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Chapitre 1 : fonctions holomorphes

Nous presentons dans ce chapitre les premieres denitions et proprietes des fonctions holomorphes.

1. Rappels

1.Topologie surC.La topologie qu'on considerera surCest celle associee a la norme usuellejzj=pzz:

Laboule ouvertede centrez02Cet de rayonr >0 est le disque centre enz0et de rayonr;noteD(z0;r);et deni par :D(z0;r) =fz2C:jzz0j< rg: Unvoisinage dez0est un ensemble contenant une boule ouverte centree enz0: On noteV(z0) l'ensemble des voisinages dez0:U2 V(z0), 9r >0=D(z0;r)U: UnouvertdeCest un sous-ensemble deCvoisinage de chacun de ses points. Un ensemble est ferme si son complementaire est ouvert.

Unecourbe

dans un ouvertDdeCest une application continue de l'intervalle [a;b] (a < b) dansD:On note ?=Im =f (t);t2[a;b]g:

Une courbe fermee est une courbe pour laquelle

(a) = (b):

Uncheminest une courbe de classeC1par morceaux.

Un chemin ferme est un chemin pour lequel

(a) = (b): Un sous-ensembleDdeCestconnexesi pour tous ouvertsUetVdeCinclus dansD veriantU[V=DetU\V=;on aU=;ouV=;: On peut alors montrer qu'un sous-ensembleDdeCest connexe si et seulement si deux points quelconques deDpeuvent ^etre joints par un chemin contenu dansD:C'est la car- acterisation qu'on utilise le plus souvent.

2.Isomorphisme entreR2etC:On munitR2de la topologie usuelle, associee a la normejj(x;y)jj=p(x2+y2):L'application

denie surCpar (z=x+iy) = (x;y) est un isomorphisme duRespace vectorielCsur leRespace vectorielR2:Sifest une fonction denie dansCau voisinage d'un pointz;la fonctionf1est denie dansR2au voisinage du point (x;y):Nous pourrons donc voir toute fonction denie surCa valeurs dansCcomme une fonction denie surR2, a valeurs dansR2:Siz=x+iyest un point deCnous ecrironsf(z) lorsque nous nous interesserons aux proprietes \complexes" defetf(x;y) lorsque nous nous interesserons aux proprietes \reelles" def:Sifest denie dansCil faudra liref1(x;y) lorsqu'on ecriraf(x;y): Inversement sifdenie dansR2;il faudra liref(z) lorsqu'on ecriraf(z):Cet abus de notation permettra d'alleger les ecritures. 1 2

2. Denitions-proprietes

On rappelle qu'une fonction est continue en un pointx0si limx!x0f(x) =f(x0):Cette condition s'ecrit :

8" >0;9 >0=jxx0j< ) jf(x)f(x0)j< "

et ne fait intervenir que des valeurs absolues (si on travaille avec des variables reelles) ou des modules (six0est un element deC): De m^eme la notion de derivabilite dansRne s'exprime qu'en terme de valeurs absolues. En considerant les variables dansCet non plus dansRet en remplacant les valeurs absolues par des modules, on obtient la notion de derivabilite (ou dierentiabilite) dansC: Denition 1.Soitfune fonction denie au voisinage d'un pointz0deC:On dit quefest C-dierentiable enz0silimz!z0z6=z0f(z)f(z0)zz0existe.

On pose alorsf0(z0) = limz!z0f(z)f(z0)zz0:

Le nombref0(z0) est appele derivee defenz0:C'est un nombre complexe independant de la facon dontztend versz0: sif(z)f(z0)zz0admet deux limites dierentes lorsquez tend versz0sur deux chemins distincts,fn'est pasC-dierentiable enz0:Ainsi, la fonction identite :z7!zestC-dierentiable en tout point deCalors que la fonction conjuguee : z7!zn'estC-dierentiable en aucun point deCpuisque pour tout dansR?: lim t!0z 0+tz

0(z0+t)z0= 1 et limt!0z

0+itz

0(z0+it)z0=1:

Denition 2.SoitDun ouvert deC:On dit qu'une fonction est holomorphe surDsi elle estC-dierentiable en tout point deD: On peut noter que les fonctions holomorphes sont toujours denies sur unouvertdeC: Les fonctions constantes et la fonction identite sont des exemples de fonctions holomorphes surC: Proposition 1.SifestC-dierentiable enz0; fest continue enz0: Demonstration :LaC-dierentiabilite d'une fonctionfen un pointz0s'ecrit : f(z) =f(z0) + (zz0)f0(z0) +o(jzz0j):

