[PDF] FICHE METHODE sur les ENSEMBLES de NOMBRES I) A quoi sert

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FICHE METHODE sur les ENSEMBLES de NOMBRES a) Exemples : . Combien y a t-il de Mammouths ? : ½½½½½ ; V ; 5 Mammouths ! . . Quelle température fait- il ? Il fait -12°c ! . Il a dépensé 225 euros sur ses 300 euros d "économies ! : 225300 = 3 4 . Combien mesure t-il ? 1,25 mètres ! . Combien mesure la diagonale d "un carré de coté 1 m ? : 2 mètres ! b) Remarques :

Les nombres existent depuis des milliers d"années ! Ils ont d"abord servi à compter, à dénombrer,

c"est à dire préciser combien il y a d"objets dans un ensemble ( il y a 5 mammouths !, etc.),on utilise

pour cela les nombres entiers naturels tels 1, 2, 3,... ). Puis, ils ont servi à exprimer la mesure

d"une grandeur quelconque : une longueur, une aire, un volume, un poids, une durée ,...( il mesure

1,65 mètres ! , il faut 10,2 secondes, etc.)on utilise les nombres décimaux tels que 1,5 ; 2,25 ; 0,01.

Ils servent aussi à préciser la position d"un point sur une carte par des coordonnées ( les coordon-

-données du point sont ( -4 ; 2,3), etc.) ), les nombres négatifs sont alors nécessaires. Ils servent

encore à exprimer des proportions telles que 2 3 , 3

4 ...,dans ce cas, on utilise des fractions appelées

nombres rationnels. ( j"en ai dépensé les 2 3 ,etc.). D"autres nombres sont nécessaires pour préciser des valeurs exactes de longueurs ( la mesure est d"exactement

2 mètres, etc ), c"est pourquoi les

nombres irrationnels existent. ( les physiciens et mathématiciens utilisent aussi les nombres " complexes », les " quaternions », les " octavions », etc. pour leurs travaux ) .

Les nombres sont omniprésents, on les côtoie au jour le jour, ils servent à leur façon à décrire une

partie du monde réel dans lequel nous vivons, mais ce monde est riche en diversité, et selon le

phénomène auquel on s"intéresse on utilise une sorte de nombre ou une autre, la " sorte de

nombre » utilisée ayant des propriétés en rapport avec la réalité qu"elle cherche à décrire ! ainsi il

est nécessaire de connaître les nombres qui existent ainsi que les propriétés associées !

Il existe différentes manières de regrouper les nombres selon des ensembles, voici celles à connaître.

Définition 1: ( ensemble des NOMBRES REELS )

Etant donnée une droite, sur laquelle on a repéré un point O ( appelé origine ) et un point I

( appelé unité ). On associe au point O le nombre 0 et au point I le nombre 1. A tout point M de la droite, correspond un nombre réel et un seul noté xM , c"est l"abscisse du point M. L"ensemble des nombres qui correspondent aux points de la droite s"appelle

" l "ensemble des nombres réels » noté IR. Réciproquement, à tout nombre réel correspond

un point de la droite et un seul. D"une manière plus concise, on dit que l"ensemble des nombres réels est l"ensemble des abscisses des points d"une droite dans un repère choisit sur cette droite.

( il n"y a ni plus ni moins de nombres réels que de points sur une droite ) Intuitivement, de la même façon qu"il n"y a pas de trous dans une droite ( elle est " continue » ),

il n"y a pas de trou dans l"ensemble des nombres réels. IR sert aussi à décrire le temps qui passe.

I) A quoi sert un nombre ?

II) Qu"est ce qu"un nombre :

Exemples :

· -2 ÎÎÎÎ IR ( -2 appartient à IR ) · -1 ÎÎÎÎ IR ( -1 appartient à IR )

" ÎÎÎÎ » se traduit en " appartient » Parmi les " réels », il existe des nombres que l"on peut regrouper en un ensemble et qui servent essentiellement à dénombrer ( à compter ), ce sont les premiers nombres que l"on rencontre depuis que l"on est né, les entiers naturels !

Définition 2 : ( ENTIERS NATURELS )

L"ensemble constitué des nombres 0, 1, 2, 3, ainsi que de leurs successeurs est appelé l"ensembles des nombres entiers naturels, ensemble noté IN.

On note : IN = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...} " IN est l"ensemble des nombres 0, 1, 2, ... »

On note : IN* = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...}

" IN étoile » est l"ensemble des entiers naturels non nuls.

