Rappels de seconde sur les fonctions PDF

Rappels de seconde sur les fonctions

Pour une fonction f donnée on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau

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TaleES:pourAurore...Rappels de seconde sur le fonctions2008-2009

Rappels de seconde sur les fonctions

Table des matières

I Vocabulaire des fonctions2

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2

I.2 Tableau de valeurs d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2

I.3 Courbe représentative d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.4 Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4

I.5 Tableau de variations d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.6 Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5

I.7 Tableau de signes d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

II Fonctions de références5

II.1 Fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5

II.2 Fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7

II.3 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7

II.4 Fonction cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7

II.5 Fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 8

II.6 Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 8

II.7 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 9

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I Vocabulaire des fonctions

I.1 Définitions

Définition 1

Une fonction

est un procédé qui à un nombrexappartenant à un ensembleDassocie un nombrey.

On note :x

f?→you encoref:x?→you encorey=f(x).

On dit queyest l"image

dexpar la fonctionfet quexest un antécédentdeypar la fonctionf.

Exemple 1

Prenons la fonctionfqui à tout nombre réelxassocie le nombreydéfini comme le triple dexauquel on soustrait1.

ÔOn peut décrire cette fonction en utilisant une expression algébrique : pour toutx?R:f(x) = 3x-1.

ÔL"image du nombre5estf(5) = 3×5-1 = 14.

ÔIl existe un nombrexdont l"image parfest égale à8sif(x) = 8ce qui nous donne3x-1 = 8doncx= 3.

On dit que8a un antécédent parfqui est3.

Définition 2

Pour une fonctionfdonnée, l"ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par cette

fonction est appelé ensemble de définition de la fonctionf, que l"on noteraDf.

Exemple 2

La fonctionf:x?→1

2x-4a pour ensemble de définition]- ∞;2 [?] 2;+∞[

ÔEn effet, l"expression1

2x-4n"a de sens que pour les valeurs dextelles que2x-4?= 0(car le dénominateur d"une

fraction ne peut être égal à 0), c"est-à-dire pourx?= 2.

ÔOn dira aussi que2est une valeur interdite

pour la fonctionf.

I.2 Tableau de valeurs d"une fonction

Pour une fonctionf, donnée on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau, la première ligne contient

des nombres réelsx, et la seconde ligne contient leurs images respectivesy.

Exemple 3

Prenons la fonctionfdéfinie surR?parf(x) =x+2

x, on obtient le tableau suivant : x-4-3-2-10123 f(x)-4,7-3,7-3-3∅333,7

I.3 Courbe représentative d"une fonction

Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d"un repère (O;-→i;-→j).

Définition 3

Dans un tel repère l"ensemble des pointsMde coordonnées(x;f(x))forme la courbe représentative de la fonctionf , souvent notéeCf. http://nathalie.daval.free.fr-2- TaleES:pourAurore...Rappels de seconde sur le fonctions2008-2009

Exemple 4

On souhaite tracer la courbe représentative de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =5x x2+ 1Tracons la portion de courbe représentative defdont les abscisses sont comprises entre-3et2: ÔOn commence par compléter un tableau de valeurs : x-3-2,5-2-1,5-1-0,500,511,52 f(x)-1,5-1,7-2-2,3-2,5-2022,52,32 ÔPuis on place les pointsM(x;f(x))dans le repère ci-dessous :

1 2-1-2-3

123
-1 -2 -3 Cf

ÔLe point de coordonnées((

10 0,5)) n"est pas sur la courbe représentative de la fonctionfcarf(10) = 0,495?= 0,5. Comment lire une image ou un antécédent à partir d"une courbe?

