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COURS DE PHYSIQUE

MÉCANIQUE DU POINT

Alain Gibaud

Professeur à l'université du Maine (Le Mans) 2 e

édition

Michel Henry

Agrégé de physiqueMaître de conférences à l'IUFM des Pays de Loire (Le Mans) M CANIQUE DU POINT Page I Mardi, 26. juin 2007 9:03 09

AVANT-PROPOS

Le coursprésenté dans celivre estl efruitdeplusieursa nnéesd'enseignement dispensé aux étudiantsde premièr eannéeàl'universitéduMaine. Ils'agit d'uncours d'intr oduc- tion àl amécaniquedu pointetdes systèmesde pointsmatériels. Notr esouciau cours de larédaction de cetouvrageaété denous référer aux connaissancesacquises parl es étudiants dansles classesdus econdaire and'assurer unetransitionlapluscontinuepos- sible. La principaledifculté quenous avonsr encontréel orsd ececoursa étécertainement d'ordremathématique.La mécanique estune sciencequiex iged el ar igueuret les concepts acquislors del'appr entissagedans lesecondaires onti cir eprisdefaçonplus formelle etrigour euse.Nousprésentons donc,ena nnex e1, lesoutilsmathématiquesqui nous semblentnécessair esàla bonne compréhensionducours dephysique. Le premieretl es econdchapitressont consacrésàlacinématique dupointainsi qu'aux changements deréfér entiels.Nousinsistonsplusparticulièrement sur ladénition du référentiel;cettedénition conditionnebien souventl af açonde traiterun problèmeet reste,bien desf ois,mal comprise. Nous présentonsensuite les loisfondamentalesdela mécaniqueen décrivant lesf orces les plus classiquessusceptibles d'intervenirdans lespr oblèmesde mécanique.Nous introdui- sons alorsl esconceptsd'énergie etd epuissanceavant deprésenter lesoscillateursl ibres et forcés. La partiesuivante montre quepourtraiterun problème de mécanique dansun référentiel non galiléenil estn écessaire d'introduiredes pseudosforcesappeléesforces d'inertie. L'étudedu poidsd'uncorpss urT err em etenévidencele faitqueleréférentielter restre n'estpasgaliléen. L'étude duphénomène desmaréesconduit àl am êmeconclusionpour le référentielgéocentrique. Les deuxderniers chapitressontconsacrés auproblème àdeux corps.L 'accentestm is sur lanotion deréfér entielbarycentrique.L' étudedelat rajectoire d'unsystèmeàdeux corps permetd eretrouver lesloisdeK eplera uxquellesobéissentlesplanètes dusystème solaire.Unepr ésentatio ndelamécaniquecéleste setrou ve àlandulivreenan nexe2. Cet ouvrages'adr essebiensûra uxétudiants du premiercycleuniversitair emais aussià ceux desclasses préparatoires, duCAPES etdel'agrégation.N ousespéronsqu'il leur sera une aideprécieusedans leureffort decompréhension de cettebranche de la physique. Illustration de couverture : Virtua73 © fotolia.com © Dunod, Paris, 1999, 2007, 2019 pour la nouvelle présentation

