Chapitre 11 :Les équations de M axwell
On a deux grands groupes d'équations de Maxwell : - Les équations à la divergence qui ne couplent pas E ? et B ?. - Les équations au rotationnel
Chapitre 1 - Les équations de Maxwell
1.1.1 Champ électromagnétique. La force exercée par une distribution volumique de charge et de courants. [?(P t);j(P
Les équations de Maxwell
2 déc. 2009 2 Les équations de Maxwell en Physique classique. 2.1 Les grandeurs qui interviennent. 2.1.1 L'Espace et le Temps en physique classique.
ÉQUATIONS
RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue. SOLUTION : c'est le nombre caché sous l'inconnue : ?. 6250. =.
« Comment appliquer les équations de Maxwell dans un métal ? »
« Comment appliquer les équations de Maxwell dans un métal ? » Olivier Granier (olivier.granier.free.fr). 0. ( ) rot B.
Les équations différentielles linéaires —
8 nov. 2017 Il existe des fonctions non continues qui admettent des primitives. 2 Equations linéaires du premier ordre. 2.1 Introduction. Définition 2 : 1.
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8. I. Primitive d'une fonction continue. 1) Définition d'une équation
« Comment appliquer les équations de Maxwell dans un plasma ? »
Les équations de Maxwell dans un plasma ». Un plasma est un milieu composé d'atomes ou de molécules ionisés mais qui reste globalement électriquement neutre
Les équations différentielles en terminale scientifique :
Les équations différentielles figurent à la fois dans les programmes de physique de chimie et de mathématiques de la classe de terminale S. Les
ÉQUATIONS INÉQUATIONS
ÉQUATIONS INÉQUATIONS. I. Notion d'équation. 1) Vocabulaire. INCONNUE : C'est une lettre qui désigne un nombre qu'on ne connaît pas. Exemple : .
PRIMITIVES ET
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/LIm3DN63bxQ Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8Partie 1 : Primitive d'une fonction
1) Définition et propriétés
Exemple :
On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1Si on dérive , on constate que :
=2+3=Lorsque
=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :Remarque :
Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonctionVidéo A venir
Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2Correction
a)2
2Donc est une primitive de .
b) =1× +1Donc est une primitive de .
c) 1×-ln()×1
21-ln()
2Donc n'est pas une primitive de .
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une
constante.Démonstration :
Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .
On nomme cette constante. Ainsi :
-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .Démonstration :
est une primitive de .On pose
()+0=Donc est une primitive de .
Exemple :
On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 etDonc, la fonction définie par
2 2 +5 est également une primitive de .En effet :
2
2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulièreVidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI
Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3Correction
1) ′
Donc '= et donc la fonction est une primitive de .2) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit :
1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.Donc :
1 1Et donc :
1 +=0Soit :
+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :2
2) Primitives des fonctions usuelles
Fonction Une primitive
avec ∈ℕ 1 +1 1Avec >0
ln() 23) Linéarité des primitives
Propriété :
Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.Démonstrations :
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4Méthode : Déterminer une primitive (1)
Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw
Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw
Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 3 sur0;+∞
d) 2Correction
a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×L- 1M=
3 c) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est0;+∞
, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. d) 2 =2× 1 =2×2 =44) Primitives de fonctions composées
est une fonction dérivable sur un intervalle I.Fonction Une primitive
2′
avec >0 ln()Méthode : Déterminer une primitive (2)
Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)2-5
-5+4) b) c) 2 3 +1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5Correction
a)2-5
-5+4 1 2 ×22-5
-5+4 du type 2′En effet :
-5+4 → =2-5. Une primitive de 2′ est de la formeSoit :
1 2 -5+4 b) 1 2×2
du type ′En effet :
=2.Une primitive de ′
est de la formeSoit :
1 2 c) 2 3 +1 1 33
2 3 +1 du type 5 5En effet :
+1→ =3Une primitive de
5 5 est de la forme ln().Soit :
1 3 ln +1Partie 2 : Équations différentielles
1) Définition d'une équation différentielle
Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et
où interviennent des dérivées de cette fonction.Exemples :
a) L'équation =5 est une équation différentielle.L'inconnue est la fonction .
En considérant que est la fonction inconnue qui dépend de , l'équation peut se noter :
=5 b) L'équation =2 -3 est également une équation différentielle. L'inconnue est la fonction dont la dérivée est égale à 2 -3.2) Équation différentielle du type '=
Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .La fonction est une solution de l'équation différentielle '= si et seulement si
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 6Propriété :
Dire que est une primitive de , revient à dire que est une solution de l'équation
différentielle '=.En effet, '=.
Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielleVidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM
Prouver que la fonction définie sur
0;+∞
par =3 +ln est solution de l'équation différentielle =6+Correction
=3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est solution de l'équation différentielle =6+3) Équations différentielles du type '=
Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la
forme ⟼ 0# , où est une constante réelle quelconque.Démonstration :
• Soit la fonction définie sur ℝ par 0# , où est un réel.Alors,
0# 0#Donc
est donc solution de l'équation différentielle '=.• Réciproquement, soit une solution de l'équation différentielle '=.
Et soit la fonction définie sur ℝ par &0# est dérivable sur ℝ et on a : &0# &0# Comme est solution de l'équation différentielle '=, on a : 'Ainsi :
&0# &0# &0# &0# =0. La fonction est donc égale à une constante réelle , soit : &0#Et donc :
0# Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 7 Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA
On considère l'équation différentielle 3 +5=0.1) a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation.
b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.2) Déterminer l'unique solution telle que
1 =2.Correction
1) a) 3
+5=03
=-5 5 3 Les solutions sont les fonctions de la forme : ⟼ b) Pour différentes valeurs de , on obtient :2) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme :
Donc
1Or,
1 =2.Donc :
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