Prof PDF Pour que la fonction trigonomé

FONCTION INVERSE

Remarque : La courbe d'équation = de la fonction inverse appelée hyperbole de centre. O

Les lieux fondamentaux des fonctions inverses des inté

tionnelles de Z. Leurs fonctions inverses sont donc des fonctions alg6- R(Z)dZ le lieu fondamental de la fonction Z

Seconde - Fonction Inverse

Fonction Inverse. I) Définition. Tout nombre réel différent de zéro admet un inverse. 1. . L'inverse de 2 est. 1. 2 . L'inverse de.

Prof

Pour que la fonction trigonométrique inverse soit une fonction il faut choisir un seul de ces angles. Dans les définitions qui suivent

2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

Comme 0? ?. 2. ? y ?? on obtient arcsin(x)+arccos(x)= y + arcos(cos( ?. 2. ? y)) = ?. 2 . III. La fonction arctan: la fonction tangente est monotone (

A. LAISANT - Intégration des fonctions inverses

les deux fonctions ƒ et <p sont appelées deux fonctions inverses. Presque tous les traités d'Algèbre ou d'Ana- lyse donnent la dérivée d'une fonction inverse d'

Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvelles fonctions: sinus (sin) cosinus (cos)

FICHE METHODE sur les FONCTION INVERSE I) A quoi sert la

Voici un tableau de valeurs de la fonction inverse : On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique partiel de

Modèle des voies réflexes et cérébelleuses permettant le calcul de

19 juil. 2004 calcul de fonctions inverses et la commande d'un ... Mots-clés: fonction inverse commande motrice

Fonctions trigonométriques inverses

Afin de pouvoir évaluer une fonction trigonométrique inverse il faut restreindre leur domaine aux valeurs obtenue en appliquant les fonctions trigonométriques

9.6Ra ppels urle sf onctionstr igonometriquesin versesLes fonctions trigonometriques inverses sont les fonctions reciproques des fonctions tri-

gonometriques. Pour que ces fonctions soient denies, il faut restreindre leur domaine aux valeurs obtenue en appliquant les fonctions trigonometriques correspondantes. Par exemple, comme1sin(x)1, la fonctionarcsin(x)ne peut pas ^etre denie pour des valeurs hors de l'intervalle[1;1]. De plus, si on connait la valeur d'une fonction trigonometrique, il y a deux angle dierent qui correspondent a cette valeur. Pour que la fonction trigonometrique inverse soit une fonction, il faut choisir un seul de ces angles. Dans les denitions qui suivent, le choix de cet angles est toujours fait dans la partie du cercle trigonometrique indiquee en"traitilles».Denition 9.3. a)arcsin(y)=()sin()=y , avec=2=2,1y1y b)arccos(x)=()cos()=x , avec0et1x1x c)arctan(p)=()tan()=p , avec=2<<=2etp2Rp=tan()d)arcctg(q)=()cotan()=q , avec0<Par denition arccos 12 =()cos()=12 Commecos()=12, la coordonnee enxdu pointP()doit ^etre12. On se trouve donc dans la situation suivante : il y a deux anglessatisfaisant cette relation, angle correspodant aux pointsAetBde la gure suivante.A B1 2 Comme l'anglecorrespondant au pointBn'est pas la valeur principale conven- tionnelle pourarccos, la solution est l'angle correspondant au pointA. Comme le c^ote de longueur12correspond au c^ote d'un des triangles remarquables, ont doit avoir=3 .Proposition 9.6. sin(arcsin(y))=y cos(arccos(x))=x tan(arctan(p))=p Siest la valeur principale des fonction trigonometriques inverses impliquee, alors arcsin(sin())= arccos(cos())= arctan(tan())= ::154 Remarque 9.2.Ne pas confondre les fonction trigonometriques inverses et les inverses de ces fonctions! Par exemple, arcsin(x),1sin(x)=csc(x):

Cette confusion est frequente pour deux raisons :

