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École polytechnique de l"Université de Nantes

Électronique etTechnologiesNumériques

Troisième année

2009-2010

Espaces de Hilbert et fonctions spéciales

Laurent Guillopé

Laboratoire de mathématiques Jean Leray

Département de mathématiques, UFR Sciences et techniques

Université de Nantes

TABLE DES MATIÈRES

Prologue.......................................................................... iii

1. Espaces de Hilbert............................................................ 1

1.1. Produit scalaire

1.2. Orthogonalité

1.3. Forme linéaire

1.4. Base hilbertienne

1.5. Exercices

2. Systèmes orthogonaux....................................................... 9

2.1. Exponentielles de Fourier

2.2. Polynômes de Legendre

2.3. Polynômes de Chebyshev

2.4. Fonctions d"Hermite

2.5. Système de Haar

.............................................................2 5

2.6. Exercices

3. Fonctions de Bessel........................................................... 30

3.1. Modélisation dans un domaine circulaire

.....................................30

3.2. Les fonctions de Bessel

3.3. Développements en série de Fourier-Bessel

...................................35

3.4. Exercices

A. La fonction Gamma d"Euler.............................................. 39 Index.............................................................................. 40

LISTE DES FIGURES

1 Géométrie euclidienne dans un espace de Hilbert : identité du parallélogramme,

relation de Pythagore, projection d"un point sur un convexe fermé. ..............4

2 Les fonctions cos/sinusoïdalesEnsur[0;1]pourn= 0;:::;20..................10

3 Approximations de la fonctiong1définie sur[0;1]parg1(t) =tsit <

1=2etg1(t) =t1sit1=2par les sommes partielles de Fourier

1P

12k1N(1)k+1k1sink2tpourN= 2;6;10;14;18;22;50;100..........11

4 Les polynômes de LegendreLnsur[1;1]pourn= 0;:::;20...................14

5 Approximations de la fonctionf1définie sur[1;1]parf1(t) =tsijtj<1=2et

f

1(t) =tsgn(t)sijtj 1=2par la somme de polynômes de LegendrePN

n=0(n+

1=2)`n(f1)LnpourN= 2;6;10;14;18;22;50;100................................17

6 Les polynômes de ChebyshevTnsur[1;1]pourn= 0;:::;20.................19

7 Approximations de la fonctionf1définie sur[1;1]parf1(t) =tsijtj<1=2

etf1(t) =tsgn(t)sijtj 1=2par la somme de polynômes de ChebyshevPN n=0tn(f1)TnpourN= 2;6;10;14;18;22;50;100...............................21

8 Les fonctions d"Hermitehnpourn= 0;:::;19..................................22

9 Approximations surRde la fonctionf1à support[1;1]et telle quef1(t) =tsi

jtj<1=2etf1(t) =tsgn(t)sijtj 1=2par la somme de polynômes d"HermitePN n=0kHnk2hfT;HniHnpourN= 2;6;10;14;22;50;100;200;400,700;1000....24

10 Les ondelettes de Haar'; , ainsi que'`;m; `;m................................25

11 Les fonctions de BesselJn;n= 0;1;2;3;4sur l"intervalle(0;25).................31

12 Les fonctions de BesselYn;n= 0;1;2;3;4sur l"intervalle(0;25).................34

13 Les fonctions de BesselJ0(x0nt);t2[0;1]pourn= 0;:::;20....................36

14 Approximations de la fonctionf1définie sur[0;1]parf1(t) =tsit <1=2et

f

1(t) =t1sinon, par la somme de fonctions de Bessel (46) tronquée à l"ordre

NpourN= 2;6;10;14;18;22;30;50............................................36

PROLOGUE

Le titre général de ces notes insiste sur le point de vue de l"approximation en moindres carrés d"une fonction, via sa représentation par une série dans un espace de Hilbert f= limN!1N X n=0hf;enien avec fNX n=0hf;enien 2 =1X n=N+1jhf;enij2!N!10: La famille(en)n2N, un système orthonormé de fonctions, sera tour à tour celle des expo- nentielles de Fourier, et leurs compagnonssinetcos, celle de polynômes de divers types (Legendre, Chebyshev, Hermite), puis celle de fonctions de Bessel. Celle des fonctions de Haar est aussi brièvement évoquée, vu l"importance de ses descendantes dans la théorie des ondelettes.

