[PDF] M8 – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELS

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M8 - CHANGEMENT

DE R´EF´ERENTIELS

OBJECTIFS

•Par d´efinition, le vecteur vitesse---→vM/R=? d--→OMdt? R ,O´etant un point fixe du r´ef´erentielR,

d´epend du r´ef´erentiel dans lequel on l"´evalue. De mˆeme pour l"acc´el´eration---→aM/R=?d---→vM/R

dt? R

Dans ce chapitre, on se limite aux aspects cin´ematiques et on cherche `a ´etablir le liens entre les

vitesses et les acc´el´erations exprim´ees dans deux r´ef´erentiels diff´erents.

Nouveaut´es de cette le¸con :

•Loi de composition des vitesses. •Loi de composition des acc´el´erations.

•Notion de point co¨ıncidant pour savoir retrouver la vitesse d"entraˆınement-→ve(M)et

l"acc´el´eration d"entraˆınement-→ae(M) •Expression g´en´erale de l"acc´el´eration de Coriolis-→aC(M).

I Mouvement relatif de deux r´ef´erentiels

I.1 Position du probl`eme

Q :Si on connaˆıt???la trajectoire deMdansRa la vitesse----→vM/Ra(t) l"acc´el´eration----→aM/Ra(t), quelle sont???la traj. deMdansRe la vitesse----→vM/Re(t) Pour r´epondre `a cette question, il faut connaˆıtre le mouvement deRepar rapport `aRa: ♦D´efinition :Le mouvement deRepar rapport `aRa s"appelle lemouvement d"entraˆınement. R a=Rs"appelle ler´ef´erentiel fixeour´ef´erentiel ab- solu. R e=R1s"appelle ler´ef´erentiel mobileour´ef´erentiel relatif. Notation :(-→ex,-→ey,-→ez) et (-→ex1,-→ey1,-→ez1) notent lesBases OrthoNorm´eesDirectes cart´esiennes deRetR1respecti- vement. I.2 Rotation relative des deux tri`edres des B.O.N.D. deRaetRe

♦D´efinition :Il l existe un vecteur qu"on appellevecteur rotation d"entraˆınementdeRe=R1

p/r `aRa=R, not´e-→ΩR1/Rtel que : ?d-→ex1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ex1 ?d-→ey1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ey1 ?d-→ez1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ez1

I.3 Translation et rotation

Le mouvement d"entraˆınement deRe=R1par rapportRa=Rest la superposition : - d"unerotation`a la vitesse angulaire-→ΩR1/R - et d"unetranslationqu"on peut caract´eriser par---→vO1/R=? d--→OO1 dt? R

AvecOun point fixe dansRetO1un point fixe dansR1.

M8I. Mouvement relatif de deux r´ef´erentiels2008-2009 I.4 Mouvement d"entraˆınement par translation a Translation d"un solide dansR: ♦D´efinition :Un solide est enmouvement de trans- lationpar rapport `a un r´ef´erentielRsi, pour deux points AetBquelconques de ce solide, le vecteur--→ABgarde toujours les mˆemes direction, sens et norme au cours du temps :

AB=-→Cte.

zPropri´et´es :Les trajectoires de tous les points d"un solide en translation sont superposables.

Si ces trajectoires sont :

•des courbes de forme quelconque : on parle de translationcurviligne •des droites parall`eles : on parle de translationrectiligne •des cercles de mˆeme rayon : on parle de translationcirculaire.

zPropri´et´e :--→AB=--→Cste?--→OB(t)--→OA(t) =-→Cte?---→vB/R(t) =---→vA/R(t)

Cl :au cours d"une translation, tous les points d"un solide ont,`a chaque instantt, le mˆeme vecteur vitesse-→v(t). Rq :Bien entendu, ce vecteur vitesse peut varierau cours du temps, en norme comme en direction! bR1est un solide g´eom´etrique qui peut ˆetre en translation p/r `aR:

Dans ce cas, tout vecteur li´e `aRe=R1demeure

constant dansRa=R1; entre autre :-→ex1,-→ey1et-→ez1.

