T ES Fonction exponentielle PDF Le fonction exponentielle notée

Terminale ES - Fonction exponentielle

Fonction exponentielle. I) Définition de la fonction exponentielle. 1) Définition. Nous avons étudié dans la leçon précédente la fonction

FONCTION EXPONENTIELLE

Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Or par définition

fonctions exponentielles exercices corriges

2) Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour x=0 S = (b) Par bijectivité de la fonction exponentielle e.

Fiche technique sur les limites

1 Fonctions élémentaires F. Ind. Paul Milan. 1 sur 3. Terminale ES ... Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance.

Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie

attend des exercices mathématiques faits en classe ES-L. 2. ES-L Asie exercice 4. Énoncé originel. Soit la fonction définie sur [0 ; 1] par

Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle

Il s'agit d'appliquer les formules « de base ». EXERCICE 19.2. Il faut appliquer la formule de composition ( ) ' u u.

Terminale ES - Fonctions q puissance x

1) Des suites géométriques aux fonctions exponentielles de base a) Exemple. Soit ( ) la suite géométrique = 13 (voir chapitre précédent suite

FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.

Terminale ES - Fonction exponentielle de u (x)

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante alors d'après le théorème des fonctions composées le sens de variations.

FFoonnccttiioonn eexxppoonneennttiieellllee

I. Définition de la fonction exponentielle

1) Définition

Le fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) .

Exemples :

ln 1 = 0 ln e = 1 ln e3 = 3 ln en = n ñ 1 = exp(0) ñ e = exp(1) ñ e3 = exp(3) ñ en = exp(n)

Pour tout réel x, on pose : exp(x) = ex.

Selon les cas, pour une bonne lisibilité, on utilise soit la notation exp(x) , soit ex.

2) Propriétés

Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) . Pour tout réel x , ex > 0, c'est-à-GLUH O·H[SRQHQPLHOOH HVP PRXÓRXUV SRVitive. Pour tout réel x , ln ( exp(x)) = x ( ou ln ( ex ) = x )

Car car x = ln y ñ y = exp(x)

ñ ln y = ln ( exp x) ( composition par la fonction ln )

ñ x = ln ( exp x)

Pour tout réel x strictement positif, exp ( ln x ) = x Car ln ( e ln x OQ [ 3URSULpPp SUpŃpGHQPH HQ O·MSSOLTXMQP j OQ [ ñ e ln x = x e0 = 1 Pour tous réels a et b, ea = eb équivaut à a = b.

3) Propriétés

Les propriétés suivantes se déduisent de celles du logarithme népérien.

Pour tous réels a et b, et tout naturel n :

ea+b = ea eb car ln (ea+b) = a+b ln ( ea eb) = ln ea + ln eb = a + b

On a donc ln (ea+b) = ln ( ea

eb) et donc ea+b = ea eb ba b a ee e b b e 1e (ea)n = ena

Exemples :

e3,5 e1,5 = e3,5+1,5 = e5 e3 + ln2 = e3 . eln2 = 2 e3

II. Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur Ë et prend ses valeurs dans ]0 ; +õ[.

1) Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur Ë. Elle est sa propre dérivée, ce qui signifie que, quel que soit x H[S·[ H[S [

Si f(x) = ex MORUV I·[ Hx.

Dem :

ln ( exp (x) ) = x, les dérivées de ces deux fonctions sont donc toutes les deux égales à 1.

LOQ H[S [ @·

)xexp( ))'x(exp( )xexp( ))'x(exp( = 1

G·RZ H[S·[ H[S[B

Exemple :

f(x) = x2 ex MORUV I·[ 2[Hx + x2 ex.

2) Limites en +õ et en -õ

x xelim x elim x x

Dem : comparaison de ex et x.

h(x) = ex ² x

O·[ Hx ² 1

h est croissante sur ]0 ; +õ[ h(0) = 1, donc h(x) >0 ex ² x > 0 ex > x puis comparaison des limites Dem : )eln( e x e x xx x xelim 0X

Xlnlim

X G·RZ 0e )eln(limx x x

3MU O·LQYHUVH RQ M :

)eln( elimx x x et x elim x x x xelim = 0 x xxelim = 0 Dem : x x e 1e Dem : x x e xxe

3) Variation de la fonction exponentielle

0 1 +

( exS [ · + ex e 1 0

4) Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction

MGPHP SRXU MV\PSPRPH O·M[H [[· HQ -õ.

III. ([SRQHQPLHOOH G·XQH IRQŃPLRQ

1) Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur Ë.

(eu· X· Hu.

Exemple :

f(x) = e2x g(x) = 2xe

2) Limites de eu

Si )x(ulim ax = + õ, alors )x(u axelim Si )x(ulim ax = - õ, alors )x(u axelim = 0.

Exemple :

x xelim = 0, car )x(lim x

3) Primitives

Les primitives de la fonction exponentielle sont les fonctions F telles que F(x) = ex + k.

8QH SULPLPLYH GH OM IRQŃPLRQ TXL V·pŃULP X· Hu est la fonction eu.

Exemple :

f(x) = 3 e3x-5

IV. Exponentielle de base a

1) Définition

Soit a un réel strictement positif.

La fonction exponentielle de base a est la fonction f définie sur Ë, par f(x) = ax = ee ln a

Pour tout réel x, ax > 0.

En particulier :

Si a = 2 : 2x = ex ln 2.

Si a = 10 : 10x = ex ln 10

Si a = e : on retrouve la fonction exponentielle déjà étudiée.

2) Dérivée et variation

G·MSUqV OH POpRUqme de dérivation des fonctions composées, puisque f(x) = ex ln a I· HVP PHOOH

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[PDF] T ES Fonction exponentielle Le fonction exponentielle notée

FFoonnccttiioonn eexxppoonneennttiieellllee

I. Définition de la fonction exponentielle

1) Définition

Exemples :

Pour tout réel x, on pose : exp(x) = ex.

2) Propriétés

Car car x = ln y ñ y = exp(x)

ñ x = ln ( exp x)

3) Propriétés

Pour tous réels a et b, et tout naturel n :

On a donc ln (ea+b) = ln ( ea

Exemples :

II. Propriétés de la fonction exponentielle

1) Dérivée

Si f(x) = ex MORUV I·[ Hx.

LOQ H[S [ @·

G·RZ H[S·[ H[S[B

Exemple :

2) Limites en +õ et en -õ

Dem : comparaison de ex et x.

O·[ Hx ² 1

Xlnlim

3MU O·LQYHUVH RQ M :

3) Variation de la fonction exponentielle

0 1 +

4) Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction

MGPHP SRXU MV\PSPRPH O·M[H [[· HQ -õ.

III. ([SRQHQPLHOOH G·XQH IRQŃPLRQ

1) Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur Ë.

Exemple :

2) Limites de eu

Exemple :

3) Primitives

8QH SULPLPLYH GH OM IRQŃPLRQ TXL V·pŃULP X· Hu est la fonction eu.

Exemple :

IV. Exponentielle de base a

1) Définition

Soit a un réel strictement positif.

Pour tout réel x, ax > 0.

En particulier :

Si a = 2 : 2x = ex ln 2.

Si a = 10 : 10x = ex ln 10

2) Dérivée et variation

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