Le cadre géométrique des séries précédentes est celui de la géométrie euclidienne (celle

du plan ou de l"espace physique) en dimension infinie (le domaine de l"analyse), qui mêle

formules de Pythagore de la géométrie élémentaire et complétude de l"analyse fonction-

nelle : c"est la théorie des espaces de Hilbert dont les résultats de base sont exposés dans

le premier chapitre. Les deux chapitres suivants se concentrent sur les familles particulières de fonctions donnant des bases orthonormées. Leur caractère de catalogue aurait pu imposer le titre

général deFonctions spécialesau lieu de la référence hilbertienne (qui ne couvre pas les

résultats plus subtils de convergence simple) : pourquoi ces choix, et pas d"autres, tant les fonctions spéciales sont nombreuses? Sans risque d"erreur, on peut dire que ce sont les fonctions qui apparaissent le plus fréquemment dans les sciences de l"ingénieur, après les fonctions exponentielle, logarithme, sinusoïdales : par ex., les fonctions de Bessel ap- paraissent lors de l"étude des fonctions radiales (pour le calcul de leur transformée de Fourier, pour l"expression du Laplacien en coordonnées polaires et la séparation des va- riables exposée au début du chapitre 3), les polynômes de Legendre sont aussi intimement liés à l"analyse de fonctions dans l"espaceR3comme par exemple la formule (20) pour le

dipôle ou les harmoniques sphériques de la sphèreS2à l"instar des fonctions sinusoïdales

sur le cercleS1du plan.

L"étude de, et les résultats sur, ces fonctions spéciales sont emmêlés, comme l"exprime

par exemple parfaitement la décomposition ( 21
) attribuée à Rayleigh de l"onde planeejhk;ri de vecteurk2R3 e jhk;ri=X n0(2n+ 1)jnr 2 J n+1=2(kkkkrk)pkkkkrkL nhk;rikkkkrk ;r2R3:

PROLOGUEv

en série de polynômes de LegendreLn, avec les amplitudes exprimés en terme de fonctions de BesselJn+1=2d"ordre demi-entier.

L"examen des graphes des diverses familles (Fig.

2 4 6 8 13 ), et des approximations des fonctions en dent de scie classique (Fig. 3 5 7 9 14 ) montre par ailleurs toute la si- milarité des approximations. Si les démonstrations pour les exponentielles sont classiques (et aisées), les résultats sont repris quasiment mot pour mot pour les familles de poly- nômes ou de fonctions de Bessel : ces notes auraient pu être intituléesDéveloppements de Fourier-Legendre-Chebyshev-Hermite-Bessel! Aussi simples soient-ils, ces résultats re- quièrent pour leur preuve des résultats fins de la théorie moderne,i. e.lebesguienne, de l"intégration (ne serait-ce que la définition de l"espaceL2(I)associé à un intervalleIde

R) : le lecteur intéressé est renvoyé au coursLinéarité et convergencesqui indique au long

d"un bref aperçu de cette théorie quelques résultats utilisés sans vergogne ici. Ces fonctions classiques ont été introduites et étudiées il y a bien longtemps : Bessel, Chebyshev, Hermite, Legendre sont des mathématiciens du XIXe siècle (à l"habitude, l"Index de la version en ligne renvoie pour les mathématiciens cités dans le texte à leurs notices de l"encyclopédie biographiqueMacTutor history of mathematics archivede J. J. O"Connor et E. F. Robertson de l"Université de St Andrews, Écosse). Avec la disponibilité des ordinateurs et de leurs bibliothèques de programmes scientifiques (C,maple,matlab,

scilab,...), le scientifique ou l"ingénieur du XXIe siècle ont un accès commun et aisé à

ces fonctions classiques.

