Traitement dimages et théorie des fonctions de croyance Image PDF

CHAPITRE 10 : NOTION DE FONCTION

[3.110] Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe un tableau de données ou une formule. •. [3.111] Connaître et utiliser le

Les fonctions de limage

Descriptive : représentation réaliste. Ex : une action sportive. Page 2. Les fonctions de l'image. 2. Attestatrice : le fait a bien eu lieu témoignage. Sert à

Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et

Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : de définition et l'image directe de ces domaines par les fonctions f.

Image des intervalles

Théor`eme. Soit f une fonction continue et I un intervalle contenu dans DDf . Alors f (I) est un intervalle. Autrement dit l'image d'un intervalle par une

Série dexercices no Les fonctions Exercice 1 : images et

f(x) = 4 px2. 5x . 2. Donner le domaine de définition et l'image directe de ces domaines par les fonctions f suivantes a. f(

LAFFICHE PUBLICITAIRE ET SES COMPOSANTES:

D'un point de vue sémiologique l'image accomplit trois fonctions: ? la fonction symbolique en suggérant la représentation d'un objet

On veut calculer limage du nombre (-5). Pour cela on remplace x

Calculer une image : Calculer l'image de (-5) par la fonction f définie par : f(x) = 2x² + 3x ? 4.

LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

La fonction inverse est impaire. Méthode : Calculer une image ou un antécédent par la fonction inverse. Vidéo https://youtu.be/gHDcYSHfSlk.

Traitement dimages et théorie des fonctions de croyance Image

Belief functions Image processing

GENERALITES SUR LES FONCTIONS

Lecture graphique d'images et d'antécédents : • Pour déterminer l'image de x par f on place x en abscisse puis on lit l'ordonnée sur la courbe. • Pour

Traitement d"images et théorie des fonctions de croyance

Image processing and belief functions theory

P. Vannoorenberghe

E. Lefevre

O. Colot

Laboratoire Perception Systèmes Information, FRE 2645 CNRS Université de Rouen, Place Emile Blondel, 76821 Mont Saint Aignan cedex

Patrick.Vannoorenberghe@univ-rouen.fr

Laboratoire de Génie Informatique et d"Automatique de l"Artois Université d"Artois, FSA Technoparc Futura, 62400 Béthune cedex

Eric.Lefevre@iut-geii.univ-artois.fr?

Laboratoire d"Automatique I3D, FRE 2497 CNRS

Université des Sciences et Technologies de Lille, Batîment P2, 59655 Villeneuve d"Ascq cedex

Olivier.Colot@univ-lille1.fr

Résumé :

Dans ce papier, quelques applications de la théoriedes fonctions de croyance en traitement d"images sontprésentées. La segmentation d"images couleur est tout

d"abord abordée sous la forme d"un problème de clas- sification pixellaire. L"idée consiste à construire une par- tition de l"ensemble des données dans l"espace colorimè- trique. L"algorithme proposé tend à stabiliser cette parti- La règlechoisieest l"extensionauxfonctionsdecroyance

des?plus proches voisins permettant ainsi d"obtenir unepartition crédale. Nous présentons ensuite un filtre deconvolution crédale. Ce filtre peut être utilisé pour dif-

férentes opérationsnotammenten filtrage d"imagesou en détection de contours. Enfin, nous illustrons l"utilité de la théorie des fonctions de croyance dans le cadre de la segmentation d"images couleur.

Mots-Clés :

Fonctions de croyance, Traitement d"images, classifi-cation évidentielle, segmentation, convolution.

Abstract:

In this paper, we present several applications of belieffunctionsto imageprocessing.Colorimage segmentationis first formalized as a pixel classification problem. Theidea consists in making a partition of a data set in the co-

lor space. The proposed algorithm leads to stabilize ite- ratively this partition towards a decision rule. We choose

the extension of?nearest neighbors to belief functionsin order to obtain a credal partition. We present finally acredal convolution filter. This filter can be used to seve-ral image processing operations including noise filteringand edge detection. Utility of belief functions is illustra-ted within the framework of color image segmentation.

