de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1 PDF

3e – Révisions fonctions

d) Calculer les antécédents de 38. Exercice 6. Voici le tableau de valeurs de la fonction g : x. 4. -3. 12.

Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et

On considère la fonction f : x 7! x2 + 2x 3. Après avoir déterminé son ensemble de définition montrer que la courbe représentative Cf de f possède un axe de

Corrigé Série dexercices n°4 : Les fonctions et procédures

Exercice 5 : Ecrire une fonction ou procédure qui permet de lire une liste de nombres entiers dont la dernière valeur = -1 et affiche le nombre d

FICHE DEXERCICES : NATURES ET FONCTIONS

Exercice 2 : Dites si les mots soulignés sont variables ou invariables. a) L'étape finale est encore loin. b) Elle envisage son futur métier dans un avenir

3ème Révisions – Fonctions linéaires et affines

h) Quel est l'antécédent de -14 ? Exercice 3. Soit la fonction affine f telle que f(x) = 5x + 2. a) Quelle est l'

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 4. Dresser le tableau de variations de f. 5. Tracer la courbe représentative de f. Corrigé. Exercice

Recueil dexercices sur les propriétés des variables et fonctions

et fonctions logiques. 1. Énoncé des exercices. Exercice 1. Établir les tables de vérité des fonctions suivantes puis les écrire sous les deux formes

Notion de fonction Exercice 1 : Le départ en croisière choisi par

10 juil. 2022 Exercices brevet : Notion de fonction. Exercice 1 : Le départ en croisière choisi par Julien a lieu le 10 juillet ( entre 0h et 12h).

Fonctions élémentaires Pascal Lainé 1

6. Tracer le graphe de . Allez à : Correction exercice 7. Exercice 8. Soit la fonction définie sur ?

2.2 Exercices de rappels fonctions.pdf

LES FONCTIONS. Exercices. Exercice 1. Dresser le tableau de variation de chaque fonction : Exercice 2. On a représenté la fonction f sur l'intervalle [-9

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°1:

On donne la fonctionfd´efinie surRpar :f(x) =-x4+ 2x2+ 1. On appelle Γ la courbe repr´esentative defdans un rep`ere orthonorm´e (O;?ı,??) . 1.

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

Soit la fonction d´efinie surR- {1}, parf(x) =x2+x+ 1x-1. On note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

en d´eduire pour (Cf)?

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

x-1.

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =3x2+ 2x-3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

Dans la suite de l"exercice, la fonctionfsera ´etudi´ee sur [-1;1[?]1;+∞[.

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

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Exercice n°4:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =x2x2-2x+ 2, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

asymptote horizontale (Δ) pour (Cf). 3. ´Etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ).

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =2x3+ 272x2et on note (Cf) sa courbe repr´e- sentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

et en-∞.

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

(b) Calculer la fonction d´eriv´ee def. (c)

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) = cos2x-2cosxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

(b) Montrer quefest paire.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

(b)

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

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Exercice n°7:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) =sinx1-sinxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

Pour la suite de l"exercice, on ´etudiera la fonction sur l"intervalle? -3π

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

(a)-3π

2par valeurs sup´erieures,

(b)

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

-3π

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx2-|x|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx-?|x-1|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions D´efinition :soitxun nombre r´eel, on appelle partie enti`ere dexet on noteE(x), le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax.

Exemples :

E(5,4) = 5E(⎷

2) = 1E(4) = 4E(-2,5) =-3.

Exercice n°10:

Tracer la courbe repr´esentative de la fonction partie enti`ere :x?→E(x) sur l"intervalle [-3,3[.

Corrig´e

Exercice n°11:

On d´efinit surRla fonctionfpar :f(x) =x-E(x).

1. Montrer queEest p´eriodique de p´eriode 1.

2. Donner l"expression defsur [0,1[ puis sur [1,2[.

3. Tracer la courbe repr´esentative defsur [-3,3[.

Corrig´e

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°1:

1. Pour toutx?R,-x?R. (On peut aussi dire que le domaine de d´efinition est

centr´e en 0.) soitx?R,f(-x) =-(-x)4+2(-x)2+1 =-x4+2x2+1 =f(x), doncfest paire

2. lim

x→+∞f(x) = limx→+∞-x4=-∞et par sym´etrie : limx→-∞f(x) =-∞.

3.fest d´erivable surRet pour toutx?R, on a :f?(x) =-4x3+ 4x= 4x(1-x2).

D"une part 4x?0?x?0, d"autre part 1-x2?0?x?[-1;1] (r`egle du signe du trinˆome), ce qui donne : x0 1 +∞ 4x0++

1-x2+0-

f?(x)0+0-

4.x0 1 +∞

f?(x)0+0- 2 f(x)

1-∞

5. 123
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5 Dans un graphique doivent apparaˆıtre toutes les droites dont il a ´et´e question dans le sujet, auquel s"ajoutent les tangentes horizontales.

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Exercice n°2:

1. Le domaine de d´efinition est centr´e en 1, de plus pour touth?= 0, on a :

2[f(1 +h) +f(1-h)] =12?

(1 +h)2+ (1 +h) + 11 +h-1+(1-h)2+ (1-h) + 11-h-1? 1 2?

3 + 3h+h2h+3-3h+h2-h?

1 2?

3 + 3h+h2-3 + 2h-h2h?

=12×6hh= 3 Donc le point Ω de coordonn´ees (1;3) est centre de sym´etriede (Cf).

2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x

2 x= limx→+∞x= +∞et par sym´etrie, limx→-∞f(x) =-∞.

limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim

x >→1x-1 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞, et par sym´etrie : lim x <→1f(x) =-∞.