Nantes, le 3 janvier 2010

Laurent Guillopé

laurent.guillope@univ-nantes.fr

CHAPITRE 1

ESPACES DE HILBERT

Un espace de Hilbert est un espace normé complet, non nécessairement de dimension finie, dont la norme dérive d"un produit scalaire comme la norme euclidiennejj jj2de R n, ce qui lui confère une géométrie euclidienne qui permet de généraliser simplement certaines propriétés de la dimension finie. L"archétype des espaces de Hilbert (non de dimension finie) est l"espace des suites dénombrables (i. e.indexée parNou, par une bijection convenable, parZ)

2(N) =fu= (un)n2N2CN;X

n2Njunj2<1g avec produit scalaire défini par (1)hu;vi=X n2Nu nv n; u;v2`2(N) et normejj jj2par kuk2=sX n2Njunj2; u2`2(N): Soit, pourk2N, la suiteekde`2(N)dont le seul coefficient non nul est lek-ème valant1. Toute suiteu= (un)n2Nde`2(N)avec un nombre fini de coordonnéesunnon nulles peut

être exprimée suivantu=P

k2Nukek, aveckuk22=P k2Njukj2=P k2Nhu;eki2. De telles sommes gardent un sens comme série pour des vecteurs quelconquesu2`2(N), justifiant le qualificatif de base orthonormée pour la famille(en)n2N. C"est ce que développe ce chapitre.

1.1. Produit scalaire

Définition 1.1.Un pro duitscalaire sur l"espace v ectorielEcomplexe(1)est la donnée d"une application deE2dansCdont l"image de(u;v)2E2dansCest notéehu;vi vérifiant les propriétés p ourvfixé, l"applicationu! hu;viest linéaire, -hu;vi=hv;uipour toutu;v2E,

-hu;ui>0pour tout vecteurunon nul.1. Si l"espaceEest réel, le produit scalaire est une fonction à valeurs réelles. Pour un espace de Hilbert

complexe, on précise souventproduit scalaire hermitien.

2CHAPITRE 1. ESPACES DE HILBERT

.Exemple 1.1.L"espace C([0;T])est muni du produit scalaire /hf;gi=1T Z T 0 f(t)g(t)dt; f;g2 C([0;T]): Proposition 1.1.SoitEespace vectoriel muni du produit scalaireh;i. La fonction jj jj

2définie parkuk2=phu;ui;u2Eest une norme surE,lanorme dérivant du

produit scalaireh;i. Démonstration. -Le p olynômedu second degré en 2R T u;v() =ku+vk22=hu+v;u+vi=2hu;ui+(hu;vi+hv;ui) +hv;vi =kuk222+ 2i. e.l"inégalité triangulaire exigée comme une des propriétés de la fonction norme, les

autres propriétés (homogénéité, positivité et caractérisation du vecteur nul comme seul

vecteur de norme nulle) étant vérifiées aisément.4Remarque 1.1.P ourxetyvecteurs quelconques deE, on a l"égalitékx+yk2+kx

yk2= 2kxk2+ 2kyk2, dite du parallélogramme.5 Définition 1.2.Un espace de Hilbertest un espace normé(E;jj jj)dont la normejj jj dérive d"un produit scalaire surEet qui est complet relativement à cette norme.

4Remarque 1.2.Un espace normé (E;jj jj)est dit complet si toute suite de Cauchy y

est convergente. C"est équivalent au fait que toute sérieP k2Nvkabsolument convergente (i. e.P k2Nkvkk) est convergente5 .Exemples 1.2. 1.

L"espace `2(N)est un espace de Hilbert.

