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Fonctions convexesPage 1G. COSTANTINI

FONCTIONS CONVEXES D"UNE VARIABLE RÉELLE

I. Définition

I.1. Définition

Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ¦ est convexe sur I lorsque : "x, y Î I, "l Î [0 ; 1], ¦(lx + (1 - l)y) ? l¦(x) + (1 - l)¦(y) Lorsque l"on a l"inégalité dans l"autre sens, on dit que ¦ est concave sur I. Si l"inégalité est stricte, on parle alors de stricte convexité ou concavité. Notons que ¦ est concave sur I si et seulement si -¦ est convexe sur I. Remarquons que si x = y ou si l = 0 ou l = 1 alors l"inégalité ¦(lx + (1 - l)y) ? l¦(x) + (1 - l)¦(y) est triviale. Illustration dans le cas d"une fonction concave : la courbe est au dessus de toute corde.

Exemples :

· La fonction ¦ : x ?|x| est convexe puisque d"après l"inégalité triangulaire : |lx + (1 - l)y|

? l|x| + (1 - l)|y|.

· La fonction ¦ : x

?x2 est convexe. En effet : l¦(x) + (1 - l)¦(y) - ¦(lx + (1 - l)y) = l x2+ (1 - l)y2-l2x2- 2l(1 - l)xy - ()12-ly2 = l(1 - l)[ x2- 2xy + y2] = l(1 - l)()xy-2? 0 · Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves.

I.2. Théorème

Soient ¦ une fonction convexe définie sur un intervalle I, x1, ... , xn des points de I et l1, ... , ln des réels positifs

vérifiant li in

1= 1. Alors :

¦lii

inx 1 ? lii in x¦ 1

En particulier : ¦xx

nn1++ ???????...? ¦++¦()...()xx nn1

Preuve : par récurrence sur n. La formule est vraie pour n = 2 (c"est la définition avec l1 = l et l2 = 1 - l1)

Considérons la propriété suivante :

Hn = "" x1, ... , xn Î I, "l1, ... , ln Î [0 ; 1] tels que li in

1= 1 on a : ¦lii

in x 1 ? lii in x¦ 1"

C¦¦(y)

¦(x)

y l¦(x) + (1- l)¦(y)¦(lx + (1- l)y) lx + (1- l)y x

Fonctions convexesPage 2G. COSTANTINI

Comme ¦ est convexe sur I, on a : "x, y Î I, "l Î [0 ; 1], ¦(lx + (1 - l)y) ? l¦(x) + (1 - l)¦(y) En posant x1 = x, x2 = y, l1 = l et l2 = 1 - l on obtient H2.

Supposons Hn vraie pour un certain entier n

? 2 et montrons que cela entraîne Hn+1.

Soient l1, ... , ln+1 Î [0 ; 1] tels que li

in 11 = 1. Posons S =li in 1.

Si S = 0 alors li = 0 pour tout i Î

?1 ; n? et donc ln+1 = 1. L"inégalité ¦lii in x 11 ? lii in x¦ 11 est alors vérifiée puisque trivialement réduite à ¦(xn+1) ? ¦(xn+1).

Si S ¹ 0 alors posons pour tout i Î

?1 ; n?, mi = li

S. Ainsi, on a mi

in 1= li in S 1= 1

S´ S = 1 ce qui va permettre

d"utiliser l"hypothèse de récurrence.

¦lii

in x 11 = ¦llii in nnxx

111= ¦SxSxii

in n m 11

1() car ln+1 = 1 - li

in 1=

1 - S.

Et comme

¦ est convexe (ou d"après H2), on a :

¦lii

in x 11 ? S¦ mii in n xSx

111()()

Et comme

mi in 1=

1 et Hn est vraie par hypothèse de récurrence, on a :¦

mii in x 1 ? mii in x¦ 1

Or, Smii

in x¦ 1= lii in x¦ 1

D"où finalement : ¦lii

in x 11 ? lii in x¦ 1+ ln+1¦(xn+1) d"où Hn+1. Le principe de récurrence achève la démonstration.

Le cas particulier en résulte en choisissant

l1 = l2 = ... = ln = 1 n.

Exemple :

"x1, ..., xn Î ? : xi in 12 ? nxi in 2 1= (convexité de x ?x2)

II. Différentes caractérisations

II. 1. Caractérisation 1

Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. ¦ est convexe sur I Û "x, y, z Î I, x < y < z ? ¦-¦ -()()yx yx? ¦-¦ -()()zy zy

Preuve :

? Soient x, y, z Î I tels que x < y < z.