ISBN 978-2-10-079853-7

AVANT-PROPOS

Le coursprésenté dans celivre estl efruitdeplusieursa nnéesd'enseignement dispensé aux étudiantsde premièr eannéeàl'universitéduMaine. Ils'agit d'uncours d'intr oduc- tion àl amécaniquedu pointetdes systèmesde pointsmatériels. Notr esouciau cours de larédaction de cetouvrageaété denous référer aux connaissancesacquises parl es étudiants dansles classesdus econdaire and'assurer unetransitionlapluscontinuepos- sible. La principaledifculté quenous avonsr encontréel orsd ececoursa étécertainement d'ordremathématique.La mécanique estune sciencequiex iged el ar igueuret les concepts acquislors del'appr entissagedans lesecondaires onti cir eprisdefaçonplus formelle etrigour euse.Nousprésentons donc,enanne xe 1,les outilsmathématiques qui nous semblentnécessair esàla bonne compréhensionducours dephysique. Le premieretl es econdchapitressont consacrésàlacinématique dupointainsi qu'aux changements deréfér entiels.Nousinsistonsplusparticulièrement sur ladénition du référentiel;cettedénition conditionnebien souventl af açonde traiterun problèmeet reste,bien desf ois,mal comprise. Nous présentonsensuite les loisfondamentalesdela mécaniqueen décrivant lesf orces les plus classiquessusceptibles d'intervenirdans lespr oblèmesde mécanique.Nous introdui- sons alorsl esconceptsd'énergie etd epuissanceavant deprésenter lesoscillateursl ibres et forcés. La partiesuivante montre quepourtraiterun problème de mécanique dansun référentiel non galiléenil estn écessaire d'introduiredes pseudosforcesappeléesforces d'inertie. L'étudedu poidsd'uncorpss urT err em etenévidencele faitqueleréférentielter restre n'estpasgaliléen. L'étude duphénomène desmaréesconduit àl am êmeconclusionpour le référentielgéocentrique. Les deuxderniers chapitressontconsacrés auproblème àdeux corps.L 'accentestm is sur lanotion deréfér entielbarycentrique.L' étudedelat rajectoire d'unsystèmeàdeux corps permetd eretrouver lesloisdeK eplera uxquellesobéissentlesplanètes dusystème solaire.Unepr ésentatio ndelamécaniquecélestese tro uv eàlandulivreen annexe2. Cet ouvrages'adr essebiensûra uxétudiants du premiercycleuniversitair emais aussià ceux desclasses préparatoires, duCAPES etdel'agrégation.N ousespéronsqu'il leur sera une aideprécieusedans leureffort decompréhension de cettebranche de la physique.