1. l'expression"fonction inverse»est synonyme de"fonction reciproque». En general, la fonction reciproque de la fonctionf(x)n'est pas1f(x). 2. l'utilisation de la notationsin1(x), notamment sur certaines calculatrices, peut laisser penser que sin

1(x)=1sin(x)(Faux!)

mais ce n'est pas le cas. Cette notation est utilisee pour denoter"la fonction reciproque desin»qui estarcsinet non pas"l'inverse desin(x)qui est1sin(x).Exemple 9.9. Sachant que=arccos(1=2), trouver les autres rapports trigonome- trique. Solution : commecos()doit ^etre1=2, on peut supposer queest un angle dans le triangle suivant (car les valeurs des fonctions trigonometriques restent les m^eme si on change l'echelle d'un triangle.)12 Comme le triangle est rectangle, on peut trouver la mesure du c^ote manquant a l'aide du theoreme de Pythagore.1p32 A l'aide de ce triangle, on trouve les valeurs des autres fonction trigonometriques : ?sin()=p3 2 =p3 ?tan()=p3 1 =p3 ?sec()=21 =2 ?csc()=2p3 ?cot()=1p3 155

9.7D erivationdes f onctionst rigonometriquesi nverses

Proposition 9.7.Derivee des fonctions trigonometriques inverses. (1) arcsin(x)

0=1p1x2

(2)arccos(x)

0=1p1x2

(3)arctan(x) 0=1x

2+1(4)

arcctg(x) 0=1x 2+1 (5)asec(x) 0=1x px 21
(6)arccosec(x) 0=1x px

21Demonstration.Toutes ces preuves se font en utilisant la derivation implicite et des identites trigono-

metriques et la proposition 9.6. On suppose quexest dans le domaine des fonctions impliquees. On utilise aussi les identites de Pythagore suivantes : sin

2(x)+cos2(x)=1 sec2(x)=tan2(x)+1 csc2(x)=cotan2(x)+1:

Preuve de

arcsin(x)

0=1p1x2:

sin arcsin(x)=xsinarcsin(x)0=(x)0 cos arcsin(x)arcsin(x) 0=1 arcsin(x)

0=1cos(arcsin(x))arcsin(x)

0=1q

1sin2(arcsin(x))

arcsin(x) 0=1q

1(sin(arcsin(x)))2

arcsin(x)

0=1p1x2

Preuve de

arctan(x) 0=1x 2+1: 156
tan arctan(x)=xtanarctan(x)0=(x)0 sec

2arctan(x)asec(x)

0=1 arctan(x)

0=1sec

2(arctan(x))arctan(x)

0=11+tan2(arctan(x))arctan(x)

0=11+x2

Preuve de

asec(x) 0=1x px 21:
sec asec(x)=xsecasec(x)0=(x)0 sec asec(x)tanasec(x)asec(x) 0=1 asec(x)

0=1sec(asec(x))tan(asec(x))asec(x)

0=1x psec

2(asec(x))1

asec(x) 0=1x px

21)Les autres preuves sont laissees en exercice. On utilise la derivation implicite et les

identites de Pythagore de maniere similaire aux trois preuves donnees.Exemple 9.10. arcsin(2x)

0=1p1(2x)2)2x

2p14x2157

Exemple 9.11.

arccosx30=1p1(x3)2x30

1p1(x3)23x2

=3x2p1x6Exemple 9.12. arctan(sin(x))

0=1sin

2(x)+1sin(x)

0 1sin

2(x)+1cos(x)

cos(x)sin

2(x)+1Exemple 9.13.

arctan(x)130=13arctan(x)121x

2+1=13arctan(x)12x

2+1

Note :arctan(x)13=arctan(x)

13et nonarctanx13.Exemple 9.14.

arcsec(x=2)0=10

BBBBB@x2

CCCCCA2

vt0

BBBBB@x2

CCCCCA2

1= 2x qx 22
1=8x px

21Exemple 9.15.

parctan(x)0=12 parctan(x)arctan(x) 0 12 parctan(x)11+x2Exemple 9.16.Trouvons les extremums def(x)=arctan(x312x).