Lire l"image d"un nombre :

1 2 3 4-1

12 -1 -2 -3 on placexsur l"axe des abscisses on se déplace verticalement pour rencontrerC f on litf(x) sur l"axe des ordonnées

L"image de 1 parfest-2

Trouver l"(les)antécédent(s) d"un nombre

1 2 3 4-1

12 -1 -2 -3 on trace une horizontale passant par cette valeur à partir des points d"intersection, on se déplace verticalement vers l"axe des abscisses pour lire les antécédents

Les antécédents de 1 parfsont 0 et 4

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I.4 Sens de variation d"une fonction

Définition 4

sur un intervalleIsi quels que soient les réelsx1etx2dans

Itels quex

Autrement dit, les images dex

1et dex2sont rangées dans le même ordre quex1etx2.

sur un intervalleIsi quels que soient les réelsx1etx2

Autrement dit, les images dex

1et dex2sont rangées dans l"ordre inverse dex1etx2.

-1-2-3 12 -1 -2 fonction croissante. -1-2-3 1 -1 -2 -3 fonction décroissante.

Donner les variations d"une fonction signufie préciser sur quels intervalles la fonction est croissante, puis sur

quels intervalles la fonction est décroissante.

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

1234
-1 -2 -3 Cf

Exemple 5

ÔCette fonctionfest croissante sur[-3;2]et sur[5;7], décroissante sur[-5;-3]et sur[2;5] ÔOn peut écrire :fcroissante sur[-3;2]?[5;7], décroissante sur[-5;-3]?[2;5].

I.5 Tableau de variations d"une fonction

Le tableau de variationsd"une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concernant

les variations de la fonction.

Exemple 6

Le tableau de variations de la fonctionfci dessus est : x-5-3 2 5 7 4 4 0 f(x)? ? ? ? -1-2 http://nathalie.daval.free.fr-4- TaleES:pourAurore...Rappels de seconde sur le fonctions2008-2009

I.6 Extremum d"une fonction

Définition 5

Msur un intervalleI, atteint enx0si, quel que soit

0) =M.

msur un intervalleI, atteint enx0si, quel que soit le réelxdansI, on af(x)≥f(x

0) =m.

Exemple 7

ÔLe maximum defsur[-5;7]estM= 2, atteint pourx=-5etx= 2. ÔLe minimum defsur[-5;7]estm=-2, atteint pourx= 5. Attention, la valeur d"un extremum dépend de l"intervalle! Par exemple, le minimum defsur [-5;2] estm=-1, atteint pourx=-3.

I.7 Tableau de signes d"une fonction

On réuni au sein d"un tableau appelé tableau de signesles informations concernant le signe de la fonction

f, c"est à dire sa position par rapport à l"axe des abscisses.

Exemple 8

Le tableau de signes de la fonctionfest :

x-5-4-1 4 7 signe def(x)+ 0-0 + 0-0

II Fonctions de références

II.1 Fonction affine

Définition 6

Soientaetbdeux réels. La fonction définie surRparf(x) =ax+best appelée fonction affine

Remarque 1

ÔSib= 0, la fonctionfdéfinie parf(x) =axest une fonction linéaire ÔSia= 0, la fonctionfdéfinie parf(x) =best une fonction constante

Propriété 1

Soitfune fonction affine définie parf(x) =ax+b, alors :

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Exemple 9

ÔLa fonctionfdéfinie parf(x) = 3x+ 2est croissante. ÔLa fonctionfdéfinie parf(x) =-2x+ 3est décroissante. ÔLa fonctionfdéfinie parf(x) = 5est constante.

La représentation graphique d"une fonction

affine est une droite

Représentation graphique des fonctionsf

1,f2 etf3d"équations : f

1(x) =x+ 1

2(x) =-2

3(x) =-2x

0 11 d2 d1d3

II.2 Fonction carré

Définition 7

La fonction définie surRparx?-→x

2s"appele la fonction carré.

La fonction carré est strictement décroissante sur ]- ∞;0] et strictement croissante sur [0;+∞[. Dans un repère (O;-→i;-→j), la courbe représen- tative de la fonction carré est une parabole de sommetO. x-∞0 +∞ f? ? 0

II.3 Fonction inverse

Définition 8

La fonction définie surR

?=]- ∞; 0[?]0; +∞[parx?-→1xest appelée fonction inverse. La fonction inverse est strictement décroissante sur ]- ∞; 0[ et sur ]0; +∞[. Dans un repère (O;-→i;-→j), la courbe représen- tative de la fonction inverse est une hyperbole de centreO. x-∞0 +∞

0+∞

f?? -∞0 http://nathalie.daval.free.fr-6- TaleES:pourAurore...Rappels de seconde sur le fonctions2008-2009

II.4 Fonction cube

Définition 9

La fonction définie surRparf:x?-→x

3est appelée fonction cube.

