Chapitre 1. Ensembles et applications.
Feb 18 2013 Ces objets sont appelés les éléments de l'ensemble. Exemples. 1) N = l'ensemble de tous les nombres entiers positifs. 2) Z = l ...
ENSEMBLES DE NOMBRES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ENSEMBLES DE NOMBRES L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. ?= 0;1;2;3;4.
Cours : Ensembles et applications
les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d'un tout jeune mathématicien : « J'ai bien lu votre premier.
Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles
propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble. Si on s'efforce souvent de les écrire en utilisant des symboles mathématiques.
Les-ensembles-de-nombres-2nde.pdf
Fiche réalisée par Nicolas DURAND responsable pédagogique mathématiques. Remarque : Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ? (nombres entiers
Introduction à la notion densembles
Un ensemble est une collection d'objets deux à deux distincts appelés Ensembles classiques de nombres : ... est l'ensemble des nombres naturels ;.
Cours Logique Ensembles Applications 15-18
Mathématiques ECS1. Cours Chap. I Logique Ensemble Applications : 2014-2018. Prof. : Yann Vargoz. 1. CHAPITRE I. Logique Ensembles
ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD
NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE. 1.4 Quantificateurs mathématiques a)- Forme propositionnelle. Définition 1.4.1. Etant donné un ensemble E. On appelle.
Chapitre 3 - Les grands ensembles de nombres
(Cette propriété n'est pas vérifiée par d'autres ensembles de nombres par exemple l'ensemble des nombres ra- tionnels. Cet ensemble possède un sous-ensemble
REGLES DE CALCUL ENSEMBLES DE NOMBRE
https://math.univ-angers.fr/~labatte/institut/ENSEMBLES%20DE%20NOMBRES.pdf
Introduction à la notion d"ensembles
Université de Toulouse
Année 2020/2021
1 / 16
Introduction à la notion d"ensembles
Introduction à la notion d"ensembles2 / 16
Premières notions
Notion d"ensembles
Unensembleest une collection d"objets deux à deux distincts appeléséléments. On peut définir un ensemble de deux manières :enextension: on donne la liste des éléments;encompréhension: on donne une propriété commune vérifiée par les
éléments de l"ensemble.
Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 16Exemples
Ensembles d"élèves :
I fPierre; Paul;Marie;Julie;KarimgI félèves de la classe qui ont les yeux bleusgI félèves qui viennent en cours en pyjamag(certainement vide!)Ensembles classiques de nombres : I ?=f0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres naturels; I?=f:::;3;2;1;0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres entiers;I?=fp=q:p2?etq2?avecq6=0g;
I?l"ensemble des nombres réels;Dans les langages de programmation, comme Python, certaines variables soient déclarées avec un certaintype de données: I bools"interprète comme l"ensemblefVrai;Fauxg,Iints"interprète comme l"ensemble des entiers
Ifloats"interprète comme l"ensemble des nombres à virgule flottante Istrs"interprète comme l"ensemble des chaînes de caractères Ilists"interprète comme l"ensemble des listes.KarimPierrePaulMarieJulie
Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions4 / 16Exemples
Ensembles d"élèves :
I fPierre; Paul;Marie;Julie;KarimgI félèves de la classe qui ont les yeux bleusgI félèves qui viennent en cours en pyjamag(certainement vide!)Ensembles classiques de nombres : I ?=f0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres naturels; I?=f:::;3;2;1;0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres entiers;I?=fp=q:p2?etq2?avecq6=0g;
I?l"ensemble des nombres réels;Dans les langages de programmation, comme Python, certaines variables soient déclarées avec un certaintype de données: I bools"interprète comme l"ensemblefVrai;Fauxg,Iints"interprète comme l"ensemble des entiers
