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ÉCOLE DOCTORALE DE PHILOSOPHIE

Thèse pour l"obtention du grade de

Docteur en philosophie de l"Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne présentée et soutenue publiquement par

DavidWaszek

le 16 décembre 2018

LES REPRÉSENTATIONS EN

MATHÉMATIQUES

Directeur de thèse :

M. MarcoPanzaDirecteur de recherches au CNRS (IHPST)

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Composition du jury :

M. JeremyAvigadProfessor, Carnegie Mellon University Mme HouryaBenis-SinaceurDirectrice de recherches émérite au CNRS (IHPST) M. JeremyGrayEmeritus Professor, Open University(rapporteur) M. BriceHalimiMaître de conf. hab., Univ. Paris Ouest(rapporteur) M. DavidRabouinChargé de recherches au CNRS (SPHERE) M. Jean-JacquesSzczeciniarzProfesseur, Université Paris Diderot

Table des chapitres

Remerciements

5

Introduction

9 I Étude de cas : l""analogie des puissances et des di?érences» 21
Introduction : une étude de cas historique, pourquoi, comment? 25
1 Éléments de conte xte: le calcul di?ér entielleibnizien en 1694 31
2

Ré cit: la dé couvertede l"" analogie»

43
3

Analyse : le rôle des notations

75

Synthèse : un pari notationnel

91
II Équivalence informationnelle, di?érences computationnelles 93

Introduction : un slogan séduisant

97
4 Herb ertSimon : r eprésentationset typ esde donné es 101
5

Di?ér encescomputationnelles partout ?

131
6

De Simon à la pratique des mathématiques

153

Conclusion : avancées et limites

169

III Syntaxe et sémantique des diagrammes

171

Introduction : logique et information

175
7

Sun-Jo oShin et les diagrammes logiques

181
8 Les diagrammes comme te xte: un cadr egénéral 211
9 Le contenu d"information, une nouv ellesémantique ? 225
10

D ynamiquedu raisonnement diagrammatique

255

Conclusion : une sémantique en quel sens?

269

IV Faut-il parler de représentation?

271

Introduction : plusieurs objections

275
11 Usages informels des diagrammes et conte xtualité 277
12

Manipulations sans r eprésentation?

291

Conclusion générale

307

Table des matières détaillée

309

Table des ?gures

315

Références bibliographiques

319

Index des noms

359
3

Remerciements

fortes et manifestes, d"autres à peine perceptibles et pourtant cruciales, d"autres encore, à n"en pas douter, dont je n"ai même pas conscience. Sans prétendre pouvoir rendre son dû à chacun, j"aimerais exprimer toute ma gratitude à ceux qui suivent. Les encouragements de Marco Panza et son soutien permanent m"ont été indispen- sables pour entamer cette thèse, et plus encore pour la terminer alors qu"il me semblait en être encore au travail préliminaire. Avec Annalisa Coliva, il m"a aussi accueilli pour un séjour fructueux de quelques mois au département de philosophie de l"université de

Californie à Irvine.

David Rabouin m"a consacré beaucoup de temps, et le travail qui suit est profondément marqué par nos discussions. Jeremy Avigad et Ken Manders m"ont accueilli à Pittsburgh pour quelques jours; mes échanges avec eux m"ont beaucoup apporté, là-bas comme ici ou encore à Toulouse lors de leurs visites. Jeremy Heis a pris le temps de plusieurs discussions

temps et sa perspective éloignée de ma formation m"a été précieuse. M"ont également été

précieuses mes discussions, sur un continent ou sur un autre, avec Valeria Giardino, Pene- lope Maddy, Yacin Hamami, Sébastien Gandon, Brice Halimi, Dirk Schlimm, John Mumma, Sun-Joo Shin, Alberto Naibo et Maël Pégny. Je voudrais également remercier Andy Arana et Sébastien Maronne pour leurs commentaires lors de ma soutenance de mi-parcours. Stéphane Dugowson a eu l"amabilité de me faire parvenir un exemplaire de sa thèse de doctorat. Isidora Stojanovic m"a aidé à m"orienter dans les labyrinthes quelque peu oubliés de la sémantique des situations, et Gabriel Scherer m"a fourni quelques indications utiles sur l"informatique théorique d"aujourd"hui. Un simple commentaire à l"issue d"une intervention, et même un unique conseil de lec-

ture, peut s"avérer décisif. C"est ainsi que lors de ma toute première présentation, quelques

mois à peine après le début de ma thèse, Jean Gayon m"a recommandé une lecture mar- 5

