[PDF] Formule de Parseval et transformations fonctionelles orthogonales.

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Formule de Parseval et transformations

fonctionelles orthogonales.

Autor(en):

Plancherel, M.

Objekttyp:

Article

Zeitschrift:

Commentarii Mathematici Helvetici

Band (Jahr):

1 (1929)

Persistenter Link:

https://doi.org/10.5169/seals-1146

PDF erstellt am:

23.10.2023

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FormuledeParsevalettransformations

fonctionnellesorthogonales,

ParM.Plancherel,Zurich.

§1.Introduction.

Tw=l/lêP{t)^r1dt~Vtf{t)cosxtdt

aunsens /»0Oestmesurableettelleque|/|a <&soitfinie(i<" />OO 273

Définissons/?par

ii+

0/G**<

lim n - ?¦00,m convergeenmoyenne

3»5)**):

\f-fn\*dxo,|/|a^lim\fn\*dx.(4) ,» - t - v^0n - >~oo*^o \fn\*dx<C,n=1,2,3,... 274
lim\fH.Gdx=fGdx.(6)p_^oo^o^o a,versf(x)b). linéairedeclassea,si: l'ensemble.

T(/)deL2,telleque

a)T(c1f1-\-c2f2)cx: b)J(T(f))*dx<MJf*dx, parlacondition b')Si lim n - >< ona (f-f»)*dxo, lim\(T(f)-T(/"))*dxo. d'orthogonalité 275
f(T(j))*dx=ff*dx(7) pourtoutefonction/dee. Désignantalorsparipp(x){p - i,2,3,unsystèmeorthogonal fonction

0(x,y)fV

^0(8) asesdérivées

3<?

^ - , - * - decarréintégrabledans(o,oolapremière d et,pourtoutefonctionfdeE,

Deplus,pourtoutesfonctionsfdeeetFdeE

(11) 276

X00/f°°\2pdx21H/w^•

donnéesde/. par[f]e - projectionde/surl'espacee - lafonction f [fl,\T{f)\*dx\[f],\*dx^\f\*dx,JoJoJo XOO /»00/->00 |(T(/)|**&=|[/]^|2^<|/|»^. à20Nousnousborneronsdanscequisuitaucasoùcp-^ - - - existeToxày presquepartout,esttelleque

IIcpdxdy0,

277
etoùdepluscpestbornée:***) cp1/ - cosxyetdanscelledeHankel,oùcp\xyJv(xy),quand v^ - .DanscesdeuxcasparticuliersdeFourieretdeHankel,M.

écriremaintenant

FT(/)ifdtf{t)fdl(f{hl)'

7/>OO

Jdtf{t)jdly&t),(13)

wp(v)dv,(14) p pourrintervalle(o,00etsicpestbornée:

M,(iS)

demesuresuperficiellenulle. 278
a00 \JL2~a//*00\JL

15IP^)T^^^J\f\"dxY(!62)

Parseval)

ÇfT{g)dxp^{f)gdx.

alorspourtotttefonctionfdeZa/

§4.Uneinégalitéfondamentale.

suivantdesinégalités(16).m,X,

X'étanttroisnombresréels,non

279
(19) FaisanttendremversoonousvoyonsqueFx - Fx,estdeclasse enxetque a oo\Fx- telleque lim etque lim rfa?Jy{t9x) bornée,f=:fdtf{t) 280
larelation(12).

Introduisonslesabréviations

?"(/)=fi/Fax,5p(/)=fdxff{l)^{t,x)dt(20) de 2 - a supérieuràMa 281
x'Mx, yfMynousdonnedans(14)

Lessystèmes\ppI-tt)

>Wp\nf\son^encoreorthogonauxet

1/x*y'\normes.Parsuitecp*(V,yr)-=. - cpI-tf>-jMestencoreunefonction

correspondantsdu§3. lacondition

Sp(/)I.(22)

Onaya*;>o;ya*estd'ailleursfinie.

rxrxlimfpGdt=\/*(t)G(t)dt. limIfp(t)cp{t,x)dt - I/*(t)cp(t,x)dt. 282
- >00"^0^0^0^0 c'est-à-dire lim p - >-00 Or,Sa{fp - 1.Donc,Sq(/*)=1ety*appartientàlaclassedesfonctions admisesàlaconcurrence.Parsuite,J^(/*)

ParhypothèselafonctiondeÀ

Xsgn(f*)k(x)dxdxf*(t)9(t,x)dt

(23)

Ildevient

i/0r/ estdemêmede 283
que ' classeZo sSnI,/*9dtyx o, m m ona,dansL2(S2,7), ^|/|3^.^0

Parconséquent,

OU

Introduisonslesquantités

d'où

2(/?-l)=2

12/?-33 - a"

Onadonc

a'<a,at<.a, 284
aiPi

2 - "t)a',avec/21

'3 - a'

L'inégalité(3)donne

" - I c'est-à-dire,d'après(25) donc illimitée/?v2(/?v_1 - 1)2-}-2V(/i - 2),^1,2,3,etdéfinissant "vpar1 - - -nousaurionsd'après(26),y*<T(y*)°Cv~1.Par

Ofy/>VVVaV - 1/

conséquent

Pourelle,envertude|cp|<11etde(3)

1 d'où

étant<[1.Parconséquenty*^

1cequidémontre(18).

285

§6.FormuledeParseval.

Introduisonsencorelesfonctions

Onsaitque(théor.I)

Xoo /*oo \G - Gafdxo,lim|^ - ; Or, jf(x)G(x)dxjdxf(x)Jdtg(t)<p(t,x) dtg(t)I/(x)cp(t,x)dt convergente.Mais r*Xr%X limlf(x)Ga(x)dx=\f(x)G(x)dx. n*-rrsvnt/A 286

Parconséquent,

\f(x)G(x)dx=

Parseval(17).

§7.Démonstrationduthéorème

Parhypothèselafonction

s*(y)t (?>*)dt°°2éwp(y) p

GX=T(#X)est

Wp{y)

I,y<x

O,y>x

quelconquedeZadonne,puisque lerésultatcherché: f(x)-

19CommentariiMathematiciHelveticip

Bibliographie.

i.Hansdorff,F. - EineAusdehnungdesParsevalschenSatzesûberFourier- reihen.[Math.Zeitschrift16(1923)S.163 - 169.]

2.Plancherel,M. - Contributionàl'étudedelareprésentationd'unefonction

p.289 - 335.]

3.id. - DémonstrationduthéorèmedeRiesz-Fischeretduthéorèmede

(1923)p.195-204.]

4.id. - Surlesformulesd'inversiondeFourieretdeHankel.[Proc.Lon-

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5.Riesz,F. - UntersuchungenûberSystèmeintegrierbarerFunktionen.

[Math.Annalen69(1910),S.449 - 497.]

6.id. - UebereineVerallgemeinerungderParsevalschenFormel.[Math

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7.Riesz,M. - Surlemaximumdesformesbilinéaires,etsurles

fonctionnelleslinéaires.[Actamathematica,49(1926),p.465 - 497-]

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9.id. - AnoteonHankeltransforms.[JournalofLondonMath.Soc.1

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10.Young,W.H. - Onthedéterminationofthesummabilityofafunction

p.71-88.]

11.id. - SurlagénéralisationduthéorèmedeParseval.[Comptesrendus,

Paris,155(1912),p.30 - 33.]

(Reçule11juin1929) 288
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