Ifloats"interprète comme l"ensemble des nombres à virgule flottante Istrs"interprète comme l"ensemble des chaînes de caractèresIlists"interprète comme l"ensemble des listes.Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions4 / 16
Exemples
Ensembles d"élèves :
I fPierre; Paul;Marie;Julie;KarimgI félèves de la classe qui ont les yeux bleusgI félèves qui viennent en cours en pyjamag(certainement vide!)Ensembles classiques de nombres : I ?=f0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres naturels; I?=f:::;3;2;1;0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres entiers;I?=fp=q:p2?etq2?avecq6=0g;
I?l"ensemble des nombres réels;Dans les langages de programmation, comme Python, certaines variables soient déclarées avec un certaintype de données: I bools"interprète comme l"ensemblefVrai;Fauxg,Iints"interprète comme l"ensemble des entiers
Ifloats"interprète comme l"ensemble des nombres à virgule flottante Istrs"interprète comme l"ensemble des chaînes de caractèresIlists"interprète comme l"ensemble des listes.Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions4 / 16
Exemples
Ensembles d"élèves :
I fPierre; Paul;Marie;Julie;KarimgI félèves de la classe qui ont les yeux bleusgI félèves qui viennent en cours en pyjamag(certainement vide!)Ensembles classiques de nombres : I ?=f0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres naturels; I?=f:::;3;2;1;0;1;2;3;:::gest l"ensemble des nombres entiers;I?=fp=q:p2?etq2?avecq6=0g;
I?l"ensemble des nombres réels;Dans les langages de programmation, comme Python, certaines variables soient déclarées avec un certaintype de données: I bools"interprète comme l"ensemblefVrai;Fauxg,Iints"interprète comme l"ensemble des entiers
Ifloats"interprète comme l"ensemble des nombres à virgule flottante Istrs"interprète comme l"ensemble des chaînes de caractèresIlists"interprète comme l"ensemble des listes.Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions4 / 16
Principales règles de fonctionnement
Sans rentrer dans l"axiomatique, la notion d"ensemble satisfait un certain nombre de règles de fonctionnement : Relation d"appartenanceOn notex2Asi l"élémentxest dansA. Objets distinctsOn peut distinguer deux éléments entre eux et un ensemble ne peut pas contenir deux fois le même objet. Ensemble videIl existe un ensemble qui ne contient aucun élément, c"est l"ensemble vide noté;. Paradoxe de RussellUn ensemble peut être élément d"un autre ensemble mais pas de lui même. Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions5 / 16Inclusion
Inclusion
L"ensembleAest unsous-ensembledeBsi tous les éléments deAsont des éléments deB, autrement dit x2A=)x2BOn le noteAB(AinclusdansB).Exemple :
f0;1;2g f0;1;2;3g ????? Remarque :A=Bsi et seulement siABetBAIntroduction à la notion d"ensemblesSous ensembles6 / 16Ensemble des parties
Ensemble des parties
SoitAun ensemble, l"ensemble des parties deAnotéP(A)est l"ensemble des sous-ensembles deA.Remarque :On a toujours
; 2 P(A)car; A,A2 P(A)carAA.Exemple :SiA=f1;2;3galors
P(A) =f;;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f1;3g;f2;3g;f1;2;3ggIntroduction à la notion d"ensemblesSous ensembles7 / 16
Union et intersection
AB UnionA[B=féléments deAou deBgA[BPropriétés
Idempotence :A[A=A
Commutativité :A[B=B[A
Associativité :A[(B[C) = (A[B)[C
Elément neutre :A[ ;=AIntersection
A\B=féléments deAet deBgA\BPropriétés
Idempotence :A\A=A
Commutativité :A\B=B\A
Associativité :A\(B\C) = (A\B)\C
Elément neutre :A\
=ADistributivitéA[(B\C) = (A[B)\(A[C)etA\(B[C) = (A\B)[(A\C)Introduction à la notion d"ensemblesOpérations sur les ensembles8 / 16
Différences et complémentaire
ABDifférence
ArB=féléments dansAmais pas dansBgArBDifférence symétriqueAB=féléments dansA[Bmais pas dansA\Bg
= (A[B)r(A\B)ABComplémentaire A= rAAPropriétés
Involution :A=A
Loi de Morgan :A\B=A[BetA[B=A\B
Introduction à la notion d"ensemblesOpérations sur les ensembles9 / 16Produit cartésien
Produit cartésien
AB=f(a;b)oùa2Aetb2Bg.