La courbe représentant la fonction cube dans un repère orthogonal est appelée cubique x-∞0 +∞ f0

II.5 Fonction racine carrée

Définition 10

La fonction définie surR

+parf:x?-→⎷xest appelée fonction racine carrée. La fonction racine carrée est strictement crois- sante sur [0;+∞[. x0 +∞ f? 0

II.6 Fonction valeur absolue

Définition 11

La fonction définie surRparf:x?-→ |x|est appelée fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est strictement dé-

croissante sur ]-∞;0] et strictement croissante sur [0;+∞[.

La courbe représentatve de la fonction valeur

absolue est une fonction affine par morceaux x-∞0 +∞ f? ? 0 http://nathalie.daval.free.fr-7- TaleES:pourAurore...Rappels de seconde sur le fonctions2008-2009

II.7 Représentation graphique

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

12345678

-1 -2 -3 -4 -5 -6 f(x) =x2 f(x) =1x f(x) =x3 f(x) =⎷x f(x) =|x| http://nathalie.daval.free.fr-8-quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Rappels de seconde sur les fonctions

Table des matières

I Vocabulaire des fonctions2

II Fonctions de références5

I Vocabulaire des fonctions

I.1 Définitions

Définition 1

Une fonction

On note :x

On dit queyest l"image

Exemple 1

ÔL"image du nombre5estf(5) = 3×5-1 = 14.

On dit que8a un antécédent parfqui est3.

Définition 2

Exemple 2

La fonctionf:x?→1

2x-4a pour ensemble de définition]- ∞;2 [?] 2;+∞[

ÔEn effet, l"expression1

2x-4n"a de sens que pour les valeurs dextelles que2x-4?= 0(car le dénominateur d"une

ÔOn dira aussi que2est une valeur interdite

I.2 Tableau de valeurs d"une fonction

Exemple 3

Prenons la fonctionfdéfinie surR?parf(x) =x+2

I.3 Courbe représentative d"une fonction

Définition 3

Exemple 4

1 2-1-2-3

ÔLe point de coordonnées((

Lire l"image d"un nombre :

1 2 3 4-1

L"image de 1 parfest-2

Trouver l"(les)antécédent(s) d"un nombre

1 2 3 4-1

Les antécédents de 1 parfsont 0 et 4

I.4 Sens de variation d"une fonction

Définition 4

Itels quex

Autrement dit, les images dex

1et dex2sont rangées dans le même ordre quex1etx2.

Autrement dit, les images dex

1et dex2sont rangées dans l"ordre inverse dex1etx2.

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

Exemple 5

I.5 Tableau de variations d"une fonction

Exemple 6

I.6 Extremum d"une fonction

Définition 5

0) =M.

0) =m.

Exemple 7

I.7 Tableau de signes d"une fonction

Exemple 8

Le tableau de signes de la fonctionfest :

II Fonctions de références

II.1 Fonction affine

Définition 6

Remarque 1

Propriété 1

©Sia >0,fest croissante surR,

©Sia <0,fest décroissante surR,

©Sia= 0,fest constante surR.

Exemple 9

La représentation graphique d"une fonction

Représentation graphique des fonctionsf

1(x) =x+ 1

2(x) =-2

3(x) =-2x

II.2 Fonction carré

Définition 7

La fonction définie surRparx?-→x

2s"appele la fonction carré.

II.3 Fonction inverse

Définition 8

La fonction définie surR

0+∞

II.4 Fonction cube

Définition 9

La fonction définie surRparf:x?-→x

3est appelée fonction cube.