Complétude de`2(N). -Soit (uk)k2Nune suite de Cauchy dans`2(N). On auk= (ukn)n0oùuknest

un complexe. Pour toutp;q, on ajupnuqnj kupuqk2, ainsi, ànfixé la suite de complexes(ukn)k2Nest de Cauchy : soitu1nsa limite etu_inftyla suiteu1= (u1k)n2N. Soit" >0etKtel que si

k;` > Kon akuku`k2". On a donc pour toutN, N X n=0jupnuqnj2 kuku`k2"2: En passant à la limite lorsque`! 1, on obtientPN n=0juknu1nj2"2;puis en faisantN! 1,P1 k=0juknu1nj2"2. On en déduit que la suiteu1est dans`2(N), puis quekuku1k ". On vient

donc de montrer queu1= limk!1uk, d"où la complétude annoncée.2.L"espace `f(N), muni du produit scalaire (1) (où la somme est toujours finie) n"est

pas complet : en effet la suite(xk)k1telle quexkn= 1=(n+ 1)sinket zéro sinon est une suite de Cauchy, qui n"est pas convergente dans`f(N).

1.2. ORTHOGONALITÉ3

3. L"espace (C([0;1]);jj jj2)de l"exemple1.1 n" estpas complet. La suite (gn)n2Ndéfinie par g n(t) =8 :0;si0t1=2, n(t1=2);si1=2t1=2 + 1=n,

1;si1=2 + 1=nt <1,

est de Cauchy sans être convergente dans cet espace normé. 4. L"espace L2(0;T)des fonctionsfsur(0;T)de caré intégrable,i. e.RT

0jf(t)j2dt <1,

muni du produit scalaire hg1;g2iT=1T Z T 0 g 1(t)g

2(t)dt; g1;g22L2(0;T)

est un espace de Hilbert, dont la norme d"un vecteurf, unefonction de carré in- tégrable, sera notéekfkL2(0;T)ou simplementkfk2. Cet Hilbert contientC([0;T]) comme sous-espace dense. Son sous-espace eC([0;T])des fonctions telles quef(0) = f(T)et dont le prolongementT-périodique àRest continu, l"est aussi : il contient le sous-espace des polynômes trigonométriques comme sous-espace dense./

1.2. Orthogonalité

Définition 1.3.Deux v ecteursuetvde l"espaceEsont ditsorthogonauxsihu;vi= 0. Une famille(ei)i2Ide vecteurs deEest diteorthogonalesi tous les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, elle est diteorthonorméesi elle est orthogonale, avec tous ses vecteurs unitaires. SoitAune partie deE. Son orthogonal, notéA?, est la partie définie par A ?=fu2E;hu;ai= 0;a2Ag:

4Remarque 1.3.Si uetvsont orthogonaux, alors on a la relation de Pythagore

ku+vk2=kuk2+kvk2: Cette égalité, ainsi que l"égalité du parallélogramme de la Rem. 1.1 , ne sont nullement valables pour une norme en général, comme on le vérifie en particulier pour les normes jj jj

1etjj jj1telles que

kzk1=nX i=1jzij;kzk1= sup i=1;:::;njzij; z2Cn: On vérifie simplement que l"orthogonalA?d"une partieAest un sous-espace vectoriel deE.5 Introduisons deux notions nécessaires au théorème de projection illustré dans sa version plane par la Fig. 1 Définition 1.4.La partie Fde l"espace vectoriel normé(E;jj jj)est diteferméesi toute suite convergente d"éléments deEa sa limite dansE. .Exemples 1.3. 1. Ni Q, ni son complémentaireRnQ, ne sont fermés dansR.

