Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et PDF

VARIATIONS DUNE FONCTION

2 sur 11. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Définitions : Sur un intervalle . - une fonction est croissante

SECOND DEGRÉ (Partie 1)

- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -

GENERALITES SUR LES FONCTIONS

2 est un antécédent de –15. Définition. Pour une fonction f(x) donnée on appelle ensemble de définition l'ensemble D des valeurs de x pour.

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

On considère la fonction définie sur ? par ( ) = 2( ? 2)( + 4). Déterminer : a) l'intersection de la courbe de avec l'axe des abscisses b) son

Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 0 + (2 ? 2x0)u + (1 ? 2y0)v +. ? u2 + v2?(u v). 1.3 Gradient. Définition 1.5 Soit f une fonction de deux variables

Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et

Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : a. f(x) = 2. Même question pour la fonction f définie par.

SECOND DEGRÉ (Partie 1)

- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -

LA DÉRIVÉE SECONDE

Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède une

Rappels de seconde sur les fonctions

Pour une fonction f donnée on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

On a : a = 3 b = -5 et c = -2. On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'

UniversitéClaudeBernard,Ly on1LicenceSciences &Technologies

43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalyse1-Automne 2014

Séried'exercices n

o 2

Lesfonctions

Exercice1:images etantécédents

Onconsidèrel'application

f:R!R x"!|x|.

1.Déterminerlesimagesdirectes suivantes :

a.f({#1,2}),b.f([#3,#1]),c.f([#3,1]).

2.Déterminerlesimages réciproquessuiv antes:

a.f !1 ({4}),b.f !1 ({#1}),c.f !1 ([#1,4]).

Exercice2:domaine dedéfinition

1.Calculerle domainededéfinitiondesfonctionsfdéfiniesdela façonsui vante:

a.f(x)= 5x+4 x 2 +3x+2 ,b.f(x)= x+ 3 x,c.f(x)= 4 x 2 #5x.

2.Donnerle domainededéfinition etl'imagedirecte decesdomaines parlesfonctions f

suivantes a.f(x)= 4#3x 2 ,b.f(x)= 1 x+1 ,c.f(x)=1+sin(x),d.f(x)=tan(2x).

Exercice3:parité

1.Aprèsav oirdonnéleurdomainededéfinition,diresiles fonctionsfdéfiniesdela façon

suivantesontpaires,impairesounil'une nil'autre. a.f(x)=2x 5 #3x 2 +2,b.f(x)=x 3 #x 7 ,c.f(x)=cos(x 2 ),d.f(x)=1+sin(x).

2.Mêmequestion pourlafonctionfdéfiniepar

f(x)= xsin( 1 x 1#x 2

3.Onconsidèrel afonctionf:x"!x

2 +2x#3. Aprèsav oirdéterminésonensemblededéfinition,montrer quelacourbe représentative C f defpossèdeunax ede symétriequ'ilfaudracalculer. 1

4.Mêmequestion aveclafonction g:x"!sin(x)+

1 2 cos(2x).

5.Onconsidèrel afonctionf:x"!

x 2 #4

2(x#1)

Aprèsav oirdéterminésonensemblededéfinition,montrerquela courbereprésentativ eC f defpossèdeuncentre desymétriequ'il faudracalculer .

6.Mêmequestion avecg:x"!#x

3 +3x+4.

Exercice4:vraiou faux

Diresiles propositionssuiv antessontvraies oufausses. Siellessontvraies,leprouver. Sielles sontfausses donneruncontreexemple.

1.Soientf:R!Runefonction,et u,v%R.Ona alors

(siu2.Soientf:R!Runefonctionet k%R.On supposeque pourtout!>0,|f(x)#k|&!, alorsfestconstanteet f(x)=kpourtoutx%R.

3.Lacomposéede deuxfonctions impairesestune fonctionimpaire.

4.SoientEunepartie deRetf:E!Runefonctionimpa iresurle domaineD.Alors

nécessairement,Dcontient0etf(0)=0 .

5.Soitf:R!Runefonction impairesurRetcroissante surR

.Alorsnécessairement f estcroissante surRtoutentier.

6.SoientEunepartiede Rsymétriqueparrapport à0etf:E!Runefonctionbijecti veet

impairesurle domaineE.Alorssa bijectionréciproquef !1 estimpairesur f(E).

7.Soientfetgdeuxbijectionsd'un ensembleEdanslui-même. Onditque xestunpoint

fixedeEpourflorsque f(x)=x.

