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Repérage dans le plan

I Coordonnées d"un point dans un repère

Pour repérer un point dans le plan, on définit un repère et on indique les coordonnées de ce point dans

le repère.

Définition :RepèreDéfinir un repère, c"est donner trois pointsO,IetJnon alignés dans un ordre précis.

On note (O;I,J) ce repère.

+Le pointOest appelé l"origine du repère. +La droite (OI) est l"axe des abscissesorienté deOversI.

La longueurOIindique l"unité sur cet axe.

+La droite (OJ) est l"axe des ordonnéesorienté deOversJ.

La longueurOJindique l"unité sur cet axe.

Exemple 1 :Lire les coordonnées d"un point

Dans le repère (O;I,J) ci-contre :

1)

Les coor donnéesdu point Msont (2;¡1).

2) Le point Aa pour coordonnées (¡2;3).ÅI¡J O

¡OJ2OI¡2OI3OJMA

Définitions :Différents types de repères+Si le triangleOIJest rectangle enO, le repère (O;I,J) est ditorthogonal.

+Si le triangleOIJest isocèle enO, le repère (O;I,J) est ditnormé. +Si le triangleOIJest isocèle et rectangle enO, il est ditorthonormalouorthonormé.

Exemples 1 :

Repère orthogonalÅIÅJ

ORepère normé

OÅ¡J

IRepère orthonormé

ÅIÅJ

O

Dans les trois repères ci-dessus, place le pointMde coordonnées (¡2;3).1Repérage dans le plan

II Coordonnées du milieu d"un segment

Propriété :Milieu d"un segmentDans le plan muni d"un repère, on note (xA;yA) et (xB;yB) les coordonnées deAetB. Les coordonnées

du milieu du segment [AB] sont données par la formule suivante :³ xAÅxB2 ;yAÅyB2 Remarques :1)C ettep ropriétéest v alabledan sn "importequel t yped er epère. 2) P ourt rouverles coor donnéesdu mil ieu,il faut don cc alculerl am oyennedes absc isseset la moyenne des ordonnées des extrémités du segment. Exemple 2 :Calculer les coordonnées d"un milieu 1) D ansun r epère( O;I,J), placer les points suivants :R(¡1;4);S(¡2;1);T(3;0) etU(4;3). 2) C alculerl esc oordonnéesdu m ilieudu segmen t[ RT] puis du segment [SU]. Conclure.

Correction :

1) C hoisissonsun r epèren onor thogonal: Å¡2Å¡1Å2Å4ÅI¡2¡3¡4

¡JR

S TU2) xRÅxT2

AE¡1Å32

AE1 etyRÅyT2

AE4Å02

AE2. x

SÅxU2

AE¡2Å42

AE1 etySÅyU2

AE1Å32

AE2. se coupent en leur milieu.

DoncRSTUest un parallélogramme.

Un petit algorithme : 1#Ondemandelescoordonnéesdedeuxpoints:

6#Oncalculelescoordonnéesdumilieu:

7xm=(x1+x2)/2

8ym=(y1+y2)/2

9#Onaffichelerésultat:

11print("(",xm,";",ym,")")Abscisse du 1er point : 5

Ordonnée du 1er point : 7

Abscisse du 2ème point : 6

Ordonnée du 2ème point : 8

Les coordonnées du milieu sont :

( 5.5; 7.5 )2Repérage dans le plan

III Distance entre deux points

Propriété :Distance entre deux pointsDans le plan muni d"un repèreorthonormé, on note (xA;yA) et (xB;yB) les coordonnées deAetB.

Ladistanceentre deux pointsAetBdonnée par la formule suivante :ABAEq( xB¡xA)2Å¡yB¡yA¢2 Remarques :1)C ettepr opriétén "estv alablequ ed ansu nr epère orthonormal. 2) C ecalcul vie ntd ut héorèmede Pythagore:Å1Å1 0x Ax By Ay By

B¡yAx

B¡xAAB

C

Exemple 3 :Calculer une longueur

Dans un repère (O;I,J) orthonormal, on donne les points de coordonnées suivantes.

R(1;¡1)S(¡2;0)T(0;6) etU(3;5)

1)

P lacerle spoi ntsdans l er epère( O;I,J).

2) C onjecturerla na turedu quadr ilatèreRSTU. Calculer les longueursRTetSU. Conclure.

Correction :

1) D ansle r epèreor thonormal: Å¡2Å2Å4Å2Å4Å6

ROÅIJST

U 2)

I ls embleraitqu eRSTUsoit un

rectangle.RTAEq( xT¡xR)2Å¡yT¡yR¢2

RTAEp(0¡1)2Å(6¡(¡1))2

RTAEp50

SUAEq(

xU¡xS)2Å¡yU¡yS¢2

SUAEp(3¡(¡2))2Å(5¡0)2

SUAEp50

Or : "Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu alors c"est un rectangle». [RT] et [SU] sont les diagonales deRSTUavecRTAESU. Il reste à vérifier qu"elles se coupent en leur milieu. x

RÅxT2

AE1Å02

AE12 etyRÅyT2

AE¡1Å62

AE52 x

SÅxU2

AE¡2Å32

AE12 etySÅyU2

AE0Å52

AE52 Les coordonnées des deux milieux sont les mêmes donc il s"agit du même point. DoncRSTUest un rectangle.Écris un algorithme Python permettant de calculer la distance entre deux points de coordonnées données. 1#Onimporteunelibrairie:

2from␣math␣import␣sqrt

4print(4**2)␣#4**2donne4puissance2

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