4CHAPITRE 1. ESPACES DE HILBERT

2. En dimension finie, un sous-espace v ectorielde Eest fermé, alors qu"en dimension infinie rien ne peut être dit a priori : le sous-espace`f(N)de`2(N)n"est pas fermé, alors que le sous-espace`N(N)des suites de`2(N)dont les termes sont tous nuls à partir du rangN(compris) en est un. 3. La b oule(ouv erte)Bjj jj(v;r) =fkxvk< rjgn"est pas fermée : son complé- mentaireEnBjj jj(v;r)est fermé, de même que la boule (fermée)B jj jj(v;r) = fjwvk r;w2Eg:/ Définition 1.5.Une partie Cde l"espace vectorielEest diteconvexesi pour tous vec- teursu;vdeE, le segment[u;v] =fu+(vu) :2[0;1]gest contenu dansC. .Exemple 1.4.Une b oule(ouv erteou fermée) est con vexe,de même que tout sous- espace linéaire./x yx+yxyu v u+vu vwC Figure 1 .Géométrie euclidienne dans un espace de Hilbert : identité du paral- lélogramme, relation de Pythagore, projection d"un point sur un convexe fermé.

Théorème

1.1.SoitCune partie fermée convexe d"un espace de HilbertE. Alors, pour

toutu2E, il existe un unique vecteurvdeCtel quekuvk= infw2Ckuwk. Pour un telv, on a4= 1, le vecteurw"=v+"west dansFet les quatre inégalités

donnent l"égalitéhuv;wi= 0, ce qui exprime l"orthogonalité deuvetF.4Remarque 1.4.Le corollaire précéden tdonne la solution géométrique de problèmes

de minimisation. Par ex., sifest un élémentL2([0;1]), chercher à minimiser le défaut kfPkdefà être un polynôme de degré au plusnrevient à prendre la projection orthogonalen(f)defsur le sous-espacePndes polynômes de degré au plusn:

5kfn(f)k2= infP2PnkfPnk2= infa

0;:::;ankfa0a1t:::antnk2:

1.4. BASE HILBERTIENNE5

1.3. Forme linéaire

Sivest un vecteur d"un espaceEmuni d"un produit scalaire, alors l"applicationu2 E! hu;vi 2Cest linéaire continue, vu quejhu;vij kvkkuk. La réciproque est vraie dans un espace de Hilbert, au sens où toute forme`(i. e.une application linéaire `:E!C) est représentée de cette manière. Théorème 1.2(Fischer-Riesz).SoitEun espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire continue`surE, il existe un unique vecteurvdeEtel que`(u) =hu;vi;u2E.

Démonstration. -L"unicité d"un vrésulte du fait que sihw;ui= 0pour toutu2E, alors le vecteurwest

nul. Reste donc à prouver l"existence. Si la forme`est nulle, on peut prendrev= 0. Sinon, le sous-espace

K=fv2E;`(v) = 0gn"est pasEtout entier. Soitu0un vecteur hors deK, qu"on peut supposer être dans K

?quitte à soustraire àu0son projeté orthogonal surK. Alors, tout vecteurus"écrit comme somme

u= uhu;u0ihu0;u0iu0 +hu;u0ihu0;u0iu0; où le premier terme est dansK. Ainsi, son évaluation par`est celle du dernier terme, soit `(u) =hu;u0ihu0;u0i`(u0) =hu;`(u0)hu0;u0iu0i:1.4. Base hilbertienne La définition suivante généralise les repères orthonormés du plan ou de l"espace Définition 1.6.Soit Eun espace de Hilbert. La famille orthonormée(en)n2Nest une base orthonorméedeEsi tout vecteurvest somme d"une sérieP n2Nxnen,i. e. lim N!1 vNX n=0x nen = 0: Les complexes(xn)n2Nsont appelées les coordonnées du vecteurvdans la base(en)n2N et on écrit v=X n2Nx nenou1X n=0x nen: .Exemple 1.5.Dans l"espace `2(N), la famille(en)n2N, oùenest la suite de`2(N)dont le seul coefficient non nul est len-ème valant1, est une base orthonormée./

On a le théorème d"existence

Théorème

1.3.SoitEun espace de Hilbert séparable non de dimension finie. AlorsE

admet une base orthonormée. Démonstration. -Le princip ede la construction est simple. On définit une suite de vecteurs unitaires par récurrence. On prend tout d"abord un premier vecteur unitaire,

soite1. Puis,e1;:::;enétant construit, on considère un vecteuren+1de l"orthogonalV?ndu sous-espaceVn=fx1e1+:::+xnen;xi2C;i= 1;:::;ngengendré par lese1;:::;en.

