NOTION DE FONCTION
4) On cherche la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle est la plus grande possible. Faire des essais pour différentes valeurs de x et présenter les
NOTION DE FONCTION
Avec une ficelle de longueur 10 cm on fabrique un rectangle. On désigne par x la longueur d'un côté de ce rectangle. a) Calculer l'aire du rectangle lorsque x
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
f(x)dx — mesure l'aire de la région du plan située entre l'axe des rectangle un disque
LES FONCTIONS : GENERALITES ET VARIATIONS
Avec une ficelle de longueur 10 cm on fabrique un rectangle. On désigne par x la longueur d'un côté de ce rectangle. a) Calculer l'aire du rectangle lorsque x
Seconde 2 2013-2014 Sujet 1 DST1 configurations du plan
18/11/2013 5) Justifier la formule donnant l'aire du rectangle AMNP en fonction de la largeur AM. Exercice 3 : (5 points).
calcul de laire dun parallélogramme en fonction des coordonnées
En trouvant les intersections M et N que font les droites (AC) et (BN) avec les axes (Ox) et. (O y) du repère on pourra calculer l'aire du rectangle qui sera
LA FICELLE
1) Calculer l'aire du rectangle pour x = 3 cm. 2) Exprimer l'aire du rectangle en fonction de x. 3) À l'aide du tableau de valeurs ci-dessous déterminer la
EP 010 - 2008 : Marche aléatoire
Aux yeux de cet élève la fonction « aire du rectangle » est une fonction polynôme du deuxième degré. Deux indices peuvent le convaincre que cette propriété
Exercice 1 On considère la fonction f dont limage dun nombre x est
Etablir le sens de variation de la fonction A. 4. En déduire la position du point M afin que l'aire du rectangle MNOP soit minimale. Correction 5.
Aire maximale dans un triangle
En posant BM = x l'aire f(x) du rectangle ANMP est une fonction du second degré. On dispose donc des méthodes classiques en Seconde par factorisation de
Jacques Feyder d'Epinay-sur-Seine (93)
enseignants : Marc Anquetil, Jean-PierrePerrin
chercheur : François Parreau Il est possible de calculer l'aire d'un parallé- logramme en le plaçant dans un repère, et en n'utilisant que les coordonnées de deux de ses sommets.On obtient alors une formule simple qui peut s'appliquer à tous les parallé- logrammes dont un autre des sommets est placé à l'origine.Première méthode.
Par différentes translations des côtés du parallélogramme étudié, on obtient un rec- tangle de même aire, mais dont deux des côtés reposent sur les axes du repère.En trouvant les intersections Met Nque font
les droites (AC) et (BN) avec les axes (Ox) et (O y) du repère, on pourra calculer l'aire du rectangle qui sera aussi celle de notre parallé- logramme. Posons M(x, 0) et N(0, y). En utilisant la règle du parallélogramme (i.e.OC=OA+OB), on peut exprimer les coordonnées du point Cen fonction de a, b, cet d: xC= a+ cet yC= b+ d. Cherchons à présent à exprimer les coeff i- cients directeurs des droites (A C) et (A M) afin de trouver x. Le coefficient directeur de (AC) est : et celui de (AM) : OA(a, b)
B(c, d)
x yC(xC , yC)C(xC , yC) OA(a, b)
B(c, d)
x yC(xC , yC)
OA(a, b)
B(c, d)
x y M N yC Ð b xC Ð a b a Ð x page 135ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
O r, comme A, Cet Msont alignés, on peut
poser l'égalité de ces coefficients directeurs : (yCÐ b)(aÐ x) = b(xCÐ a)En isolant x, on obtient :
ayCÐ xyCÐ ab+ bx= bxCÐ ab ayCÐ bxC= xyCÐ bx ayCÐ bxC= x(yCÐ b)D'où :
En remplaçant xCet yCpar les valeurs précé- demment trouvées, on obtient :Les coordonnées des points Met Nsont donc
D'où :
• On peut ainsi calculer les longueurs OMetON: OM= | x| et ON= | d| ;
• L'aire du parallélogramme OACBpeut donc être exprimée par le produit de ces deux lon- gueurs : AP= | x´d|.Et en remplaçant xpar sa valeur, on obtient : AP= | adÐ bc|.Deuxième méthode.
Toujours en translatant le parallélogramme
par deux fois pour le coller aux axes du repè- re, on obtient le rectangle de même aire :OMLN. Seulement, on ne connaît pas la lon-
gueur OM.En calculant l'aire du
grand rectangle O Q P N et en lui ôtant l'aire de la bande L P Q M, on obtient aussi l'aire deO M L N, soit l'aire du
p a r a l l é l o g r a m m e .Or on connaît l'aire de OQPNqui est AOQPN=ad. Il reste maintenant à lui ôter celle de LPQM, que nous appellerons M', et que nous allons calculer.Posons M=A' + A+C' et M' = A+A' + C.
Comme la diagonale (MS)
du parallélogramme LSRM coupe celui-ci en deux moitiés égales, on a :B' + C' + A' = A+ B+ C.
Or A' = Aet B' = B.Donc
C' = C.Ainsi M' = Met comme M=bc,M'
(qui est l'aire de LPMQ) est aussi égale à bc.Enfi, comme AP= AO Q P NÐ AL P Q M, on
obtient : AP= adÐ bc. yC Ð b xC Ð a = b a Ð x x = a yC Ð b xC yC Ð b x = a yC Ð b xC yC Ð b a b + d Ð b a + c b + d Ð b a b + a d Ð a b Ð b c d x = a d Ð b c d M a d Ð b c d ; 0 et N (0, d). OM a d Ð b c d 0 et ON 0 d. OM = a d Ð b c dC(xC , yC)
OA(a, b)
B(c, d)
x y M N QR PS L MQR SPA(a, b)
A A'C C' B B' d c b page 136ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
Troisième méthode.
Cette méthode plus géométrique permet
directement de donner la formule du parallé- logramme.En calculant l'aire du
grand rectangle (AG) passant par les som- mets du parallélo- gramme, et en luiôtant les aires des
petits triangles et rec- tangles, on obtient l'aire APde notre parallélogramme passant par les points A, Bet C.Soit l'aire du grand rectangle :
AG= ( a+ c)(b+ d)
La formule des deux rectangles et des quatre
triangles est : 2 bc+ cd+ ab. Ainsi :AP= AGÐ (2 b c + c d + ab)
= ( a+ c)(b+ d) Ð 2 bcÐ cdÐ ab = ab+ ad+ bc+ cdÐ 2 bcÐ cdÐ abAP= adÐ bc.
OA(a, b)
B(c, d)
x y Nb d ac page 137ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
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