Onnoteh=g'f.Quellesaf firmationssont vraies?

(a)hestune bijectiondeEdanslui-même. (b)Sifpossèdeunpoint fixeet gpossèdeunpoint fixe,alors hpossèdeunpoint fixe. (c)Sihpossèdeun pointfixe alorsgetfpossèdentunpoint fixe. (d)h !1 =f !1 'g !1

8.Soientf:E!Fetg:F!Gdeuxapplications.On noteh=g'fetUunepartiede

G.Quellesaf firmationssont vraies?

(a)Sifetgsontinjectiv esalorshestinjectiv e. (b)Sifetgsontsurjectiv esalorshestsurjecti ve. (c)hestuneapplication deEdansG. (d)h !1 (U)=f !1 (g !1 (U)). 2

Exercice5:injectif ,surjectif, bijectif?

1.Lesapplications suivantessont-ellesinjectiv es,surjectivesoubijectives?

1. f:N!N n"!n+1, 2. g:Z!Z n"!n+1, 3. h:R!R x"!x 2

2.Soitf:R!Rdéfiniepourtout x%Rparf(x)=

2x (1+x 2 (a)fest-elleinjectiv e?Surjective? (b)Montrerque f(R)=[#1,1]. (c)Montrerquela restrictiong=f| [!1,1] estunebijection.

Exercice6:composition

1.Donnerledomaine dedéfinitionainsi quelaforme delafonction f'g,g'f,f'fetg'g

pourlesfonctions fetgdéfiniesdela façonsui vante: (a)f(x)=2x 2 #x,g(x)=3x+2, (b)f(x)=1#x 3 ,g(x)= 1 x (c)f(x)=s in( x),g(x)=1# x, (d)f(x)=

2x+3,g(x)=x

2 +2.

2.Donnerledomaine dedéfinition ainsiquela formedela fonctionf'g'hpourlesfonctions

f,gethdéfiniesdela façonsui vante: (a)f(x)=x+1,g(x)=2x,h(x)=x#1, (b)f(x)= x#1,g(x)=x 2 +2,h(x)=x+3, (c)f(x)= 2 x+1 ,g(x)=cos(x),h(x)= x+3.

3.Donnerledomaine dedéfinition desfonctionsFsuivantesetlesmettresouslaforme f'g

oùfetgsontàdéfinir . (a)F(x)=sin( x), (b)F(x)= x 2 x 2 +4

4.Vérifiersi lesaffirmations suivantes sontvraiesounon:

(a)Sigestunefonction paireet h=f'galors,hestaussiune fonctionpaire. (b)Sigestunefonction impaireet h=f'galors,hestaussiune fonctionimpaire.

Exercice7:défis

1.Soitf:[0,1]![0,1]telleque

f: x,six%[0,1](Q,

1#x,sinon.

Démontrerquef'f=Id

[0,1]

2.Soitf:I!Iuneapplication,a vec Iuninterv alledeRtellequef=f'f'f.

Montrerquefestinjecti vesietseulementsielleestsurjecti ve.

3.Soitf:I!Iuneapplication,a vec Iuninterv alledeRtellequef=f'f.

Montrerquesi festinjectiv eousurjectivealorsf=Id

4.SoientIetJdeuxintervalles deR.Onconsidère f:I!Jetg:J!Ideuxapplications

tellesqueg'f'g'festsurjectiv eetf'g'f'gestinjectiv e.

Montreralors quefetgsontbijectiv es.

5.(a)Montrerquepour tousaetb%R,4ab&(a+b)

2 (b)Déterminerlesdomainesde définitiondesfonctions f(x)= x(x#1)+1 etg(x)=2 (x#1)(x#2)+3 , quel'onnote D f etD g f )etdefg(D g (d)Montrerqueg'festbiendéfinie surD f .Qu'enest-il pourf'g?

6.Onconsidèredeux fonctionfetgdéfiniesurIàvaleurs dansJoùIetJsontdeux

intervallesdeR.Onsuppose quefetgsontbornées.On définitlesparties positiv eset etf ,lesfonctions positiv esdéfiniesde lafaçon suivante: f =sup x"I (f,0)etf =sup x"I (#f,0).

Montrerlesrésultats suivants :

(a)sup x"I (f,g)=f+(g#f) (b)inf x"I (f,g)=g#(g#f) (c)f=f #f (d)|f|=f +f 4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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