Donc :

d-→ex1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ex1=-→0 ?d-→ey1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ey1=-→0 ?d-→ez1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ez1=-→0? -→ΩR1/R=-→0

zCl :Lorsqu"un r´ef´erentielR1a un mouvement d"entraˆınement de translation par rapport `a

un r´ef´erentielR, alors, son vecteur rotation d"entraˆınement en nul. I.5 Mouvement d"entraˆınement par rotation de R epar rapport `aRa

Hyp :Supposons que,?t:

•(Oz) = (O1z1) etO=O1. •le r´ef´erentielR1est en rotation dans le r´ef´erentielR autour de la verticale.

Alors :???-→e

x1= cosθ-→ex+ sinθ-→ey-→ey1=-sinθ-→ex+ cosθ-→ey-→ez1=-→ez

Soit, en d´erivant par rapport au temps dans le r´ef´erentielR:

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.

2008-2009II. D´erivation d"un vecteur par rapport au tempsM8

d-→ex1 dt? R =θ(-sinθ-→ex+ cosθ-→ey) =θ-→ey1?d-→ey1 dt? R =θ(-cosθ-→ex-sinθ-→ey) =-θ-→ex1?d-→ez1 dt? R =-→0

On peut facilement v´erifier que :

dt? R dt? R θ-→ez1×-→ez1=-→0 =?d-→ez1 dt?

RDonc, en posant

-→Ω =θ-→ez, pouri=x, youz: ?d-→ei1 dt? =-→Ω×-→ei1 Alors (cf.I.2)-→Ω repr´esente levecteur rotation deR1par rapport `aR: -→ΩR1/R=-→Ω =θ-→ez

Rq :(Important `a comprendre!)?

La base (

ex1,-→ey1,-→ez1) est unebase cart´esiennedans le r´ef´erentielR1 Mais ces trois mˆeme vecteurs sont les vecteurs d"unebase polairedans le r´ef´erentielR.

Cl :La nature d"une base (cart´esienne ou polaire) d´epend du r´ef´erentiel dans lequel on

travaille. II D´erivation d"un vecteur par rapport au temps

II.1 Formule de Varignon

•Soit un vecteur quelconque-→U. On peut le projeter dans laB.O.N.D.deR1=Re:-→U=Ux1-→ex1+Uz1-→ez1+Uz1-→ez1

•On peut d´eriver ce vecteurpar rapport au temps dans le r´ef´erentielRa=R: l"observateur,

pour cette op´eration, estLI´E`aR: d-→U dt? R R +Uy1?d-→ey1dt? R +Uz1?d-→ez1dt? R d-→U dt? R d-→Udt? R d-→U dt? R d-→Udt? R

1+-→ΩR1/R×-→U

II.2 Composition des vecteurs rotation

a Relation entre-→ΩR1/Ret-→ΩR/R1? d-→U dt? R d-→Udt? R

1+-→ΩR1/R×-→U

d-→U dt? R 1=? d-→Udt? R d-→U dt? R d-→Udt? R -→U

D"o`u :

-→ΩR1/R=--→ΩR/R1 b Composition des vecteurs rotations : Supposons trois r´ef´erentielsR1,R2etR3. On a :? d-→U dt? R 2=? d-→Udt? R

1+-→ΩR1/R2×-→U

d-→U dt? R 3=? d-→Udt? R d-→U dt? R 3=? d-→Udt? R -→U Qadri J.-Ph.http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3 M8II. D´erivation d"un vecteur par rapport au temps2008-2009 D"o`u :-→ΩR1/R3=-→ΩR1/R2+-→ΩR2/R3 c Application : coordonn´ees sph´eriques Le rep`ere (O,-→ex,-→ey,-→ez) est le" solide géométrique »LIÉau référentielR. Le repère(O,-→e ,-→e?,-→ez)est le " solide géométrique »LIÉau référentielR?tel que :-→ΩR?/R= ?-→ez. Le repère(O,-→er,-→eθ,-→e?)est le " solide géométrique »LIÉau référentielR1tel que :-→ΩR1/R?=θ-→e?.