Ainsi : lim

z!z0f(z)f(z0) = limz!z0(zz0)f0(z0)+o(jzz0j) = 0:La fonctionfest donc continue enz0: 3 Proposition 2.Sifetgsont deux fonctionsC-dierentiables enz0;les fonctionsf+get fgsontC-dierentiables enz0avec :(f+g)0(z0) =f0(z0)+g0(z0)et(fg)0(z0) =f0(z0)g(z0)+ f(z0)g0(z0):

Demonstration :lim

z!z0z6=z0f(z)g(z)f(z0)g(z0)zz0= limz!z0z6=z0(g(z)f(z)f(z0)zz0+f(z0)g(z)g(z0)zz0): L'applicationgest continue enz0d'apres la proposition 1 et les applicationsfetg sont holomorphes enz0par hypothese. Ainsi : limz!z0z6=z0g(z)f(z)f(z0)zz0=g(z0)f0(z0) et lim

z!z0z6=z0f(z0)g(z)g(z0)zz0=f(z0)g0(z0):La proposition 2 exprime quel'ensembleO(D)des fonctions holomorphes sur un

ouvertDdeCest un anneau commutatif. Proposition 3.Soientfetgdeux fonctionsC-dierentiables enz0; g(z0)6= 0:Alors le quotient fg estC-dierentiable enz0et(fg )0(z0) =f0(z0)g(z0)f(z0)g0(z0)(f(z0))2: Demonstration :D'apres la proposition 2 il sut de montrer que la fonction 1g estC- dierentiable enz0avec (1g )0(z0) =g0(z0)(g(z0))2: Par hypothese, la fonctiongne s'annule pas au voisinage dez0: la fonction1g est denie au voisinage dez0: lim z!z0z6=z01g(z)1g(z0)zz0=limz!z0z6=z0 g(z)g(z0)zz01g(z0)g(z) =g0(z0)(g(z0))2:Proposition 4.SifestC-dierentiable enz0etgestC-dierentiable enf(z0);la fonction gfestC-dierentiable enz0et(gf)0(z0) =g0(f(z0))f0(z0):

Demonstration :On a l'egalite :

D'apres la proposition 1 : lim

z!z0f(z) =f(z0) et donc, puisquegestC-dierentiable en f(z0);il vient : lim z!z0z6=z0gf(z)gf(z0)f(z)f(z0)=g0(f(z0)):

Enn : lim

z!z0z6=z0f(z)f(z0)zz0=f0(z0): 4

3. Conditions de Cauchy-Riemann

Soitfune fonctionC-dierentiable en un pointz0=x0+iy0deC:En considerant maintenantfcomme une fonction de deux variables reelles (voir 2) des rappels), la condition f(z) =f(z0) + (zz0)f0(z0) +o(jzz0j);vraie au voisinage dez0;s'ecrit : f(x;y) =f(x0;y0)+(a0(xx0)b0(yy0);a0(yy0)+b0(xx0))+o(jj(xx0;yy0)jj) pour (x;y) au voisinage de (x0;y0):On a evidemment posef0(z0) =a0+ib0:Ceci montre quefest dierentiable en (x0;y0) dansR2;l'application (h;k)7!(a0hb0k;a0k+b0h) etant R-lineaire deR2dansR2:Nous rappelons que les derivees partielles defen (x0;y0) sont alors denies par : @f@x (x0;y0) = limx!x0x6=x0f(x;y0)f(x0;y0)xx0@f@y (x0;y0) = limy!y0y6=y0f(x0;y)f(x0;y0)yy0: En considerant des nombres complexes de la formez=x+iy0nous avons : f

0(z0) = limz!z0z6=z0f(z)f(z0)zz0= limx!x0x6=x0f(x;y0)f(x0;y0)xx0=@f@x

(x0;y0):

De m^eme, en considerantz=x0+iy;il vient :

