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3 6 Expressions de cos(x) sin(x) et tan(x) en fonction de t = tan (x2) ayant cette fois-ci en ligne de mire la parité des fonctions sinus et cosinus

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2008-2009 Quelques rappels sur les fonctions sinus et cosinus

1. Définition géométrique

En deuxième année, on donnera une définition précise de l"exponentielle complexe et on définira proprement les fonctions cosinus et sinus comme lesparties réelles et imaginaires, respectivement, de l"exponentielle complexe. Pour l"instant, nous nous contenterons de

la définition géométrique suivante : considérons le planR2, muni du repère orthonormé

classique(O,?i,?j). Pour tout réelθ, le pointMθde coordonnées(cosθ,sinθ)est le point

du cercle de centreOet de rayon1tel que l"angle(?i,--→OM)est deθradian. On peut bien sûr donner d"autres définitions géométriques équivalentes, par exemple à partir des relations entre les longueurs des côtés d"un triangle rectangle. Le graphe des fonctions sinus et cosinus est supposé connu.

2. Premières propriétés

Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions deRdansR, qui prennent leurs va- leurs dans[-1,1]. Ces fonctions sont2π-périodique. Cela signifie que pour tout réelx, cos(x+ 2π) = cosxetsin(x+ 2π) = sinx. Un raisonnement par récurrence montre que pour tout réelxet pour tout entier relatifk, on a :cos(x+ 2kπ) = cosxet sin(x+ 2kπ) = sinx. La fonction cosinus est paire :cos(-x) = cosx, et la fonction sinus est impairesin(-x) =-sinx. Enfin, pour tout réelx,cos2x+ sin2x= 1.

3. Valeurs remarquables

x0π/6π/4π/3π/2π cosx1⎷3/2⎷2/21/20-1 sinx01/2⎷2/2⎷3/210 eix1⎷3/2 +i/2(1 +i)⎷2/21/2 +i⎷3/2i-1

4. Formules d"addition.

cos(a+b) = cosacosb-sinasinb cos(a-b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa sin(a-b) = sinacosb-sinbcosa

On a en particulier :

cos2a= cos2a-sin2a= 2cos2a-1 = 1-2sin2a sin2a= 2sinacosa 1

5. Autres identités utiles(certaines de ses identités ont déjà été signalées plus haut).

cos2x+ sin2x= 1cos(x+π/2) =-sinxsin(x+π/2) = cosx cos(-x) = cosxcos(x+π) =-cosxcos(π-x) =-cosx sin(-x) =-sinxsin(x+π) =-sinxsin(π-x) = sinx Je vous encourage à vérifier en faisant un dessin que les formules ci-dessus sont "rai- sonnables". Cela n"en constituera pas une preuve, mais peutvous aider à les retrouver. D"autre part, les formules ci-dessus, ainsi que les formules d"addition, permettent de trou- ver de nombreuses valeurs remarquables des fonctions sinuset cosinus. Par exemple, la valeur decos(2π/3)se déduit de la valeur decos(π/3)et de la formulecos(π-x) =-cosx.

6. Dérivées

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables et l"on a, pour toutxdansR:sin?x= sin(x+π/2) = cosxetcos?x= cos(x+π/2) =-sinx. En0, la dérivée du sinus vaut1et

la dérivée du cosinus vaut0. Du fait que la dérivée du sinus soit le cosinus et la dérivée du

cosinus l"opposé du sinus, on déduit que les fonctions sinuset cosinus sont indéfiniment dérivables. Pour se rappeler si c"est la dérivée du cosinus qui est égale àmoins sinus ou l"inverse, un moyen simple est de remarquer qu"en0le cosinus vaut1et le sinus a une dérivée positive. C"est donc qu"on asin?= cos, et que c"est dans la dérivée du cosinus qu"il y a un moins.

7. Autres formules: pour la formule de Moivre, la formule d"Euler et d"autres

formules sur les complexes, voir votre formulaire de terminale, le cours, et quand il vous aura été distribué, le polycopié "Notes de cours". 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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