3. Pour toutx?= 1,ax+b+c

x-1=(ax+b)(x-1) +cx-1=ax2+ (b-a)x+c-bx-1, en identifiant le num´erateur de cette fraction avec celui def(x), on obtient :???a= 1 b-a= 1 c-b= 1????a= 1 b= 2 c= 3, doncf(x) =x+ 2 +3 x-1.

4. lim

x→+∞3 x-1= 0, donc limx→+∞(f(x)-(x+2)) = 0 et la droite (d) d"´equationy=x+2 est asymptote `a la courbe en +∞. Puisque Ω?(d), nous pouvons d´eduire que (d) est aussi asymptote `a (Cf) en-∞.

5. Pourx?= 1,fest d´erivable comme quotient de deux polynˆomes, et :

f ?(x) =(2x+ 1)(x-1)-(x2+x+ 1) (x-1)2=x2-2x-2(x-1)2. Pour toutx?= 1,(x-1)2>0, doncf?(x) est du signe dex2-2x-2, polynˆome ayant pour racines 1-⎷

3 et 1 +⎷3 qui, d"apr`es la r`egle du signe du trinˆome est

positif ssix?]- ∞;1-⎷

3[?]1 +⎷3;+∞[.

6. x-∞1-⎷3 1 1 +⎷3 +∞ f?(x)+0--0+

3-2⎷3+∞+∞

f(x) -∞ -∞3 + 2⎷3

Remarque : il ´etait possible de ne faire que

la moiti´e du tableau de variations.2468 -2 -4 -62 4 6-2-4-6

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Exercice n°3:

1.fest d´efinie ssix2+ 2x-3?= 0 ssix?= 1 etx?=-3, doncDf=R- {-3;1}.

2.Dfest sym´etrique par rapport `a 1, et pour touth?=±2, on a :

f(-1 +h) =3 (-1 +h)2+ 2(-1 +h)-3=3h2-4, etf(1 +h) =3 (1 +h)2+ 2(1 +h)-3=3h2-4. Doncf(-1+h) =f(-1-h) et la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

3.lim

x <→1x2+ 2x-3 = 0-, donc lim x <→1f(x) =-∞, d"autre part :lim x >→1x2+ 2x-3 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞. (Cf) admet une asymptote verticale d"´equationx= 1.

Remarque : Le signe (0

+ou 0-) est facile `a d´eterminer ici, cela serait plus com- pliqu´e avec par exemple :x2-2x.

limx→+∞x2+ 2x-3 = +∞, donc limx→+∞f(x) = 0, (Cf) admet une asymptote hori-

zontale d"´equationy= 0 en +∞.

4.fest d´erivable surDf, et pour toutx? Df:f?(x) =-3(2x+ 2)

(x2+ 2x-3)2. Le d´enominateur ´etant strictement positif,f?(x)?0? -3(2x+ 2)?0?x?-1. 5. x-1 1 +∞ f?(x)0-- -34+∞ f(x) -∞0 2 -22-2-4-6

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Exercice n°4:

1. Le polynˆomex2-2x+ 2 a pour discriminant Δ =-4<0, donc ce polynˆome ne

s"annule pas surRet le domaine de d´efinition defestR.

2. lim

x→+∞f(x) = limx→+∞x 2 x2= 1, de mˆeme limx→-∞f(x) = limx→-∞x

2x2= 1, donc (Cf) admet

une asymptote horizontale d"´equationy= 1 en +∞et en-∞.

3. Pour ´etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ), j"´etudie le signe def(x)-1.

f(x)-1 =x2 x2-2x+ 2-1 =2x-2x2-2x+ 2. Pour toutx?R,x2-2x+ 2>0, doncf(x)-1?0?2x-2?0?x?1. Donc (Cf) est au dessus de son asymptote sur [1,+∞[ et elle est en dessous sur ]-∞;1].

4.fest d´erivable surRetf?(x) =2x(x2-2x+ 2)-x2(2x-2)

(x2-2x+ 2)2=2x(2-x)(x2-2x+ 2)2. (x2-2x+2)2´etant strictement positif surR,f?(x)?0?2x(2-x)?0?x?[0;2]. 5. x-∞0 2 +∞ f?(x)-0+0- 1 2 f(x) 0 1 12 -1 -2 -31 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

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Exercice n°5:

1.fest d´efinie ssi 2x2?= 0 ssix?= 0, doncDf=R?.

2. lim

x→-∞f(x) = limx→-∞2x3

2x2= limx→-∞x=-∞, de mˆeme limx→+∞f(x) = limx→+∞x= +∞.

lim x→0(2x3+ 27) = 27 lim x→02x2= 0+? donc lim x→0f(x) = +∞. (`a gauche et `a droite)

3. Pour toutx?= 0,f(x)-x=2x3+ 27

2x2-x=272x2, or limx→+∞272x2= limx→-∞272x2= 0,

donc la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞et en

4. (a) La fonctionx?→x3´etant croissante surR, on a :x?3?x3?33?x3?27.

(b)fest d´erivable surR?et pour toutx?= 0, f ?(x) =6x2×2x2-(2x3+ 27)×4x

4x4=x(x3-27)×4xx4

1234567

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[PDF] de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Exercice n°1:

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

L.BILLOT 1DDL

Exercice n°4:

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

L.BILLOT 2DDL

Exercice n°7:

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

2par valeurs sup´erieures,

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

L.BILLOT 3DDL

Exemples :

2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x

limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim

3.lim