Exemples et contres exemples :

Définition 3 :

( ENTIERS RELATIFS ) L"ensemble constitué des nombres entiers naturels ainsi que de leurs opposés est appelé l"ensembles des nombres entiers relatifs , ensemble noté ZZ. On note : ZZ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1 , 2 , 3 , ...} On note : ZZ* , " ZZ étoile » , l"ensemble des entiers relatifs non nuls.

Exemples et contres exemples :

Définition 4 :

( NOMBRES DECIMAUX ) L"ensemble des nombres décimaux est constitué des nombres qui peuvent s"écrire sous la forme p

10n d"un quotient d"un entier relatif " p » par une puissance de dix.

L"ensembles des nombres décimaux est noté D.

On note : D = { p

10n avec p ÎÎÎÎZZ et n ÎÎÎÎIN }

" l"ensemble des nombres de la forme p sur 10 puissance n avec p appartenant à ZZ et n à IN »

Exemples et contres-exemples :

? -1,2 Î D car -1,2 = -12 10 ? 3 Î D car 3 = 3 1 = 3

100 (100 = 1 )

? 1 3 3 ( = 2 6 = 3 9 = ... ) avec un dénominateur égal à une puissance de dix. -2 -1 0 1 2,1 p A B O I C D A chaque point de la droite (OI) correspond un unique nombre réel et réciproquement.

Définition 5 : ( NOMBRES RATIONNELS )

L"ensemble des nombres rationnels est constitué des nombres qui peuvent s"écrire sous la forme p q d"un quotient d"un entier relatif " p » par un entier naturel " q »non nul. L"ensembles des nombres rationnels est noté IQ .

On note : IQ = { p

q avec p ÎÎÎÎZZ et q ÎÎÎÎIN* } " l"ensemble des nombres de la forme p sur q avec p appartenant à ZZ et q à IN étoile »

Exemples et contres-exemples :

? -1,2 Î IQ car -1,2 = -12 10 ? 3 Î Q car 3 = 3 1 ? 1 3

Définition 6 :

( NOMBRES IRRATIONNELS ) L"ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels est appelé l"ensemble des nombres

irrationnels . L"ensembles des nombres irrationnels est noté IR-IQ . " IR privé de IQ »

Tout nombre réel est ou bien rationnel ou bien irrationnel.

Exemples et contres-exemples :

? -1,2 est rationnel car -1,2 = -12 10 ? 2 est irrationnel ( admis ) n où n n"est pas un carré est irrationnel ( admis) ? p est irrationnel ( admis ) Les ensembles de nombres précédents vérifient la propriété d"inclusion suivante : Propriété 1 : COMPARAISON DES ENSEMBLES DE NOMBRES :

IN est inclus dans ZZ , on note : IN Ì ZZ

ZZ est inclus dans D : ZZ Ì D

D est inclus dans IQ : D Ì IQ

IQ est inclus dans IR : IQ Ì IR

IN ÌÌÌÌ ZZÌÌÌÌ D ÌÌÌÌ IQ ÌÌÌÌ IR

Preuve :

.Un naturel est relatif par définition de ZZ. .Un relatif x est décimal car on peut toujours l"écrire sous la forme p 10 n où p Î ZZ et n Î IN en effet x = x 1 = x

100 car 100 = 1 ( -15 = -15

100 )

III) Propriétés des nombres

IR IQ D

ZZ IN .Un décimal p

10n est rationnel car il est de la forme p

q où p Î ZZ et q Î IN ( on pose q = 10n ) .Un rationnel est réel car p q est l"abscisse d"un point d"une droite. C.Q.F.D. Une écriture très utilisée pour les nombres, est l"écriture décimale, cette écriture a de nombreux avantages mais aussi des inconvénients... Propriété 2 : ECRITURE DECIMALE DES NOMBRES : Tout nombre réel a une écriture sous la forme décimale c"est à dire sous la forme :

entier , partie décimale où " entier » est un nombre entier relatif et " partie décimale »

est une suite de nombres entiers naturels .

Nombre Caractérisation Exemples

Naturel ou relatif _Partie décimale nulle 3 = 3,0... ; -3 = -3,0...

Décimal

_Partie décimale nulle ou _Partie décimale finie * 3 -3,159

Rationnel

_Partie décimale nulle ou _Partie décimale finie * ou _Partie décimale " périodique » 3 -3,159

12,936

36363636...

( 36 est la période ) Irrationnel _Partie décimale non périodique p = 3,141592654 ... * : La partie décimale est " finie » s"il n"y a qu" un nombre fini d"entiers non nuls.

Exemples :

2 = 1,414213562... pas de période dans la partie décimale car 2 est irrationnel.

? 7 13 = 0,538461538461... ; 7

13 est rationnel et la période de la partie décimale est 538461.