Keywords:

Belief functions, Image processing, evidential cluste- ring, segmentation, convolution.1 Introduction La théorie des fonctions de croyance (ou théo- rie del"évidence) estfondée surlestravauxd"A. Dempster [3] puis a été formalisée par G. Sha- fer [9]. Cette théorie est à l"heure actuelle em- ployée dans des domaines divers : fusion multi- capteur, reconnaissance des formes, fusion de classifieurs. De plus, elle est considérée comme un cadre fédérateur des mesures de confiance.

Tandis que les fonctions de croyance sont mal-

heureusement peu utilisées dans le domaine du traitement et de l"analyse d"images [2, 11, 8], les applications des différentes théories de l"im- précis et de l"incertain(probabilités,possibilités et sous-ensembles flous) sont nombreuses [1].

Ce papier présente quelques applications de

la théorie des fonctions de croyance en traite- ments d"images. Dans un premier temps, les concepts de base sous-jacents à la théorie sont présentés (section 2). Nous nous intéressons en- suite au problème classique de la segmentation d"images et au cas particulier des images cou- leur. Le problème peut être vu sous la forme d"un problème de classification. Dans la sec- tion 3, un algorithme de classification éviden- tielle, qui s"appuie sur le principe de stabili- sation d"une partition d"un ensemble de don- nées vis-à-vis d"une règle de décision, est pré- senté. La règle choisie est l"extensiondes?plus proches voisins aux fonctions de croyance pro- posée par T. Denoeux dans [4]. Dans la sec- tion 4, un filtre de convolution crédale, qui peut être utilisé pour différentes opérations de traite- ment d"images, est proposé. Nous verrons com- mentcefiltre peutêtreemployédansledomaine du traitement d"images. Quelques résultats de segmentationsur des images synthétiqueset na- turelles sont enfin présentés dans la section 5.

2 Concepts de base

Dans cette section, nous rappelons brièvement

quelques concepts de base de la théorie des fonctions de croyance ainsi que la définition d"une partition crédale. Le point de vue du mo- dèle des croyances transférables [10] est adopté dans cet article. Celui-ci distinguedeux niveaux de traitement de l"information : le niveau crédal où les croyances sont manipulées et le niveau pignistique utilisé lors du processus de prise de décision. La définition d"une partition crédale d"un ensemble de données vient conclure cette section.

2.1 Niveau crédal

Soit ?un ensemble fini, généralement appelé cadre de discerne- ment. Une fonction de croyance ???est une me- sure floue non additive de ?dans?????définie par : où ?, appelé généralement jeu de masses, est une fonction de ?dans?????qui vérifie :

Chaque sous-ensemble???tel que??????

est appelé élément focal de?. Ainsi, la masse ????représente le degré de croyance attribué à la proposition ?et qui n"a pas pu, compte tenu de l"état de la connaissance, être affectée à un sous-ensemble plus spécifique que ?. Un jeu demasse ?tel que??????est appelé normal. Cette condition a été initialement imposée par Shafer [9] mais peut être relaxée si l"on accepte l"hypothèse du monde ouvert qui postule pour la non-exhaustivitédu cadre de discernement

Tirés des travaux de Shafer [9], les fonctions

de croyance sont de nos jours reconnues pour la modélisationdes informationsincertaines (de l"ignorance totale à la connaissance complète).

Ainsi, une situation d"ignorance complète cor-

respond à la fonction de croyance vide définie par ??????. La connaissance parfaite sera représentée par une fonction de croyance cer- taine c"est-à-dire une fonction où la totalité de la masse est allouée à un singleton unique de ?. Un autre cas particulier peut être rencontré lorsque les éléments focaux de ?sont des sin- gletons. Dans ce cas, la fonction de croyance est équivalente à une fonction de probabilité et sera appelée fonction de croyance bayesienne. Parmi les outils définis dans les travaux initiaux de Shafer, il en est un qui concerne la combinai- son de deux fonctions de croyance. A partir des fonctions de masse ??et??, la combinaison conjonctive de ces deux sources d"information ???) peut être calculée???? par : ????(2) Il est à noter que cette règle, généralement ap- pelée règle de Dempster non normalisée, per- met de combiner des informations incertaines extraites sous forme de fonctions de croyance.