Si une telle construction ne peut aller au delà du rangN, c"est queVN=EetEest de dimension finie, ce qui est impossible. Sinon elle se poursuit à l"infini. Un argument convenable permet de conclure (on utilise ici l"hypothèse de séparabilité de l"espace).

6CHAPITRE 1. ESPACES DE HILBERT

.Exemple 1.6.La famille des exp onentielles(e2jnt=T)n2Zest une famille orthonormée deL2([0;T]), ainsi que la famille(1;(p2cos(2nt=T);p2sin(2nt=T))n2N)déduite par combinaisons linéaires finies de la première. On montre que ce sont des bases orthonormées deL2([0;T]): le sous-espace qu"elles engendrent y est dense. Ainsi, sicn(g);an(g);bn(g)sont les coefficients de Fourier deg c n(g) =1T Z T 0 f(t)e2jnt=Tdt; n2Z; a n(g) =1T Z T 0 f(t)p2sin(2nt=T)dt; n2N; b n(g) =1T Z T 0 f(t)p2cos(2nt=T)dt; n2N; on a la décomposition suivant ces bases g(t) =X n2Zc n(g)e2jnt=T(4) =c0(g) +X n2Nh a n(g)p2sin(2nt=T) +bn(g)p2cos(2nt=T)i Proposition 1.2.SoitEun espace de Hilbert muni d"une base orthonormée(en)n2Net vun vecteur deE. Alors, les coordonnées devdans la base(en)n2Nsont données par les produits scalaireshv;eni, soit v=X n2Nhv;enien; et on a l"égalité de Parseval (dite parfois Bessel-Parseval ou Fourier-Parseval) (5)kvk2=X n2Njhv;enij2: Démonstration. -Soit vun vecteur deEde coordonnées(xn)n2NPar continuité de la forme linéairev! hv;emi, on a < v;e m>= limN!1hNX n=0x nen;emi=xm:

L"application de Pythagore donne

PN n=0hv;enien2=PN n=0jhv;enij2. D"après l"inégalité triangulairekvk PN n=0hv;enienvPN n=0hv;enien, on a donc kvk N X n=0hv;enien !0

lorsqueN! 1. L"égalité de Parseval s"en déduit..Exemple 1.7.Con tinuantl"exem pleprécéden t,la relation de P arsevalprend la forme

/kgk22=X n2Zjcn(g)j2=jc0(g)j2+X n2Njan(g)j2+jbn(g)j2:

1.5. EXERCICES7

4Remarque 1.5.Le Cor. 1.1 prend une forme explicite si Fest muni d"une base

(ej)j2J: le projetévdeusurFest donné par v=X j2Jhu;ejiej: Il suffit de remarquer queu?=uvest orthogonal àF:uadmet la décomposition u=v+ (uv)dansE=FF?.5

1.5. Exercices

E1.1. SoitEun espace de Hilbert. (a) Si le produit scalaire est symétrique, montrer que kx+yk2 kxyk2= 4hx;yi; x;y2E; alors que si le produit scalaire est hermitien (i. e.hx;yiest complexe ethx;yi=hy;xi), alors kx+yk2 kxyk2+ jkx+ jyk2jkxjyk2= 4hx;yi; x;y2E: (a) Démontrer l"identité d"Apollonius : kzxk2+kzyk2=12 kxyk2+ 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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