6REMERCIEMENTS

quante qui a joué un rôle crucial dans la genèse de ma seconde partie. Pour leurs com- mentaires ou leurs conseils, je voudrais également remercier Gerhard Heinzmann, Jessica Carter, Silvia de To?oli, Danielle Macbeth, Jean-Michel Salanskis, Hourya Benis-Sinaceur, Olivier Rey, Roi Wagner, Gabriel Sandu et Atsushi Shimojima.

Ce travail doit beaucoup aux écoles d"été, journées d"étude et colloques auxquels j"ai

eu la chance de participer. Jean-Michel Salanskis m"a permis d"assister à une école de phi-

losophie des sciences organisée à Nancy par Léna Soler, où j"ai beaucoup appris. Sébastien

événements à Toulouse et à Saint-Flour dont j"ai énormément pro?té. Valeria Giardino m"a

permis de me rendre à plusieurs conférences très intéressantes pour moi qu"elle a organi-

sées à Nancy. Les éditions successives duFrench PhilMath Workshopont aussi été forma- trices; je voudrais remercier les organisateurs de celle de Marseille où j"ai eu l"occasion d"intervenir, en particulier Paola Cantù. L"équipe des rencontres franco-mexicaines d"his- toire et de philosophie des sciences, dont Carlos Alvarez et Vincent Jullien, m"ont o?ert un cadre sympathique et fructueux pour présenter mon travail (David Rabouin y est aussi pour beaucoup). Je garde également un excellent souvenir de laNovembertagungde 2016 à Sønderborg, et remercie Line Andersen pour ses e?orts d"organisation. Dans deux do-

maines très di?érents, l"école d"été de la SoPhA de 2014 (organisée par Filipe Drapeau

Vieira Contim, Pascal Ludwig et Max Kistler) et celle de méthodes quantitatives en his- toire des mathématiques de 2018 (organisée par Catherine Goldstein, Alexandre Guilbaud et Irène Passeron) m"ont permis de compléter ma formation; au début de ma thèse, la pre-

mière rencontre, à Helsinki, du projet avorté de réseau doctoral européen en philosophie

a aussi été formatrice (qu"Alberto Naibo soit ici remercié pour y avoir conduit notre petite

délégation parisienne). Pour ces divers déplacements, le soutien ?nancier de l"école doctorale de philosophie

de Paris 1 m"a souvent été précieux, ainsi que celui de l"IHPST et, à l"occasion, des projets

de recherche de Marco Panza. Une aide substantielle du collège des écoles doctorales m"a aussi permis un séjour plus long à l"étranger; je voudrais ici remercier Pierre-Marie Morel d"avoir soutenu ma candidature. Plusieurs collègues et amis ont pris le temps de relire et de discuter avec moi des pas- sages plus ou moins longs de ma thèse, dont encore une fois Gianni Gastaldi et David Rabouin, ainsi que Henri Salha, Nicolas Michel et Julien Gusthiot (sans parler des relec- tures extrêmement minutieuses de Marco Panza). Toutes les coquilles et aberrations qui subsistent sont évidemment de mon fait, comme l"étaient les nombreuses erreurs qu"ils m"ont permis d"éliminer. 7 Les discussions avec les jeunes chercheurs et chercheuses de l"IHPST et de SPHERE m"ont aussi été très pro?tables. Je voudrais en particulier remercier João Cortese pour

avoir organisé un groupe de travail d"histoire des mathématiques à SPHERE où j"ai énor-