Puisque y Î ]x ; z[, on peut écrire :

y = lx + mz où l = zy zx- - et m = 1 - l =yx zx- - Î ]0 ; 1[

Comme ¦ est convexe sur I, on a :

C¦ zyx

Fonctions convexesPage 3G. COSTANTINI

¦(y)

? l¦(x) + m¦(z) Ajoutons l¦(y) à chaque membre, ainsi : l¦(y) - l¦(x) ? m¦(z) - m¦(y)

Soit en divisant par lm > 0 :

¦-¦()()yx

m? ¦-¦()()zy l

Or, l =

zy zx- -, m = yx zx- - et z - x > 0 d"où : ¦-¦ -()()yx yx? ¦-¦ -()()zy zy

ÜSoient x, z Î I avec (pour fixer les idées x < z, le cas x = z étant trivial) et soit l Î ]0 ; 1[.

Posons y

= lx + mz où m = 1 - l. Ainsi x < y < z.

On a donc

-()()yx yx? ¦-¦ -()()zy zy d"où l[¦(y) - ¦(x)] ? m[¦(z) - ¦(y)] d"où¦(y) ? l¦(x) + m¦(z). L"inégalité étant trivialement valable lorsque l = 0 ou l = 1, on en déduit que ¦ est convexe sur I.

II.2. Caractérisation 2

Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. Pour tout a Î I on pose ja(x) = ¦-¦ -()()x xa a "x Î I \ {a}. ¦ est convexe sur I Û "a Î I, ja est croissante sur I \ {a}

Preuve :

? Soient x, y Î I \ {a} tels que x < y. Montrons que ja(x) ? ja(y)

Supposons que l"on ait x < y <

a. Comme y Î ]x ; a[, on peut écrire : y = lx + ma où l = a a- -y x Î ]0 ; 1[ et m = 1 - l = yx x- -aÎ ]0 ; 1[ Comme

¦ est convexe sur I, on en déduit :¦(y)

? l¦(x) + m¦(a)

Retranchons

¦(a) à chaque membre : ¦(y) - ¦(a)

? l[¦(x) - ¦(a)]

D"où (x

- a < 0 et y - a < 0) :¦-¦ -()()y ya a -()()x xa a j a(y) ? ja(x)

Le cas

a < x < y est analogue et le cas x < a < y immédiat d"après la caractérisation 1.

Bilan : la fonction

ja est bien croissante sur I \ {a}.

ÜSoient x, y, z Î I tels que x < y < z.

Comme jy est croissante, on a jy(x) ? jy(z) donc (caractérisation 1) ¦ est convexe.

Et évidemment, on a :

¦ est concave sur I Û "a Î I, ja est décroissante sur I \ {a}

II.3. Conséquences

Soit ¦ une fonction convexe sur I . Alors :

1) ¦ admet en tout point a intérieur à I une dérivée à droite et une dérivée à gauche

2) ¦ est continue en tout point a intérieur à I.

Fonctions convexesPage 4G. COSTANTINI

Preuve :

1) Soit a Î I?. La fonction ja est croissante sur I \ {a} et bornée au voisinage de a. Elle admet donc une limite à

droite et à gauche de

a (voir leçon sur les fonctions monotones). Donc ¦ admet en a une dérivée à droite et une

dérivée à gauche et comme ja(a-) ? ja(a+), on a ¦g"()a ? ¦d"()a

2) Soit a Î

I?. Donc $a, b Î I tels que a < a < b.

La fonction j

a est croissante sur [a ; a[ minorée par j a(a) et majorée par ja(b) : x Î [a ; a[ : ja(a) ? ja(x) ? ja(b)

De même sur ]a ;

b], ja est croissante et bornée (toujours par j a(a) et ja(b)) : x Î ]a ; b] : ja(a) ? ja(x) ? ja(b)

Bilan : $

M Î ? tel que " x Î I \ {a} on a :

|¦(x) - ¦(a)| ? M|x - a|(M = sup{|ja(a)| ; |ja(b)|} Et comme l"inégalité ci-dessus est encore valable pour x = a, on en déduit que ¦ est continue en a. (En effet, "e > 0, pour h < e M, |x - a| < h entraîne |¦(x) - ¦(a)| < M|x - a| < Mh < e)

Remarque : il existe des fonctions convexes non continues. (Mais les points de discontinuité sont situés sur Fr(

I)) Par exemple la fonction ¦ définie sur [0 ; 1] par ¦(x) = 1 si

0 si ]0 ; 1]x

x= ???0

En effet, on a toujours ¦(l

x + (1 - l)y) = 0 puisque lx + (1 - l)y ¹ 0 et l¦(x) + (1 - l)¦(y) ? 0 La conséquence II.3. ci-dessus s"applique aussi aux fonctions concaves.