TABLE DESMATIÈRES

Avant-proposIII

CHAPITRE 1.CINÉMAT IQUEDUPOINT1

1. Dela nécessitédu référentiel 1

2. Vitessed'unpointmatériel 5

3. Accélérationd'un pointmatériel 9

4. Récapitulatif11

5.E xemplesdemouveme nts12

À retenir18

Exerciced'application avecsolution détaillée 19

Exercices20

Solutions23

CHAPITRE 2.CHANGEMENTSDE RÉFÉRENTIELS29

1. Mouvementsd'un référentiel parrapportàun autr e29

2. Étuded elavitesse 34

3. Étuded el'accélération41

À retenir43

Exerciced'application avecsolution détaillée 44

Exercices47

Solutions51

CHAPITRE 3.LOISDE NEWTONET RÉFÉRENTIELS GALILÉENS57

1. Principed'inertie:pr emière loid eNewton57

2. Principedeladynamique :deuxième loid eN ewton62

3. Actionsr éciproques:troisième loid eNewton65

4. Lesf orces66

5. Applications72

À retenir77

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée78

Exercices83

Solutions86

CHAPITRE 4.TRA VAIL,PUISSANCE,ÉNERGIE93

1. Travaild'uneforc e93

2. Exemplesdecalcul dutravail 95

3.P uissanced'uneforce98

4. Énergie98

5.É tatsliésd' unsystèm emécaniq uementisolé104

À retenir107

TABLE DESMATIÈRES

Avant-proposIII

CHAPITRE 1.CINÉMAT IQUEDUPOINT1

1. Dela nécessitédu référentiel 1

2. Vitessed'unpointmatériel 5

3. Accélérationd'un pointmatériel 9

4. Récapitulatif11

5.E xemplesdemouveme nts12

À retenir18

Exerciced'application avecsolution détaillée 19

Exercices20

Solutions23

CHAPITRE 2.CHANGEMENTSDE RÉFÉRENTIELS29

1. Mouvementsd'un référentiel parrapportàun autr e29

2. Étuded elavitesse 34

3. Étuded el'accélération41

À retenir43

Exerciced'application avecsolution détaillée 44

Exercices47

Solutions51

CHAPITRE 3.LOISDE NEWTONET RÉFÉRENTIELS GALILÉENS57

1. Principed'inertie:pr emière loid eNewton57

2. Principedeladynamique :deuxième loid eN ewton62

3. Actionsr éciproques:troisième loid eNewton65

4. Lesf orces66

5. Applications72

À retenir77

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée78

Exercices83

Solutions86

CHAPITRE 4.TRA VAIL,PUISSANCE,ÉNERGIE93

1. Travaild'uneforc e93

2. Exemplesdecalcul dutravail 95

3.P uissanced'uneforce98

4. Énergie98

5.É tatsliésd' unsystèm emécaniq uementisolé104

À retenir107

VIMécanique dup oint

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée109

Exercices121

Solutions121

1. L'oscillateurharmonique125

2. Équationdiffér entielle127

3. Exemplesd'oscillateursh armoniques128

4. Étudeéner gétiquedesoscillateurs130

5. Oscillateurmécanique amortipar frottements visqueux 132

6. Analogieélectrique 137

7.O scillateuramortiparfrot tementsolide 137

8. Portraitdephase d'un oscillateur141

À retenir143

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée144

Exercices152

Solutions153

1. Oscillationsf orcées155

2. Solutionde l'équationdiffér entielle158

3. Transfertdepuissance 163

4. Facteurdeq ualité165

À retenir166

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée167

1. Attractionuniverselle 175

2.C hampdegrav itat ionterrestre177

3. Énergiepotentiellede gravitation179

4. Applications181

À retenir185

1. Introduction187

2. Loid elad ynamiquedansun référentielnon galiléen188

3. Exemplesd'application189

4. Dynamiqueter restre197

À retenir209

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée209

Exercices219

Solutions221

1. Élémentscinétiques 227

2.R éférentielducentredema sse229

3. Relationfondamentalede ladynamique 232

4. Propriétésdumouvement236

À retenir241

Tabledesmatières VII

242
CHAPITRE 10.TRAJECTOIRES D"UNSYSTÈME ÀDEUX CORPS253

1. Rappels253

2. Équationpolair edel atrajectoire :Formulede Binet.254

3. Résolutionde laformule de Binet256

4. Étuded estrajectoires257

5.É tudeénergéti que260

6. Trajectoireselliptiques:loisde Kepler 261

265
265
274
277

ANNEXE 1RAPPEL DESOUTILSMA THÉMAT IQUES283

1. Scalairesetv ecteurs283

2. Composantesd'un vecteur 286

3. Produitscalaire 288

4. Produitvectoriel290

5. Dérivationvectorielle 293

6. Différentielled'unefonction 294

7. Vecteurgradientd'une fonction302

8. Intégraleset primitives304

9. Intégralesvectorielles 306

ANNEXE 2INTRODUCTION ÀL AMÉCANIQUECÉLESTE 309

1. Historique309

2.D énitions311

3. LaV oieLactée312

4.L eSys tèmeSolaire313

5. Ladénition du temps316