mément appris, Marina Imocrante qui a rassemblé plus récemment un groupe de travail très productif à l"IHPST, ainsi que Pascal Bertin, Nicolas Michel, Mourtaza Chopra, Julien Gusthiot, Eleonora Sammarchi, Matias Osta et, dans les dernières semaines de ma thèse, cela ne m"a pas empêché de béné?cier de son soutien amical tout au long de mon doctorat et de sa compagnie rassurante dans les séminaires parisiens comme aux colloques les plus exotiques. À Paris 1, la bonne humeur de Marie Michon, Delphine Olivier, Vincent Legeay, Louis Guerpillon, Alexis Anne-Braun, Antoine Naïk, Ludmilla Lorrain, Victor Lefèvre, So- phia Rousseau-Mermans, Nicola Bertoldi et bien d"autres m"a rendu la thèse plus heureuse. À Bordeaux, la compagnie de Benjamin Le Roux et de Marcin Krasnodębski m"a été d"un soutien inestimable, de même que celle d"un ami d"études qui se reconnaîtra; et, dans la triste ville d"Irvine, celle de Francesca Biagioli. Ce doctorat a aussi été, pour moi, une période d"enseignement. Pendant mes trois ans de monitorat à Paris 1, la bienveillance de Pierre Wagner m"a permis d"organiser mon ser-

vice de manière à réserver du temps pour la recherche. Je suis reconnaissant à Pascal Duris

d"ATER pour ma quatrième année. Les derniers mois de ce travail, en?n, n"auraient pas été

possibles sans le poste que m"a accordé le département SPH de l"université Paris Diderot : je tiens à remercier Jean-Jacques Szczeciniarz et Nadine de Courtenay, ainsi que mes col- lègues ATERs et moniteurs (Nicolas Michel, Youna Tonnerre, Jean Sanchez, Laura Barbier et Smadar Bustan), pour m"avoir permis de consacrer le début de l"automne à achever ce manuscrit.

Cette thèse n"est guère que le produit de l"éducation que j"ai reçue. Je ne peux ?nir sans

dire ma reconnaissance aux institutions qui m"ont formé. Y étudier a été un immense privi-

lège, dans tous les sens du terme. Les classes préparatoires du lycée Louis-le-Grand m"ont o?ert une formation scienti?que d"une qualité exceptionnelle, à laquelle cette thèse doit beaucoup. L"École Normale Supérieure m"a o?ert un environnement intellectuel unique et à Marwan Rashed, qui m"a encouragé tout au long de ma scolarité, et à tous ceux qui ont regardé avec indulgence mon permanent vagabondage disciplinaire, parmi lesquels Pierre Pansu et François Loeser au département de mathématiques, Mathias Girel, Jean-Pascal Anfray, Francis Wol? et Sophie Roux au département de philosophie, ainsi que François

8REMERCIEMENTS

Recanati et Daniel Andler. L"équipe de la licence de lettres classiques de Paris 4 m"a ac-

cueilli sans hésiter lorsque j"ai frappé à leur porte. L"UFR de philosophie de Paris 1 a bien

voulu m"admettre en master, et Jocelyn Benoist y a dirigé mon premier mémoire en consa- crant des heures de son temps à discuter mes idées pourtant très confuses. Je voudrais aussi remercier ceux qui ont dirigé mes mémoires de mathématiques : Olivier Benoist à

l"ENS, Ian Grojnowski à l"université de Cambridge et Benoit Fresse à l"université de Lille.

Un autre privilège crucial que m"a accordé l"ENS a été la possibilité de séjours à l"étran-

ger, à Cambridge d"abord puis à Boston College, dont le département de langues romanes m"a accueilli pour une année très productive pendant laquelle j"ai conçu le projet de cette thèse. Pour remonter plus loin encore dans le temps, je voudrais remercier l"association France-IOI, qui m"a enseigné à programmer avant que je connaisse quoi que ce soit aux mathématiques et à laquelle je n"ai jamais convenablement exprimé ma gratitude. Leur enseignement s"est avéré utile à cette thèse de la façon la plus inattendue. Le soutien que mes proches ont apporté à ce travail est bien peu de choses par rapport

à tout ce que je leur dois, mais il m"a été indispensable. Merci à celui qui, pendant que

j"écrivais des jours sans m"arrêter, est venu sur mon balcon discuter de pays lointains; à celle qui est venue, chargée d"un plat de fèves, me parler de pays proches; et à celui qui m"a accueilli pour de nombreux festins en me racontant les merveilles de pays imaginaires.