Souvent, le nombre que l"on obtient comme résultat d"un calcul n"a pas d"écriture décimale " simple », par exemple, si le nombre est irrationnel, dans ce cas, on en donne une valeur approchée par excès ou par défaut avec une certaine précision, on a ainsi un

nombre qui est à une certaine distance du résultat cherché, nous allons définir ces notions.

Définition 7 :

( VALEUR ABSOLUE d"un nombre )

Soit x un nombre réel.

-x si x est négatif

½½½½x½½½½ est donc un nombre positif. ( c"est la distance entre 0 et x )

Exemples :

? 3 est positif donc ½3½= 3.

0 3

-3 0 ? -3 est négatif donc ½-3½= -(-3) = 3. ? p - 4 est négatif donc ½p - 4½= -( p - 4) = -p + 4 = 4 - p.

Définition 8 :

( DISTANCE entre deux nombres )

Soient x et y deux nombres réels.

La distance entre les nombres x et y est le nombre noté d(x ; y), " d de x y » et égal à la

y - x si y ³³³³ x

Exemples :

? d( 5 ; 2 ) = ½2 - 5½= ½-3½ = 3 ? d( -5 ; -2 ) = ½-2 - (-5)½= ½-2 + 5½ = ½3½ = 3 ? d( -5 ; 2 ) = ½2 - (-5)½= ½2 + 5½ = ½7½ = 7

Définition 9 :

( VALEUR APPROCHEE d"un nombre ) Soit a un nombre réel et n un nombre entier relatif .

x est une valeur approchée de " a » à 10 -n près si x est un nombre réel tel que la distance

entre " a » et x est inférieure ou égale à 10 -n. -n par excès x < a on dit que x est une valeur approchée de " a » à 10 -n par défaut.

Exemples :

? 1,414 est une valeur approchée de 2 à 10-3 près car ½2 - 1,414½= 0,000213562... £ 10-3.

de plus,

2 > 1,414 donc 1,414 est une valeur approchée de 2 à 10-3 près par défaut

? 0,5385 est une valeur approchée de 7

13 à 10-4 près car ½0,5385 - 7

13 ½ = 0,0000384... £ 10-4.

de plus, 7 13 < 0,5385 donc c"est une valeur approchée à 10-4 près par excès. La calculatrice donne souvent le résultat d"un calcul écrit en écriture scientifique.

Définition 10 : ( ECRITURE SCIENTIFIQUE )

L"écriture scientifique d"un nombre décimal est de la forme a ´´´´ 10 p où a est un nombre

décimal avec un seul chiffre égal à 1,2,3,4,5,6,7,8, ou 9 avant la virgule et p un entier relatif.

Exemples : ? L"écriture scientifique de 923456 est 9,23456´105. ? L"écriture scientifique de 0,0000923456 est 9,23456´10-5.

Définition 11 :

( ORDRE DE GRANDEUR )

L"ordre de grandeur d"un nombre décimal est de la forme a ´´´´ 10 p où a est un nombre

entier naturel égal à 1,2,3,4,5,6,7,8, ou 9 et p un entier relatif.

2 5

-5 -2 -5 2

On obtient l"ordre de grandeur en arrondissant le nombre décimal de l"écriture scientifique à

l"entier le plus proche. Exemples : ? L"ordre de grandeur de 9123456 est 9´105 ( on arrondi 9,12 à 9 ) ? L"ordre de grandeur de 0,00009123456 est 9´10 -5 Il est parfois impossible de connaître la valeur exacte d"un nombre alors que l"on sait qu"il est compris entre 3 et 4 par exemple, on dira que ce nombre appartient à l"intervalle [3 ; 4].

Définition 12 :

( INTERVALLE FERME DE IR ) Soient a et b deux nombres réels avec a inférieur ou égal à b.

L"ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à " a » et inférieurs ou égaux à " b »

est appelé " intervalle fermé ab » et est noté [a ; b]. a et b sont appelés les bornes de l"intervalle.

x ÎÎÎÎ [a ; b] équivaut à a ££££ x ££££ b a b

Exemples : ? -1 £ x £ 10 équivaut à x Î [-1 ; 10 ] -1 10

? 10 £ x £ 15 équivaut à x Î [10 ; 15 ] ? x Î [1,2 ; 1,35] équivaut à 1,2 £ x £ 1,35. Il existe d"autres intervalles que les intervalles fermés, ce sont les intervalles ouverts ou semi- ouverts.