A1 Ak=f(a1;:::;ak)oùai2Aipour touti2 f1;:::;kgg.Exemple :
Pour le système de codage informatique des couleurs RGB, (de l"anglais "Red, Green, Blue") une couleur est un élément de [0;255][0;255][0;255] = [0;255]3deux couleurs qui ont le même triplet sont égale; on peut définir des ensembles de couleur : fcouleur à dominante verteg=§ (r;g;b) :g45 (r+b)ª Introduction à la notion d"ensemblesOpérations sur les ensembles10 / 16Notions de langages
Notions de langages11 / 16
Exemples de problèmes
Langage naturel
L"ensemble des mots fo rmeun dictionnaire qui s"a rrangent suivant des règles grammaticales pour former des phrases.Stockage informatique
de l"info rmationpa rune succession de bitsAlgorithme du texte
Recherche de chaîne de ca ractèresdans un texte...Compilation
Un p rogrammeest une suite de ca ractèrequi doit être analysé par le compilateur.Bio-informatique
L"ADN co del "informationgénétique.
Notions de langagesExemples de problèmes12 / 16Un peu de vocabulaire
Alphabet
Ensemble fini (pa rexemple : B=f0;1gest l"alphabet binaire,A=fa;b;c;:::;zgun alphabet à 26 lettres.) Mot Suite finie d"éléments de Aon le noteu=u1u2:::unetn est la longueur du motu, notéejuj.Mot vide
Le mot vide est noté ".
On noteAl"ensemble des mots surAetA+l"ensemble des mots sans le mot vide. Concaténationw=u:vest le mot de longueurjuj+jvjtel que w=u1u2:::ujujv1v2:::vjvjPuissance
on définit pa rrécurrence unpar u0="etun+1=u:unpour toutn2?
Préfixevpréfixe deus"il existe un motwtel queu=v:wSuffixevsuffixe deus"il existe un motwtel queu=w:vNotions de langagesMots sur un alphabet fini13 / 16
Equidivisibilité
Lemme de Levy
Soientu;v;z;t2 Atels queu:v=z:t. Alors il existew2 Atel que :ou bienu=z:wett=w:vsijuj jzj,ou bienz=u:wetv=w:tsijuj jzj.uv
ztwou bienztuvwCorollaire : simplification à droite
Soientu;v;zett2 A.
Siu:v=u:talorsv=t.
De même siu:v=z:valorsu=z.Notions de langagesMots sur un alphabet fini14 / 16Définition et exemples de langages
Langage
UnlangageLsur un alphabet finiAest un ensemble de mots surA. Autrement ditL A.Exemples :Exemples de langages surB=f0;1g:; 6=f"g;B =f";0;1;00;01;10;11;000;001;:::g;B+=f0;1;00;01;10;11;000;001;:::g;f0n:n2?g;f0n1m:n;m2?g;f0n1n:n2?g;f0p:p2?nombre premierg;fu2B:uest le codage en binaire d"un nombre premierg;fu2B:uest un palindromeg;fu2Bcode html certifiég 6=fu2Bcode html interprété par Firefoxg;fu2B:ucodage en MP3 de votre chanson préféréeg;fu2B:ucodage d"un programme qui s"arête sur l"entrée videg:::Notions de langagesLangage15 / 16
Opérations sur les langages
Union:L1[ L2Intersection:L1\ L2Compémentaire:L=ArLConcaténation:L1:L2=fu1:u2:u12 L1etu22 L2gPuissance: Par récurrence la puissancenèmedeL, est définie par
L0=f"getLn+1=L:Ln
Attention, en général
L n=fu2 A:9u1;u2;:::;un2 Ltel queu=u1:u2::ung 6=fun:n2?;u2 LgFermeture de Kleene: L n0LnetL+=[ n>0LnNotions de langagesLangage16 / 16quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les ensembles n z q r tronc commun
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