Si nécessaire, la condition

??????peut être retrouvée en divisant chaque masse par un coef- ficient de normalisation. L"opération résultante, appelée règle de Dempsteret notée ?estdéfinie ????par : (3) où la quantité ????est appelée degré de conflit entre les fonctions ??et??et peut être calculé en utilisant l"équation suivante : ????(4)

L"utilisation de la règle de Dempster est pos-

sible si et seulement si ??et??ne sont pas en conflit total, c"est-à-dire s"il existe deux élé- ments focaux ?et?de??et??qui sa- tisfassent ??????. Cette règle possède cependant des propriétés intéressantes comme l"associativité, la commutativité et la non- idempotence mais a été très discutée [7].

2.2 Niveau pignistique

L"étape d"aggrégation précédemment définie permet ainsi d"obtenir un résumé exhaustif de l"information sous forme d"une fonction de croyance unique ?qui est utilisée pour la prise de décision. En basant son raisonnementsur des arguments de rationnalité développés dans le modèle des croyances transférables, Smets [10] propose de transformer ?en une fonction de probabilité ????définie sur?(appelée fonction de probabilitépignistique)quise formalisepour tout ??par : (5) où ???représente la cardinalité de???.

Dans cettetransformation,la massede croyance

????est uniformément distribuée parmi les

éléments de

?. A partir de cette distribution de probabilité, ilest alors possibled"utiliserles ou- tils classiques de la théorie de la décision statis- tique pour la prise de décision.

2.3 Partition crédale

Nous ajoutons aux différentes notions précé- demment introduites le concept de partition crédale définie par T. Denoeux et M. Masson dans [6]. Soit semble de données où chaque individu ?est re- présenté par un vecteur caractéristique ??dans un espace à ?dimensions. Définition 1 (Partition crédale)Une partition crédale ?est définie comme un ensemble de ?fonctions de croyance ??définies sur?décrivant laconnaissance sur la classe d"appartenance d"un ensemble ?de données.Plus précisément, lafonction ??quantifieledegrédecroyanceas- signé au vecteur ??concernant un ensemble de clusters définis dans Deux cas particuliers de partition sont à consi- dérer : - si chacune des fonctions de croyance ??est une fonction de croyance certaine sur ?,la partition crédale obtenue est une partition classique de ?sur?et correspond à une si- tuation de connaissance complète; - si chacune des fonctions de croyance ??est une fonction de croyance bayesienne, la par- tition obtenue est une partition floue de ?sur ?comme définie par J.C. Bezdek [1].

Enfin, on définit une

?-partition crédale comme une partition de ?sur?tel que?????