f

0(z0) = limz!z0z6=z0f(z)f(z0)zz0= limy!y0y6=y0f(x0;y)f(x0;y0)i(yy0)=i@f@y

(x0;y0): Ainsi, sifestC-dierentiable enz0; festR-dierentiable en (x0;y0) et les derivees partielles defen (x0;y0) verient l'equation : (1) @f@x (x0;y0) +i@f@y (x0;y0) = 0: Reciproquement :sifest une fonctionR-dierentiable en un point (x0;y0) deR2et si les derivees partielles defen (x0;y0) verient l'equation (1), il vient : f(x;y)f(x0;y0) = (xx0)@f@x (x0;y0) + (yy0)@f@y (x0;y0) +o(jj(x;y)(x0;y0)jj) = (xx0+i(yy0))@f@x (x0;y0) +o(jj(x;y)(x0;y0)jj) et donc, en revenant a une ecriture complexe ( voir 2) des rappels) : f(z) =f(z0) + (zz0)@f@x (x0;y0) +o(jzz0j); ce qui montre quefestC-dierentiable enz0de deriveef0(z0) =@f@x (x0;y0) =i@f@y (x0;y0): Nous savons que siuetvsont les parties reelle et imaginaire def(uetvsont alors deux fonctions d'une variable complexe, a valeurs dansR), laR-dierentiabilite defest 5 equivalente a laR-dierentiabilite des fonctionsuetv:Nous venons ainsi de demontrer la proposition suivante : Proposition 5.Une fonctionf=u+ivestC-dierentiable en un pointz0=x0+iy0 deCsi et seulement siuetvsontR-dierentiables en(x0;y0)et verient les conditions suivantes, appelees conditions de Cauchy-Riemann : 8>>>< >>:@u@x (x0;y0) =@v@y (x0;y0) @u@y (x0;y0) =@v@x (x0;y0):

On a de plus :f0(z0) =@f@x

(z0) =i@f@y (z0):

Denissons les deux operateurs dierentiels

@@z et@@z par : @@z =12 @@x i@@y ;@@z =12 @@x +i@@y Sif=u+ivest une fonctionR-dierentiable en un point (x0;y0) deR2;on a : @f@z (x0;y0) =12 @f@x +i@f@y (x0;y0) 12 @u@x (x0;y0)@v@y (x0;y0) +i@u@y (x0;y0) +@v@x (x0;y0)

Nous avons donc :

Theoreme 1.Une fonctionfestC-dierentiable en un pointz0deCsi elle estR-dierentiable au point(x0;y0)deR2et verie l'equation de Cauchy-Riemann :@f@z (x0;y0) = 0:Sa derivee enz0est alors donnee par :f0(z0) =@f@z (x0;y0):

4. Applications-Exemples

Nous nous proposons dans cette partie de donner quelques exemples de fonctions holo- morphes. Nous avons vu, comme application directe de la denition 1, que l'application identite est holomorphe surC: 6 La proposition 2 entra^ne que tout polyn^ome de la variablez(c'est-a-dire toute fonction fde la formef(z) =Pn k=0akzkoua0;:::;ansont des nombres complexes) est holomorphe surC: La proposition 3 montre alors que toute fraction rationnelle enz(quotient de deux polyn^omes enz) est holomorphe en dehors de l'ensemble des zeros de son denominateur. La proposition 5 montre qu'une fonction denie sur un ouvert connexeDdeC;a valeurs reelles, non constante, n'estC-dierentiable en aucun point deD: En eet, si on ecritf=u+ivl'hypothese donne quevest identiquement nulle surD:

D'apres la proposition 5,@u@x

et@u@y sont nulles surD:Ainsi,Detant connexe,u(et doncf) est constante surD:

Qu'en est-il des series entieres complexes ?

On rappelle qu'une serie entiere complexe est une fonction de la formePanznou (an)n est une suite de nombres complexes. On associe a toute serie complexe un unique element rdeR+[ f1g, appele rayon de convergence de la serie : s'il est non nul, il est tel que la seriePanznconverge absolument pour tout complexezdans le disqueD(0;r) (avec la conventionD(0;1) =C). Il faut noter qu'on peut denir formellement une seriePanzn (c'est une ecriture) mais cette serie ne denira une fonction qu'aux points ou elle converge. Proposition 6.SoitPanznune serie entiere, de rayon de convergencer >0:La fonction f:z7!Panznest holomorphe surD(0;r)et on a pour toutzdansD(0;r): f

0(z) =X

n1na nzn1: Demonstration :Le critere de d'Alembert montre que la serie

Pnanzn1converge absolu-

ment en tout pointzdeD(0;r): Soitz0un point quelconque deD(0;r); r0un reel inferieur strict artel quez0appartienne aD(0;r0) etzun point quelconque deD(0;r0): f(z)f(z0) =X n0a n(znzn0) =X n1a n(znzn0) = (zz0)X n1a n(n1X k=0z k0znk1):

La serie

Pnjanj(r0)n1etant convergente, la seriePan(Pn1

k=0zk0znk1) converge normale- ment enz. Ainsi : lim z!z0X n1a n(n1X k=0z k0znk1) =X n1a nlimz!z0(n1X k=0z k0znk1) =X n1na nzn10:Ainsi la seriequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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