans cet ensemble.

2 ? elnx⩾e

Comme pour tout réel x, ex>0, on sait que e

Donc S=[e

(I15) ? lnx⩾?4 ? elnx⩾e?4 ? x⩾e?4. De manière analogue à (I14), on trouve S=[e?4;+∞[

x0 1 e2 +∞

lnxǁ - 0 + +

2?lnxǁ + + 0 -

lnx(2?lnx)ǁ - 0 + 0 -

Donc dans l'ensemble

On considère le trinôme

Les deux racines du trinôme sont donc

2×(?1)=?

2×(?1)=

Comme le coefficient du terme de plus haut degré de ce trinôme est négatif (puisqu'il est égal à

x-∞ ?5 1 +∞

?x2?4x+5 - 0 + 0 -

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation

2) Nommons (I) l'inéquation ln(?x2?4x+5)+ln1

8) ? ln(?x2?4x+5)>ln(8) puisque l'inverse de 1

8 est 8 et car pour tout

Ce trinôme admet donc deux racines :

2×(?1)=

2×(?1)=

x-∞ ?3 ?1 +∞

?x2?4x?3 - 0 + 0 -

Donc, dans

Mais comme on résout

S=]?3;?1[.

Exercice 3 : 1) ln(

2) L'inéquation (I) (lnx)2+lnx>0 est définie sur ]0;+∞[, tout comme la fonction ln.

Pour tout x de

2 2>1 e>1

3 (car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[ donc elle inverse

l'ordre sur cet intervalle.) Ceci nous permet de savoir que 1 e est compris entre 0 et 1.

On obtient donc le tableau de signes suivant :

x0 1 e 1 +∞ lnxǁ lnx+1

Exercice 4 : Chaque heure, la population de bactéries diminue de 5%, donc est multipliée par 0,95.

Si la population initiale est de A bactéries, au bout de n heures, la population de bactéries est de

A×0,95n.

On cherche le plus petit entier n tel que

A

×0,95n⩽A

2 (inéquation I)

(I) ? 0,95n⩽1

2 en divisant les deux membres par A, qui est un nombre strictement positif.

(I) ? ln(0,95n)⩽ln( 1

2) ? nln0,95⩽ln(

1

2) ? n⩾

ln( 1 2) ln0,95.

Remarque : on change le sens de l'inégalité car ln0,95, par lequel on divise les deux membres, est un nombre

strictement négatif car

0,95<1.

(I) ? n⩾?ln2 ln0,95. Avec ?ln2 ln0,95≈13,5134. Le plus petit entier n solution de cette inéquation est donc 14 : c'est au bout de

14 heures que la population de

bactéries aura diminué de moitié. Si on cherche un résultat en heures et minutes :

0,5134×60=30,804.

La population de bactéries aura diminué de moitié au bout de

13 heures et 31 minutes.

Exercice 5 : 1) Soit P0 la population initiale et Pn la population après n années. Chaque année, la population diminue de 7%, donc est multipliée par 0,93.

Donc pour tout entier naturel n, on a

Pn+1=Pn×0,93. (Pn) est une suite géométrique de premier terme P0 est de raison 0,93. Donc pour tout n ? ℕ, Pn=P0×0,93n.

On cherche le plus petit entier n tel que

P n⩽1

4×P0, soit P0×0,93n⩽1

4×P0 ? 0,93n⩽1

4 puisque P0>0

donc on peut diviser les deux membres de l'inéquation par

P0 sans changer son sens.

Résolvons l'inéquation

(I1) 0,93n⩽1

4 ? ln(0,93n)⩽ln(

1

4) ? nln0,93⩽?ln4 ? n⩾?ln4

ln0,93. (puisque ln0,93<0) ?ln4 ln0,93≈19,1027. Donc le plus petit entier n qui convient est 20 : c'est au bout de 20 années que la population de cette ville sera inférieure au quart de sa population initiale. Terminale ES - Exercices sur " logarithmes, exponentielles et inéquations » 6/7

2) Une population augmente de 10 % par an. Au bout de combien d'années cette population aura-t-elle doublé ?

Soit P0 la population initiale et Pn la population au bout de n années. Chaque année, la population augmente de 10 %, donc est multipliée par 1,1.

Ainsi, pour tout entier naturel

n, on a Pn+1=Pn×1,1. Donc (Pn) est une suite géométrique de terme initial P0 et de raison 1,1, donc pour tout n, Pn=P0×1,1n.

Pour savoir au bout de combien d'années cette population aura doublé, on cherche le plus petit entier

n tel que Pn⩾2P0 ? P0×1,1n⩾2P0 ? 1,1n⩾2 car P0>0.

1,1n⩾2 ? ln(1,1n)⩾ln2 ? nln1,1⩾ln2 ? n⩾ln2

ln1,1 car ln1,1>0 puisque 1,1>1. ln2 ln1,1≈7,27254. Donc c'est au bout de 8 ans que la population aura doublé. Exercice 6 : 1) a est la proportion d'alcool contenue dans le mélange avant l'opération. En litres, le mélange, avant l'opération, contient donc

100a L d'alcool.

On lui retire 1 L de mélange qui contient

1×a=a L d'alcool.

Donc il reste dans les 99 L

100a?a=99a L d'alcool.

On ajoute 1 L d'eau : on a donc

99a L d'alcool pour 100 L de mélange.

Le titre du nouveau mélange est donc

a'=99a

100=0,99a. C.Q.F.D.

2) Soit a0 le titre initial et an le titre du mélange après n opérations (ou n jours).

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