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FONCTIONS DE CLASSE C1

La notion de classe

Cpour une fonction est

présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle, intégrations par parties) et en probabilités (fonction de e variable aléatoire à densité). de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.

Ces exercices nous permettront

(continuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours

1) Définition

Une fonction numériqueféfinie sur un intervalleIest dite de classe 1 Csi elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée'fest continue sur cet intervalle.

2) Propriétés

a) Si fetgsont deux fonctions de classe 1

Csur un intervalleIalors les

fonctions fgetfgsont de classe 1

CsurI͘

Si de plus

gI, alors f g est de classe 1

CsurI.

b) Si fest une fonction de classe 1

Csur un intervalleIet si gest une

fonction de classe 1

Csur un intervalleJfI ,alors

la fonction gffest de classe 1

CI͘

Remarque.

La fonction

fétant de classe 1

CI, elle est dérivable donc

continue sur cet intervalle.

FONCTIONS DE CLASSE

C 1 (théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle.

Exercice 1

On considère la fonction numériquefde la variable réellextelle que

0 si 0

sinon lnx fx x x 1) f.

2) La fonction

f est-elle dérivable en 0 ?

3) Justifier que la fonction

fest de classe 1

Csur 0,1.

4) Dresser le tableau des variations de la fonction

f. (On y fera apparaître les différentes limites et la valeur defe)

On considère la suite

vtelle que 0 3vet 1 ,ln n n n vnvv 1 ln n v, n 1n v, n

5) Montrer que

n nve , n ve, n v, n

6) Justifier que la suite

vconverge et déterminer sa limite.

Correction

1. lnx x existe si et seulement si 0xet ln 0x. lnx x existe si et seulement si 0xet 1x.

0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,

2. Pour

01ln0,1 , 00ln

x x fx f xxxxx puisque 0 limln x x

La fonction

fest donc dérivable en 0 et'0 0f

FONCTIONS DE CLASSE C110

3. La fonctionfest de classe

Csur0,1et sur1,comme quotient de

fonctions de classe 1

C0,1 et sur

1,.

Pour établir le caractère

Cde la fonctionfsur chaque

intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de chapitre. 22 2

11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx

xxxfxxxxx 0 limln x x donc 0

1lim 0ln

x x et 20

1lim 0ln

x x

Finalement

0 lim ' 0 ' 0 ' x fx f f continue en 0.

La fonction

fest de classe 1

Csur0,1.

4. 22

1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx

xxxfxxx est du signe de ln 1x : ln 1 0 ln 1xxxe ln 1 0 ln 1xxxe

La fonction

fest dérivable donc continue en 0 : 0 lim 0 0 x fx f 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx

11FONCTIONS DE CLASSE C1

lnlim 0 x xquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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FONCTIONS DE CLASSE C1

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Cpour une fonction est

Ces exercices nous permettront

1) Définition

2) Propriétés

Csur un intervalleIalors les

CsurI͘

Si de plus

CsurI.

Csur un intervalleIet si gest une

Csur un intervalleJfI ,alors

CI͘

Remarque.

La fonction

CI, elle est dérivable donc

FONCTIONS DE CLASSE

Exercice 1

0 si 0

2) La fonction

3) Justifier que la fonction

Csur 0,1.

4) Dresser le tableau des variations de la fonction

On considère la suite

5) Montrer que

6) Justifier que la suite

Correction

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01ln0,1 , 00ln

La fonction

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Pour établir le caractère

Cde la fonctionfsur chaque

11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx

1lim 0ln

1lim 0ln

Finalement

La fonction

Csur0,1.

1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx

La fonction

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