Définition 13 : AUTRES INTERVALLES

Intervalle ouvert Définition Représentation graphique ] a ; b [ x Î ] a ; b [ Û a < x < b a b ] a ; +¥ [ x Î ] a ; +¥ [ Û a < x a ] -¥ ; b [ x Î ] -¥ ; b [Û x < b b x Î ] -¥ ; +¥ [Û x Î IR Intervalle semi-ouvert Définition Représentation graphique [ a ;b [ x Î [ a ;b [Û a £ x < b a b ] a ; b ] x Î ] a ; b ] Û a < x £ b a b [a ; + ¥ [ x Î [a ; + ¥ [Û a £ x a ] -¥ ; b ] x Î ] -¥ ; b ] Û x £ b b Exemples : ???? x £ 10 équivaut à x Î ] -¥ ; 10 ]

???? 10 < x équivaut à x Î ]10 ; + ¥ [ ???? x Î ] 1,2 ; 1,35 ] équivaut à 1,2 < x £

1,35.

On est parfois amené à comparer 2 nombres sans connaître leurs valeurs ( c"est à déterminer le

plus grand ) , on utilise alors des propriétés parmi les suivantes...

Propriété 3 : EGALITE ET 4 OPERATIONS DE BASE ( + ; - ; ´´´´ ; / ) Quels que soient les nombres réels a et b, et quel que soit le réel c on a :

1) a = b ÛÛÛÛ a + c = b + c 2) a = b ÛÛÛÛ a - c = b - c

( ajouter ou soustraire un même nombre aux 2 membres d"une égalité donne une nouvelle égalité )

3) Pour c ¹¹¹¹ 0 : a = b ÛÛÛÛ a ´´´´ c = b ´´´´ c Pour c ¹¹¹¹ 0 : a = b ÛÛÛÛ a

c = b c

( multiplier ou diviser par un même nombre non nul les 2 membres d"une égalité donne une nouvelle égalité )

Preuve : ( admis )

Exemple :

? 2( x 3 + 1) - 1 = 9 Û 2( x 3 + 1) - 1 + 1 = 9 + 1 = 10 Û 2( x 3 + 1) = 10

Û 2

2 ( x 3 + 1) = 10

2 = 5 Û x

3 + 1 = 5 Û x

3 + 1 - 1 = 5 - 1 = 4 Û x

3 = 4 Û 3´´´´ x

3 = 3´´´´ 4 Û x = 12.

Propriété 4 : INEGALITE ET 4 OPERATIONS DE BASE ( + ; - ; ´´´´ ; / ) Quels que soient les nombres réels a et b, et quel que soit le réel c on a :

1 ) a < b ÛÛÛÛ a + c < b + c 2) a < b ÛÛÛÛ a - c < b - c

( ajouter ou soustraire un même nombre aux 2 membres d"une inégalité donne une inégalité de même sens )

POur c < 0 : a < b ÛÛÛÛ a ´´´´ c > b ´´´´ c 4) .

Pour c > 0 : a < b ÛÛÛÛ a

c < b c

Pour c < 0 : a < b ÛÛÛÛ a

c > b c

( multiplier ou diviser par un même nombre les 2 membres d"une inégalité donne une nouvelle inégalité

de même sens si le nombre est positif strict, de sens contraire si le nombre est négatif strict )

Preuve : ( admis )

Exemple : 10 - 2x < 5 Û 10 - 2x - 10 < 5 - 10 Û -2x < -5 Û -2-2 x > -5 -2 Û x > 2,5.

Propriété 5 :

COMPARER 2 QUOTIENTS

Soient a,b et c trois réels positifs stricts.

1) Pour b ¹¹¹¹ 0 et d ¹¹¹¹ 0 : a

b = c d ÛÛÛÛ a´´´´d = b´´´´c ( égalité des produits en croix )

2) 2 quotients de même dénominateur : a

c et b c sont rangés dans le même ordre que a et b.

3) 2 quotients de même numérateur : c

a et c b sont rangés dans ordre contraire de a et b.

Preuve : 1) . ( admis )

2) . supposons

a c < b c donc a c

´ c < b

c ´ c car c > 0 donc a < b. . Réciproquement : si a < b alors a ´ 1 c < b ´ 1 c car c > 0 donc a c < b c.

3) . supposons c

a < c b donc c a ´ ab c < c b ´ ab c car ab c > 0 donc b < a. . Réciproquement si a < b alors a ´ c ab < b ´ c ab car c ab > 0 donc c b < c a .

Exemples : ? 3

2 > 22 car 3 > 2 ? p

3 < p

2 car 3 > 2.

Propriété 6 : COMPARER UN QUOTIENT POSITIF ET 1 Soient a et b deux réels positifs stricts.

1) a b < 1 équivaut à a < b 2) a b > 1 équivaut à a > b

( numérateur plus petit que le dénominateur) ( numérateur plus grand que le dénominateur)

Preuve : 1) . supposons a

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