de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1
Déterminer les limites en 1 et la limite en +?. Que peut-on en déduire pour (Cf )?. 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser
5. Études de fonctions
Chercher les zéros puis faire un tableau pour voir où la fonction est négative
FICHE DE RÉVISION DU BAC
ÉTUDES DE FONCTIONS. LE COURS L'étude du signe d'une fonction homographique se fait au cas par cas en faisant un tableau de signe.
Chapitre 5: Croissance et Études de fonctions
5.2 Étude de la croissance d'une fonction. Méthode: Le signe de la dérivée permet de savoir pour quelles valeurs de x la fonction est croissante décroissante
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On compte aujourd'hui plus de 2000 patients dans le monde affectés par l'anémie de Fanconi. (AF). Cette maladie rare est causée au niveau cellulaire par un
Première ES - Fonctions dérivées et études de fonctions - ChingAtome
la fonction dérivée de f. La courbe représentative de f est la courbe ? donnée ci- dessous. On admet que la courbe ? possède les propriétés suivantes:.
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f8(x) = 1+ex. 1 ? ex . Exercice 2 Pour chacune des fonctions suivantes déterminer les variations sans utiliser de dérivée
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Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor. Journal de mathématiques pures et appliquées 4e série tome 8 (1892)
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21 déc. 2011 POUR L'ETUDE DES FONCTIONS. Abstract. Perspectives and working domains for functions' studies. The aim of this paper is to understand and ...
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Limites. Dérivation. Méthode d'étude d'une fonction. 1. Domaine de définition. 2. Parité / Périodicité. 3. Étude des variations sur un intervalle approprié.
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Mathematiques pour les Sciences de la Vie
Analyse {
Etude de fonctions
Automne 2011
Resp : S. Mousset
Universite Claude Bernard Lyon I { France
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Table des matieres
1Introduction
2Generalites
3Limites
4Derivation
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Vos enseignants de CM
Sylvain Mousset
Analyse (Seq 2)Marc Bailly-Bechet
Probas & Stat (Seq 2)Dominique Allaine
Seq 3IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Organisation du Cours
1Etude de fonctions.2Integration
3 Equations dierentielleshttp://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-BIntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Methode d'etude d'une fonction
1Domaine de denition.
2Parite / Periodicite
3 Etude des variations sur un intervalle approprieDerivation Etude des limites aux bornes de l'intervalleTableau de variation (avec limites et extrema).4Points d'in
exion (eventuellement).5Asymptotes obliques (eventuellement).
6Representation graphique
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Table des matieres
1Introduction
2Generalites
3Limites
4Derivation
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
DenitionsPlan detaille
2Generalites
Denitions
Operations sur les fonctions
Parite, periodicite
Variations d'une fonction
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
DenitionsIntervalle
aetbdeux reels distincts,a Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festpairesi et seulement si8x2Df,(x)2Df8x2Df,f(x) =f(x) Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festimpairesi et seulement si8x2Df,(x)2Df8x2Df,f(x) =f(x) exQuotient de fonctions continues. Exemplex7!tanx=sinxcosxComposition de fonctions continues. Exemplex7!ecos(x)http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-BExemple :8a2R;8" >0, l'intervalle]a";a+"[
est un voisinage dea.http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
DenitionsFonction reelle d'une variable reelle
Denition : Une fonction reellefd'une variable reelle est une transformation qui a tout elementxd'une partie (domaine)DRfait correspondre ununique element deR Notation :f:D!R
x7!f(x) Dest le\domaine de denition def".http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
DenitionsDomaine de denition
Denition : Le domaine de denitionDfd'une
fonctionfest l'ensemble des reelsxpour lesquels il existe une image dexpar la fonctionf. D f=fx2Rj9!y2R;y=f(x)g Exemple :
f:x7!r1 x1 D f=fx2Rjx1>0g IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
DenitionsImage du domaine de denition
Denition : L'image du domaine de denitionDfpar
une fonctionf, noteef(Df)est l'ensemble des reels ypour lesquels il existe au moins un antecedent dex par la fonctionf. f(Df) =fy2Rj9x2Df;y=f(x)g Exemple :
f:x7!r1 x1 D f=]1;+1[ f(Df) =]0;+1[http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
DenitionsGraphe d'une fonction
Le graphe d'une fonctionfdans un repere cartesien(Ox;Oy)est l'ensemble des points de coordonnees(x;f(x))avecx2Df.f:x7!r1 x102468 0 2 4 6 8 x f (x)http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Operations sur les fonctionsPlan detaille
2Generalites
Denitions
Operations sur les fonctions
Parite, periodicite
Variations d'une fonction
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Operations sur les fonctionsOperations
fetgdeux fonctions reelles denies surDgetDf.Produit :(fg)(x) =f(x)g(x) D fg=Df\DgSomme :(f+g)(x) =f(x) +g(x) D f+g=Df\DgInverse : 1f (x) =1f(x) D 1f =fx2Dfjf(x)6= 0gComposition :(fg)(x) =f(g(x)) D IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Operations sur les fonctionsOperations
