6e - Droites sécantes perpendiculaires et parallèles
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Remarque : Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ne se coupent pas. 2) Notation :.
DROITES ET PLANS DE LESPACE
Propriété : Si une droite d est orthogonale à un plan P alors elle est orthogonale à toutes les droites de P. Démonstrations (exigible BAC) : Ces deux
Droites et plans dans lespace
Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires il suffit de montrer qu'elles ne sont ni parallèles ni sécantes. http://pagesperso-orange.fr/calque.
VECTEURS ET DROITES
Propriété : Les droites d'équation ax + by + c = 0 et a'x + b' y + c' = 0 sont parallèles si et seulement si ab'? a'b = 0. Démonstration : Les droites d'
XI. Géométrie dans lespace. 1. Rappel des notions vues en
1.2 Droites parallèles. Définition : Deux droites de l'espace sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et non sécantes. Propriétés.
*Jaouiche-parall les
lat pour s'en servir dans la démonstration de la proposition 29 des Éléments propositions
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
Démontrer que deux droites sont parallèles L'ESSENTIEL DES PROPRIÉTÉS UTILES AUX DÉMONSTRATIONS ... rapport à un point alors elles sont parallèles.
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peuvent être "gauches" c'est-à-dire ni sécantes ni parallèles. Si deux droites sont parallèles à une même droite
ANGLES ET TRIANGLES SEMBLABLES
Vidéo https://youtu.be/v7XmtQhOP9I. Sur la figure les droites (DE) et (CF) sont- elles parallèles ? L'angle ABG ! est plat donc :.
MONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Conclusion : les droites et sont parallèles. A
1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr ANGLES ET TRIANGLES SEMBLABLES I. Angles alternes-internes Activité conseillée p216 Activité 1 Myriade 4e - Bordas Éd.2016 1) Définition On dit que les deux angles marqués en rouge sont alternes-internes. En effet : - ils se trouvent à l'intérieur (interne) de la bande formée par (d) et (d'), - ils sont de part et d'autre (alternes) de la sécante. Définition : Soit deux droites (d) et (d') coupées par une sécante. Dire que deux angles formés par ces trois droites sont ALTERNES-INTERNES signifie que : - ils n'ont pas le même sommet ; - ils sont de part et d'autre de la sécante ; - ils sont à l'intérieur de la bande délimitée par les deux droites (d) et (d'). Remarque : Deux droites et une sécante déterminent deux couples d'angles alternes-internes. Ainsi, sur la figure précédente, on peut trouver deux autres angles alternes-internes :
2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercices conseillés p220 n°2, 3, 4 p224 n°30, 31 Myriade 4e - Bordas Éd.2016 2) Propriétés Si deux droites sont parallèles alors les angles alternes-internes reposant sur ces droites sont égaux. Si deux angles alternes-internes sont égaux alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles.
3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Appliquer la propriété de parallélisme sur les angles alternes-internes Vidéo https://youtu.be/v7XmtQhOP9I Sur la figure, les droites (DE) et (CF) sont- elles parallèles ? L'angle
ABG est plat donc : ABC = 180 - 102 = 78°. Les angles ABC et BAEsont alternes-internes et égaux. Si deux angles alternes-internes sont égaux alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles. On en déduit que les droites (DE) et (CF) sont parallèles. Exercices conseillés En devoir p220 n°5, 6 p221 n°7, 8, 11, 12, 13 p224 n°32, 33 p225 n°34, 35 p226 n°43, 44 p221 n°9, 10 p229 n°61 Myriade 4e - Bordas Éd.2016 II. Triangles semblables 1) Définition Définition : On appelle triangles semblables des triangles qui ont des angles deux à deux égaux.
4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables, en effet :
ABC =DFE BAC =EDF ACB =DEFDans la pratique : Pour montrer que deux triangles sont semblables, il suffit de s'assurer que deux couples d'angles sont égaux deux à deux. En effet, d'après la règle des 180°, le dernier couple d'angles le sera également. 2) Propriété Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables. Les côtés du triangle ABC sont proportionnels aux côtés du triangle DEF. On fait correspondre deux à deux les côtés opposés à deux angles égaux. Dans deux triangles semblables, les côtés opposés à des angles égaux sont appelés " côtés homologues ». Côtés de DEF DF = 10,8 EF = 12,3 ED = 13,2 Côtés de ABC AB = 7,2 BC = 8,2 AC = 8,8 ↑Opposé à l'angle bleu ↑Opposé à l'angle vert ↑Opposé à l'angle rouge On constate ainsi que :
10,8 7,2 12,3 8,2 13,2 8,8 =1,5Propriété : Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.
5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Remarque : Le coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient d'agrandissement ou de réduction. Exercices conseillés p222 n°17, 15 p225 n°36 Myriade 4e - Bordas Éd.2016 Méthode : Utiliser des triangles semblables Vidéo https://youtu.be/F3SuRBTkaGM 1) Prouver que les triangles ABC et DEF sont des triangles semblables. 2) En déduire les longueurs CB et AB. 1) On sait que
CAB =EDF et que BCA =FED =90° . Donc nécessairement, les angles CBA et EFDsont égaux. On en déduit que les triangles ABC et DEF sont des triangles semblables. 2) Comme les triangles ABC et DEF sont semblables, les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre. On a donc :
CA ED CB EF AB DF , soit : 1,6 8 CB 6 AB 10On en déduit que : CB = 6 x 1,6 : 8 = 1,2 AB = 10 x 1,6 : 8 = 2. Exercices conseillés En devoir p222 n°16 p223 n°19, 20, 22 p225 n°37, 38, 39, 41 p223 n°23, 24 Myriade 4e - Bordas Éd.2016 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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