6. Tempsetr epéraged elal ongitudedesétoiles318

7.R epéragedel'alti tude duSoleilaucoursdel'a nnée 321

322

BIBLIOGRAPHIE325

INDEX326

VIMécanique dup oint

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée109

Exercices121

Solutions121

1. L'oscillateurharmonique125

2. Équationdiffér entielle127

3. Exemplesd'oscillateursh armoniques128

4. Étudeéner gétiquedesoscillateurs130

5. Oscillateurmécanique amortipar frottements visqueux 132

6. Analogieélectrique 137

7.O scillateuramortiparfrot tementsolide 137

8. Portraitdephase d'un oscillateur141

À retenir143

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée144

Exercices152

Solutions153

1. Oscillationsf orcées155

2. Solutionde l'équationdiffér entielle158

3. Transfertdepuissance 163

4. Facteurdeq ualité165

À retenir166

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée167

1. Attractionuniverselle 175

2.C hampdegrav itat ionterrestre177

3. Énergiepotentiellede gravitation179

4. Applications181

À retenir185

1. Introduction187

2. Loid elad ynamiquedansun référentielnon galiléen188

3. Exemplesd'application189

4. Dynamiqueter restre197

À retenir209

Exercicesd 'applicationavecsolutiond étaillée209

Exercices219

Solutions221

1. Élémentscinétiques 227

2.R éférentielducentredema sse229

3. Relationfondamentalede ladynamique 232

4. Propriétésdumouvement236

À retenir241

Tabledesmatières VII

242
CHAPITRE 10.TRAJECTOIRES D"UNSYSTÈME ÀDEUX CORPS253

1. Rappels253

2. Équationpolair edel atrajectoire :Formulede Binet.254

3. Résolutionde laformule de Binet256

4. Étuded estrajectoires257

5.É tudeénergéti que260

6. Trajectoireselliptiques:loisde Kepler 261

265
265
274
277

ANNEXE 1RAPPEL DESOUTILSMA THÉMAT IQUES283

1. Scalairesetv ecteurs283

2. Composantesd'un vecteur 286

3. Produitscalaire 288

4. Produitvectoriel290

5. Dérivationvectorielle 293

6. Différentielled'unefonction 294

7. Vecteurgradientd'une fonction302

8. Intégraleset primitives304

9. Intégralesvectorielles 306

ANNEXE 2INTRODUCTION ÀL AMÉCANIQUECÉLESTE 309

1. Historique309

2.D énitions311

3. LaV oieLactée312

4.L eSys tèmeSolaire313

5. Ladénition du temps316

6. Tempsetr epéraged elal ongitudedesétoiles318

7.R epéragedel'alti tude duSoleilaucoursdel'a nnée 321

322

BIBLIOGRAPHIE325

INDEX326

CHAPITRE1

CINÉMATIQUEDU POINT

Pré-requisConnaîtreles systèmes decoordonnées cartésiennes,polaireset cylin- driques. Savoir dériverl esvecteursdela basepolair eou cylindrique. Savoir intégrerquelquesfonctions élémentaires (polynômes,fonctions trigonométriques, exponentielleetc.).

Ces notionssontr eprisesen annexe, .

Objectif

IÀ partird uvecteuraccélération d'unpoint,savoirr etrouver levecteur vitesse, leséquationsh oraires dumouvementainsi quel'équationd ela trajectoired ecepoint. IConnaîtrel'e xpressiondesvecteursposition,vitesse etaccélération dans les différentssystèmesd ecoordonnées. IConnaîtrela dénitiond equelques mouvementsparticulierstraités en n dechapitr e. IL'objetde lacinématiquedu pointestd'étudierl em ouvementd 'unpoint au coursd utempsindépendamment descausesquipr oduisentce mou- vement. Lesobjectifs sont ladétermination desgrandeurscinématiques telles queles vecteurs accélération,vitesse, positionetl'équation horaire de latrajectoir edece pointparrapport àun référ entielchoisi parl'ob- servateur.

1. DELA NÉCESSITÉ DURÉFÉRENTIEL

L'étudedu mouvementd'un pointimpliquenécessairement laprésences imultanéed u point etd 'unobservateurquia nalysele mouvementd ecepoint.L 'observateurest le pilier de l'étuded umouvementcar selonsaposition parrapport àl 'objetenmouvements es conclusions quantà la natured umouvementseront trèsvariables. Ainsi,dans unTGVqui se déplaceà vitesseconstante, unpassager quilâche verticalement uneb illeconclut que la billea unm ouvementr ectiligne.Lapersonnequi estsurle quaiet quiobserve la même scène conclutque le mouvementn'est pasrectiligneet pourtantils'agitbien dela même bille. Unm ouvementestdonctoujours lié àun observateur. Ondit qu'ile strelatif.

CHAPITRE1

CINÉMATIQUEDU POINT

Pré-requisConnaîtreles systèmes decoordonnées cartésiennes,polaireset cylin-quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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