fetgdeux fonctions reelles denies surDgetDf.Quotient : fg (x) =f(x)g(x) D fg =fx2(Df\Dg)jg(x)6= 0gMultiplication par un reel :82R;(f)(x) =f(x) D f=Df(f)(x) =f(x) D IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Operations sur les fonctionsFonction reciproque
fune fonction reelle denie surItelle quef(I) =Jfadmet une fonction reciproque s'il existe une fonctiong:J!Itelle que fg=IdIetgf=IdJ.gest noteef1 Exemple :
f:x7!r1 x1 f 1:y7!1 +1y
202468
0 2 4 6 8 x f (x) f f IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Parite, periodicitePlan detaille
2Generalites
Denitions
Operations sur les fonctions
Parite, periodicite
Variations d'une fonction
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Parite, periodiciteParite : fonction paire
Exemple :f(x) =x2-4-2024
0 5 10 15 x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Parite, periodiciteParite : fonction impaire
Exemple :f(x) =x3-4-2024
-60 -40 -20 0 20 40
60
x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Parite, periodicitePeriodicite
Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festperiodique de periodepsi et seulement si8x2Df,(x+p)2Df8x2Df,f(x+p) =f(x) Exemple :f(x) = cosxest paire
et periodique de periode2-6-4-20246 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Variations d'une fonctionPlan detaille
2Generalites
Denitions
Operations sur les fonctions
Parite, periodicite
Variations d'une fonction
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Variations d'une fonctionFonction croissante
Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festcroissante surIDfsi et seulement si8(a;b)2I2;a
x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Variations d'une fonctionfonction decroissante
Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festdecroissante surIDfsi et seulement si8(a;b)2I2;aIDfsi et seulement si8(a;b)2I2;a
d'accroissement def(x) =x2est Exemple :f(x) =x2est
strictement croissante sur[5;0[.-5-4-3-2-10 0 5 10 15 20 25
x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Variations d'une fonctionTaux d'accroissement
Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle. Soit (a;b)2D2f;a3entre1et2.01234
0 1 2 3 4 x x^2 D y D IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Table des matieres
1Introduction
2Generalites
3Limites
4Derivation
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites nieslPlan detaille
3Limites
Limites nieslLimites innies
Operations sur les limites et formes indeterminees Limites connues
Limites par comparaison
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites nieslLimite nie ena(ena+)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet une limite niel2Ra gauche enasi et seulement sia2Dfouaest une borne deDf.Lorsquex!a,f(x)!l Mathematiquement, ces conditions
s'ecrivent 8" >0;9 >0;
(x2]a;a[)f(x)2[l";l+"]) On note alors
lim x!af(x) =l-2.0-1.5-1.0-0.50.0 -4 -2 0 2 4 x x 2 sin 100
x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites nieslLimite nie enaSoitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet une limite niel2Renasi et seulement siSia2Df, limx!af(x) = limx!a+f(x) =f(a) =l.Sia=2Df, limx!af(x) = limx!a+f(x) =l. On peut prolongerfpar continuite
en ecrivantf(a) =l. On note alors
lim x!af(x) =l-1.0-0.50.00.51.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x x 2 sin 100
x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites nieslLimite nie en+1(ou1)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR. fadmet une limite niel2Ren+1si et seulement siLorsquex!+1,f(x)!l Mathematiquement, ceci s'ecrit
8" >0;92R;
(x2];+1[)f(x)2[l";l+"]) On note alors
lim x!+1f(x) =l050100150 0.5 1.0 1.5 x exp x 20 sin x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites nieslContinuite
Soitfune fonction denie sur un domaineDfR.fest continue ena2Dfsi et seulement silimx!af(x) =f(a)fest continue surIDfsi et seulement si 8a2I;limx!af(x) =f(a).-2-1012
-3 -2 -1 0 1 2 3 La fonction partie entière
x E x )Exemple :x7!E(x)est continue sur les intervalle [n;n+ 1[;n2Z, mais discontinue pour toutn2Z.http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites nieslProprietes des fonctions continues
En general, prouver la continuite d'une fonction quelconque est complexe. La plupart du temps, on utilise les proprietes sur la continuite de fonctions usuelles continues.Somme de fonctions continues. Exemplex7!1x +x2Produit de fonctions continues. Exemplex7!1x IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites inniesPlan detaille
3Limites
Limites nieslLimites innies
Operations sur les limites et formes indeterminees Limites connues
Limites par comparaison
IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites inniesLimite innie ena(ena+)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet pour limite+1a gauche enasi et seulement siLorsquex!a,f(x)!+1 Mathematiquement, cette condition
s'ecrit 8y>0;9 >0;
(x2]a;a[)f(x)2[y;+1[) On note alors
lim x!af(x) = +1-2.0-1.5-1.0-0.50.0 0 2 4 6 8 10 x 1 IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites inniesLimite innie enaSoitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet pour limite+1enasi et seulement silim x!af(x) = limx!a+f(x) = +1 On note alors
lim x!af(x) = +1-2-1012 0 2 4 6 8 10 x 1 IntroductionGeneralitesLimitesDerivation
Limites inniesLimite innie en+1(ou1)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR fadmet pour limite+1en+1si et seulement sif(x)!+1lorsquex!+1 Mathematiquement, cette condition
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