3 Classification évidentielle

3.1 Méthode des distances

Le but de la méthode consiste à rechercher une partition stable vis-à-vis d"une règle de décision ?. La règle de décision utilisée est une exten- sion aux fonctions de croyance de l"algorithme des plus proches voisins et a été introduite par T. Denoeux [4]. Cet algorithme consiste à construire à partir d"un ensemble d"apprentis- sage ?par la méthode classique des?plus proches voisins. Dans sa version initiale, chaque voisin de ?dans?est considéré comme une source d"information quantifiant le degré de croyance sur l"appartenance du vecteur ?à une classe dans ?. Ainsi, une fonction de croyance??est directement construite en utilisant les informa- tions apportées par les vecteurs ??situés dans le voisinage du vecteur inconnu ?par : ?(6) ?(7) où ??est la distance Euclidienne au vecteur ??et?un paramètre. La masse de croyance allouée au singleton??? ?est donc un affai- blissement de la distance entre ?et??. Dans ces équations, la fonction ?prend la forme ??avec?un paramètre po- sitif. Les fonctions de croyance obtenues pour chaque voisin sont ensuite fusionnées sous la forme d"une fonction de croyance ?définie sur ?par la règle de combinaison de Demps- ter [9]. Cette fonction peut être calculée par ?où????représente le voi- sinage du vecteur ?. Il s"agit donc de fusion- ner tous les vecteurs ??situés au voisinage de ?selon une certaine métrique. Enfin, la déci- sion quant à l"étiquetage du vecteur ?est prise en analysant la fonction de probabilité pignis- tique [10] déduite à partir de ?par l"équa- tion (5). Cette règle de décision a été validée sur de nombreux jeux de données et ses perfor- mances sont plus qu"honorables si on s"attache toutefois à optimiser les différents paramètres. Ceux-ci peuvent être déterminés par une mé- thode du style descente du gradient pour mini- miser un critère d"erreur. Le nombre de voisins ?quant à lui peut être déduit par une méthode de validation croisée.

3.2 Algorithme proposé

La règle de discrimination

?ainsi construite permet d"introduire un algorithme itératif qui consiste à construire une suite de partition crédale de ?étant donné un nombre de classes [5]. Apartir d"une partitionaléatoire ini- tiale, chaque vecteur à classifier est tiré aléatoi- rement dans ?et est ensuite classé par la règle de décision ?. L"itérationse termine lorsqu"une partition stable est obtenue c"est-à-dire lorsque l"on n"observe aucun changement dans l"attri- bution des labels. Le nombre de classes l"itération initiale est fixé par le nombre d"in- dividus dans ?, ce qui permet d"obtenir un al- gorithme non paramètrique. Dans les itérations suivantes, le nombre de classes est réduit na- turellement par l"attribution des vecteurs à une classe dans ?. Ainsi l"algorithme obtenu peut

être déroulé de la manière suivante :

?Tirage d"une partition??initiale ?repeat??

Tirage d"un ordre aléatoire dans??

Pour chaque???dans l"ordre

?Calcul des fonctions???

Calcul de?par fusion des???

Calcul de????à partir de??

Attribution du label par??

Analyse de la partition crédale

?Réduction du nombre de classes?? until (Partition Stable) ?Analyse de la partition??finale La partition nale obtenue est une partition cré- dale c"est-à-dire que chaque individu est carac- térisé par une fonction de croyance qui quanti- e le degré d"appartenance. Il est à noter que le problème du conit qui peut apparaître lors de la combinaison des fonctions de croyance devient crucial et qu"il doit être résolu avec un opérateur adéquat [7]. Dans notre cas, nous avons opté pour l"utilisation d"un opérateur pu- rement conjonctif.

3.3 Simulations

De façon à illustrer l"algorithme, nous présen- tons un test sur des données générées artificiel- lement à partir de distributions gausiennes dans un espace de dimension 3. La figure 1 présente les résultats de classification sur ces données simulées. La classification obtenue par l"algo- rithme proposé permet de classifier ces données sans aucune erreur.

4 Filtre de convolution crédale

Dans le domaine du traitement d"images, la

convolution prend une place importante parmi les opérateurs rencontrés. Elle permet en outre de résoudre certains problèmes de filtrage ou de détection. Le principe consiste à balayer l"image et à multiplier pour chaque pixel les va- leurs du voisinage par les coefficients du filtre. Suivant les valeurs attribués aux coefficients du -5 0 5 10 15 10 5 0 5 10 15 2 0 2 4 6 8 10 12 14 Figure 1 - Base de données synthétiques : Ré- sultat de la classification évidentielle. filtre, l"image convoluée peut être représenta- tive des contours (filtre gradient) ou tout sim- plement filtrée (moyenneur, médian, ...). L"idée proposée dans de papier est de construire un filtre de convolution crédale c"est-à-dire un filtre permettant de prendre en compte les im- perfections associées aux pixels de l"imagequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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