La derivee defest

f La derivee s'annule quandx=2oux=2. Le numerateur(x312x)2+1etant toujours plus grand que1, il ne s'annule jamais,

Les valeurs critiques sont donc2et2.

On peut faire un tableau de signe de la derivee

x-2 2 f

0(x)+ 0 - 0 +

f(x)%MAX&MIN% On conclue donc quefa un maximum enx=2et un minimum enx=2. Note : on choisit ici de faire un tableau de signe plut^ot que d'utiliser le test de la derivee seconde, car la simplication de derivee seconde plus complexe que la determination des signes de la derivee!9.8Appl icationsdi versesde la d eriveedes fo nctions trigonometrique inversesExemple 9.17.Analyser la fonctionf(x)=arcsin(x).

La derivee premiere est

0(x)=1p1x2

La derivee seconde est

00(x)=xp(1x2)3

Valeurs critiques def0:f0(x)non deni pourx1oux 1.f0(x)n'est jamais nul (car la fonction racine carree, si elle est denie, donne toujours un resultat positif.) Comme il y a division par0possible dans la derivee enx=1, on verie si la derivee tend vers1pour determiner s'il y a un tangente verticale. lim x!1+f0(x)=limx!1+1p1x2=10 +=1 lim x!1f0(x)=limx!11p1x2=10 +=1

Valeurs critiques def00:

00(x)=0six=0.f00(x)est non-deni pourx1oux 1.

Tableau de variation :

x-1 0 1 f

0(x)1+ + +1

00(x)@- 0 +@

f(x)TVINFTV

Graphe de la fonctionf(x)=arcsin(x).159

11 2 2 xarcsin(x)160quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Prof Pour que la fonction trigonomé

9.6Ra ppels urle sf onctionstr igonometriquesin versesLes fonctions trigonometriques inverses sont les fonctions reciproques des fonctions tri-

Cette confusion est frequente pour deux raisons :

1(x)=1sin(x)(Faux!)

9.7D erivationdes f onctionst rigonometriquesi nverses

0=1p1x2

0=1p1x2

2+1(4)

21Demonstration.Toutes ces preuves se font en utilisant la derivation implicite et des identites trigono-

2(x)+cos2(x)=1 sec2(x)=tan2(x)+1 csc2(x)=cotan2(x)+1:

Preuve de

0=1p1x2:

0=1cos(arcsin(x))arcsin(x)

1sin2(arcsin(x))

1(sin(arcsin(x)))2

0=1p1x2

Preuve de

2arctan(x)asec(x)

0=1sec

2(arctan(x))arctan(x)

0=11+tan2(arctan(x))arctan(x)

0=11+x2

Preuve de

0=1sec(asec(x))tan(asec(x))asec(x)

2(asec(x))1

21)Les autres preuves sont laissees en exercice. On utilise la derivation implicite et les

0=1p1(2x)2)2x

2p14x2157

Exemple 9.11.

1p1(x3)23x2

0=1sin

2(x)+1sin(x)

2(x)+1cos(x)

2(x)+1Exemple 9.13.

2+1=13arctan(x)12x

Note :arctan(x)13=arctan(x)

13et nonarctanx13.Exemple 9.14.

BBBBB@x2

CCCCCA2

BBBBB@x2

CCCCCA2

21Exemple 9.15.

La derivee defest

Les valeurs critiques sont donc2et2.

On peut faire un tableau de signe de la derivee

0(x)+ 0 - 0 +

La derivee premiere est

0(x)=1p1x2

La derivee seconde est

00(x)=xp(1x2)3

Valeurs critiques def00:

00(x)=0six=0.f00(x)est non-deni pourx1oux 1.

Tableau de variation :

0(x)1+ + +1

00(x)@- 0 +@

Graphe de la fonctionf(x)=arcsin(x).159