II.4. Caractérisation 3

Soit ¦ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. ¦ est convexe sur I Û ¦" est croissante sur I

Preuve :

? Soient a, b Î I avec a ? b. Nous savons que ¦ est dérivable sur I donc : a) = limxa®ja(x) avec ¦"(a) ? ja(b) puisque ja est croissante

¦"(b) = limxb®jb(x) avec ¦"(b)

? jb(a) puisque jb est croissante

Et comme

ja(b) = jb(a), on a ¦"(a) ? ¦"(b) donc ¦" est croissante sur I.

ÜSoient a, b, c Î I avec a < b < c.

D"après le théorème des accroissements finis appliqué à

¦ sur ]a ; b[ puis sur ]b ; c[ :

$a Î ]a ; b[ tel que ¦(b) - ¦(a) = ¦"(a)(b - a) c"est-à-dire ¦"(a) = jb(a) $b Î ]b ; c[ tel que ¦(c) - ¦(b) = ¦"(b)(c - b) c"est-à-dire ¦"(b) = jb(c) Or,

¦" est croissante et a < b donc ¦"(a)

? ¦"(b) c"est-à-dire jb(a) ? jb(c). C¦ b aj a(b) j a(a) a

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Ainsi, d"après la caractérisation 1, ¦ est convexe.

Et pour les fonctions concaves, on a :

¦ est concave sur I Û ¦" est décroissante sur I

On a vu, que la convexité se traduit par le fait que les cordes sont au dessus du graphe. La caractérisation

suivante valable pour une fonction dérivable traduit la convexité par le fait que les tangentes sont en dessous du

graphe.

II.5. Caractérisation 4

Soit ¦ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. ¦ est convexe sur I Û "a Î I, "x Î I, ¦(x) ? ¦(a) + (x - a)¦"(a)

Preuve :

? Soit a Î I et soit x Î I. Si x = a, l"inégalité est triviale.

Si x >

a, alors ¦"(a) = ja(a+) ? ja(x) car ja est croissante. D"où ¦"(a) -()()x xa a c"est-à-dire :

¦(x)

? ¦(a) + (x - a)¦"(a)

Si x <

a, alors ja(x) ? ja(a-) = ¦"(a)n d"où ¦-¦ -()()x xa a? ¦"(a) et comme x - a < 0 :

¦(x)

? ¦(a) + (x - a)¦"(a)

ÜSoient x, y Î I avec x

? y. On a donc, par hypothèse :

¦(y)

? ¦(x) + (y - x)¦"(x) et ¦(x) ? ¦(y) + (x - y)¦"(y)

¦"(x)

-()()yx yx? ¦"(y) Donc

¦" est croissante et donc ¦ est convexe.

Notons que l"inégalité est tournée dans l"autre sens en cas de concavité.

II.6. Caractérisation 5

Soit ¦ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.

¦ est convexe sur I Û ¦"(x)

? 0 sur I Preuve : ¦ convexe sur I Û ¦" croissante sur I Û ¦" ? 0 sur I Et évidemment on a : ¦ concave sur I si et seulement si ¦" ? 0 sur I.

Exemples :

· La fonction exponentielle est convexe sur ?.

· La fonction ln est concave sur ]0 ; +¥[.

· La fonction sinus est concave sur [0 ; p[; la fonction cosinus concave sur [0 ; p

2] et convexe sur [

p

2; p].

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· Cas des fonctions puissances : ¦ : x ?xh pour h Î ]0 ; +¥[. ¦ est de classe C¥ et on a :

¦"(x) = h(h - 1) xh-2 "x > 0. D"où :

¦ convexe Û h

? 0 ou h ? 1

¦ concave Û h Î [0 ; 1]

Etc ...

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III. Quelques propriétés des fonctions convexes

III.1. Propriété

Soit ¦ une fonction définie sur ?, convexe, positive et admettant deux zéros distincts t1 < t2. Alors ¦ est nulle sur

[t1 ; t2].

Preuve :

Par l"absurde, si ¦ n"est pas nulle sur [t1 ; t2] alors $t Î [t1 ; t2] tel que ¦(t) > 0. Ce qui entraînerait :

jt(t1) = tttt-¦-¦11 = ttt-¦-1)( > 0 et jt(t2) = tttt-¦-¦22 = ttt-¦-2)( < 0 ce qui contredit II.2. ( jt croissante)quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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