• D"après la composition des vecteurs rotation :-→ΩR1/R=-→ΩR1/R?+-→ΩR?/R=θ-→e?+ ?-→ez

• d"où :?d-→er dt? R 0? ????d-→er dt? R

1+-→ΩR1/R×-→er

θ-→e?+ ?-→ez)×-→er=θ-→eθ+ ?-→ez×-→er? sinθ-→e? →?d-→erdt? R =θ-→eθ+ ?sinθ-→e?1? •d"o`u :?d-→eθ dt? R 0? ????d-→eθ dt? R

1+-→ΩR1/R×-→eθ= (θ-→e?+ ?-→ez)×-→eθ=-θ-→er+ ?-→ez×-→eθ????

sin? 2? e →?d-→eθ dt? R =-θ-→er+ ?cosθ-→e?2? •d"o`u :?d-→e? dt? R 0? ????d-→e? dt? R

1+-→ΩR1/R×-→e?= (θ-→e?+ ?-→ez)×-→e?= ?-→ez×-→e?≡ -?-→e.

Comme :

-→e= sinθ-→er+ cosθ-→eθ, on obtient :?d-→e? dt? R •De plus, comme---→vM/R=? d--→OM dt? R =?dr-→erdt? R = r-→er+r?d-→erdt? R Rq1 :Avec1?on obtient la vitesse en coordonn´ees sph´eriques : vM/R= r-→er+rθ-→eθ+rsinθ?-→e?

Rq2 :On pourrait d´eriver `a nouveau le vecteur vitesse, et, grˆace `a1?,2?et3?, obtenir l"expression

de l"acc´el´eration en coordonn´ees sph´eriques. d D´eriv´ee temporelle d"un vecteur rotation d"entraˆınement •Supposons que-→U≡-→ΩR1/R. La formule deVarignons"´ecrit alors :?d-→ΩR1/R dt? R =?d-→ΩR1/Rdt? R

1+-→ΩR1/R×-→ΩR1/R????-→0→Donc les deux d´eriv´ees temporelles sont ´egales. Comme elles sont ind´ependantes du choix du

r´ef´erentielRouR1pour les exprimer, on peut se contenter de noter : ?d-→ΩR1/R dt? R =?d-→ΩR1/Rdt? R

1≡d-→ΩR1/Rdt

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.

2008-2009III. Loi de composition des vitessesM8

III Loi de composition des vitesses

III.1 Vitesse absolue et vitesse relative

d--→OM dt? R a≡-→va savitesse relative, d´efinie dans le r´ef´erentiel relatifRe----→vM/Re=? d---→O1M dt? R e≡-→vr v

M/Ra≡?

d--→OM dt? R a=? d--→OO1dt? R a? d---→O1M dt? R a vO1/Ra+? d---→O1M dt? R e? ???----→v M/Re+ -→ΩRe/Ra×---→O1M zD"o`u laLoi de Composition des Vitesses: III.2 Point co¨ıncidant et vitesse d"entraˆınement ♦D´efinition :Lepoint co¨ıncidant, not´eM?, est le point :

1?fixedansRe(i.e.li´e`aRe)

2?quico¨ıncideavecM...

3?...`a l"instanttconsid´er´e

Rq :Bien comprendre que le point co¨ıncidant est un pointg´eom´etrique, puisqu"il est fixe dans

R e, et non un pointmat´erielcomme le pointM.

Cons´equences :1??

vM?/Re=-→0 D`es lors, la loi de composition des vitesses appliqu´ee au pointM?donne : v

M?/Ra=????----→vM?/Re+----→vO1/Ra+-→ΩRe/Ra×----→O1M?≡-→ve(M) avecM?(t) =M(t)

♦D´efinition :On appellevitesse d"entraˆınementdu pointM, not´ee-→ve(M), la vitesse qu"auraitle pointMdans le r´ef´erentiel absolusiM´etait fixe dansRe, c"est-

`a-dire,siM´etait entraˆın´e par le mouvement d"entraˆınement du r´ef´erentiel relatif

R e. zPropri´et´e :On constate que lavitesse d"entraˆınementdu pointMcorrespond `a lavitesse absolue du point co¨ıncidantM?: -→ve(M)≡? vM?/Ra v

O1/Ra+-→ΩRe/Ra×---→O1M

zPropri´et´e :LaLoi de Composition des Vitessess"´ecrit donc : -→va=-→vr+-→ve? vM/Ra? vitesse absolue= vM/Re???? vitesse relative+ -→ve(M)???? vitesse d"entraˆınement(L.C.V.) Qadri J.-Ph.http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5 M8IV. Loi de composition des acc´el´erations2008-2009