Merci à celle dont je vis entouré des belles lettres et cartes postables. Merci à celui qui, en

soutenant l"an dernier, m"a montré le chemin. Merci à celle qui, malgré ses pérégrinations

permanentes entre quatre ou cinq pays, a toujours trouvé du temps pour me réjouir de sa bonne humeur inépuisable. Merci à tous ceux avec qui j"ai voyagé pendant ces années. maison est un port chaleureux; à ma grand-mère, chez qui j"ai écrit bien des pages de cette thèse; et à ma soeur, qui comprend souvent mes inquiétudes. Merci, en?n, à mes parents.

Introduction

Pour résoudre un problème de mathématiques ou comprendre une démonstration, une ?gure bien choisie est parfois d"un grand secours. Ce fait souvent remarqué peut être vu

comme un cas particulier d"un phénomène plus général. Utiliser une ?gure plutôt que des

phrases, reformuler un problème sous la forme d"une équation, employer telles notations plutôt que telles autres : dans tous ces cas, en un sens, on ne fait quereprésenter sous une nouvelle formece qu"on sait déjà, et pourtant, cela peut permettre d"avancer. Plus large- ment, on peut lire de ce point de vue certaines des transformations les plus importantes de l"histoire des mathématiques, et y voir des évolutions non seulement conceptuelles, mais

de l"algèbre, du calcul di?érentiel ou même plus récemment de la théorie des catégories :

il est tentant d"y voir (entre autres!) l"élaboration de modes de représentation permettant de traiter e?cacement et uniformément toute une famille de problèmes. Ce travail part d"une perplexité vis-à-vis de ces phénomènes. Comment est-il possible

que l"on puisse progresser par le simple fait de représenter autrement ce que l"on sait déjà?

Comment comprendre les concepts de représentation et d"information, souvent invoqués de manière vague pour parler de ce problème? Ces concepts sont-ils même adaptés ou faut-il les abandonner? Voilà, en première approximation, les questions qui orientent cette thèse. Ces questions sont largement orthogonales aux problèmes centraux de la philosophie desmathématiquesduXX

par exemple des résultats élémentaires de géométrie et d"arithmétique. Les questions clas-

siques sont de savoir de quoi ils parlent (d"objets abstraits? de propriétés du monde phy- non pasce donton parle maiscommenton en parle. Dans un manuel, peut-être notre théo-

rème de géométrie est-il présenté à l"aide d"une ?gure et notre théorème d"arithmétique à

l"aide d"une formule algébrique. Qu"apportent la ?gure et la formule? Est-il plus facile de 9

10INTRODUCTION GÉNÉRALE

comprendre le théorème, de le démontrer ou de découvrir sa preuve avec elles que sans elles, et si oui pourquoi? C"est ce genre de questions qui m"intéressent ici; si elles sont in- déniablement importantes pour bien décrire les mathématiques comme activité humaine, elles n"en concernent pourtant pas directement l"ontologie ou les fondements. De ce point de vue, mon travail, comme beaucoup des travaux sur lesquels je m"appuierai, peut être rattaché à la " philosophie de la pratique mathématique » telle que la dé?nit Mancosu 2008a
les sciences, sans doute, utilisent aujourd"hui avec pro?t des graphes, des diagrammes, des illustrations diverses ou encore des formules. Je m"appuierai d"ailleurs régulièrement sur néanmoins l"objet principal de ma ré?exion et ma source essentielle d"exemples. Au-delà un diagramme bien choisi s"avère précieux peuvent être transposées dans un contexte pu- rement mathématique qui en préserve les traits essentiels; et la rigueur et la précision des mathématiques permettent d"étudier les contributions de di?érentes représentation dequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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