IV Loi de composition des acc´el´erations

IV.1 Acc´el´eration absolue et acc´el´eration relative dt? R a, on repart de laLoi de Composition des Vitesses v qu"on d´erive par rapport au temps terme `a terme : ?d----→vM/Ra dt? R a=?d----→vM/Redt? R a+?d----→vO1/Radt? R R a

En introduisant la notation simplifi´ee

-→Ω≡-→ΩRe/Ra, ces d´eriv´ees deviennent : ?d----→vM/Re dt? R a=?d----→vM/Redt? R ?d----→vO1/Ra dt? R a≡----→aO1/Ra ?d(-→ΩRe/Ra×---→O1M) dt? R d---→O1Mdt? R a d-→Ω dt×---→O1M+-→Ω×?? d---→O1Mdt? R e+-→Ω×---→O1M? -→Ω×(-→Ω×---→O1M) +d-→Ω zD"o`u laLoi de Composition des Acc´el´erations: aM/Ra=----→aM/Re+----→aO1/Ra+-→Ω×(-→Ω×---→O1M) +d-→Ω dt×---→O1M+ 2-→Ω×----→vM/Re(L.C.A.)

Avec :

aM/Ral"acc´el´eration absolueet----→aM/Rel"acc´el´eration relative. IV.2 Point co¨ıncidant et acc´el´eration d"entraˆınement Appliquons laL.C.A.au point co¨ıncidantM?sachant que par d´efinition deM?, puisque le point co¨ıncidant est un point fixe du r´ef´erentiel relatif : on obtient, avecM?(t) =M(t) : a

M?/Ra=????----→aM?/Re+----→aO1/Ra+-→Ω×(-→Ω×----→O1M?) +d-→Ω

dt×----→O1M?+ 2-→Ω×????----→vM?/Re

♦D´efinition :On appelleacc´el´eration d"entraˆınementdu pointM, not´ee-→ae(M),

l"acc´el´eration qu"auraitle pointMdans le r´ef´erentiel absolusiM´etait fixe dansRe,

c"est-`a-dire,siM´etait entraˆın´e par le mouvement d"entraˆınement du r´ef´erentiel relatif

R e.

zPropri´et´e :Ainsi, l"acc´el´eration d"entraˆınementdeMcorrespond `a l"acc´el´eration absolue

du point co¨ıncidantM?: -→ae(M)≡?????-----→a M?/Ra a O1/Ra+-→Ω×(-→Ω×---→O1M) +d-→Ω dt×---→O1M

6http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.

2008-2009VI. Mouvement d"entraˆınement par rotationÜCf CoursM8

IV.3 Acc´el´eration de Coriolis

D"apr`es la d´efinition de l"acc´el´eration relative et de l"acc´el´eration d"entraˆınement, laL.C.A.

s"´ecrit :----→aM/Ra=----→aM/Re+-→ae(M) + +2-→Ω×----→vM/Re ♦D´efinition : Important! Expression `a connaˆıtre par coeur! On appelle acc´el´eration de Coriolis, not´ee-→aC(M), le terme : aC(M) = 2-→ΩRe/Ra×----→vM/Re?-→aC(M) = 2-→Ω×-→vr

IV.4 Conclusion et remarques importantes

zPropri´et´e :LaLoi de Composition des Acc´el´erations(L.C.A.) s"´ecrit donc : -→aa=-→ar+-→ae+-→aC? aM/Ra? acc´el. absolue= aM/Re???? acc´el. relative+ -→ae(M)???? acc´el. d"entraˆınement+ aC(M)???? acc´el. de Coriolis Rq1 :Dans l"acc´el´eration de Coriolis, la vitesse mise en jeu est la vitesse relative!

Rq2 :D"apr`es le programme, l"expression de l"acc´el´eration de Coriolis est `a connaˆıtre par coeur.

Rq3 :L"acc´el´eration d"entraˆınement se trouvera en cherchant `a exprimer, au cas par cas,

l"acc´el´eration du point co¨ıncidant. Rq4 :Attention, except´e un cas exceptionnel (ÜCf§V), on a :-→ae?=d-→ve dtquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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