[PDF] Fonctions usuelles - Grenoble 19 nov. 2014 Maths en





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Fonctions usuelles - Grenoble

19 nov. 2014 Maths en Ligne. Fonctions usuelles. Bernard Ycart. Vous connaissez depuis longtemps les fonctions trigonométriques l'exponentielle et.



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LIMITES DES FONCTIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DES FONCTIONS 3) Limites des fonctions usuelles. Propriétés :.

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Fonctions usuelles

Bernard Ycart

Vous connaissez depuis longtemps les fonctions trigonométriques, l"exponentielle et le logarithme. Notre premier objectif sera de démontrer rigoureusement leurs propriétés. Nous introduirons aussi les fonctions hyperboliques ainsi que les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques et hyperboliques. Pour comprendre les démonstrations, vous aurez besoin des notions de base de l"analyse : limites, continuité, dérivabilité et convexité.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Entraînement 22

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Compléments 39

3.1 La trigonométrie des cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Napier ou Neper? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Logarithmes des nombres négatifs et imaginaires . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Euler et les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

19 novembre 2014

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Fonctions puissance

Sinest un entier naturel, vous savez ce qu"est la puissancen-ième d"un nombre : le produit de ce nombre par lui-mêmenfois. a n=aa ... a???? nfacteurs. Rappelons que pour touta,a0= 1. Vous connaissez aussi la notationa-1pour l"inverse dea, et vous savez donc calculer des puissances entières négatives. a -n=1a n. À cause de la règle des signes, une puissance paire est toujours positive ou nulle. C"est la raison pour laquelle on ne définit de puissances fractionnaires que pour des réels positifs ou nuls. Le casa= 0n"est pas passionnant : pour toutx,0x= 0. Dans ce qui suit,adésigne un réelstrictement positif. Proposition 1.Etant donné un réel strictement positifa, et deux entiersp?Zet q?N?, il existe un unique réel strictement positifytel queyq=ap. Ce réel est noté a p/q.

Ainsi :

a

1/2=⎷a , a

3/2= (⎷a)3=⎷a

3, a2/3= (3⎷a)2=3⎷a

2. Démonstration: c"est une application du théorème de la bijection. L"application qui àyassocieyqest continue et strictement croissante de[0,+∞[dans lui-même. C"est donc une bijection. Nous rassemblons dans la proposition suivante les propriétés des puissances frac- tionnaires. Proposition 2.Soitaun réel strictement positif.

1. Soient(p,q),(p?,q?)?Z×N?, deux couples d"entiers tels quep/q=p?/q?. Alors :

a p/q=ap?/q?.

2. Soient(p,q),(p?,q?)?Z×N?, deux couples d"entiers. Alors :

a p/q+p?/q?=ap/qap?/q?. 1 Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble3. Soit(p,q)?Z×N?un couple d"entiers. Alors : a -p/q=1a p/q=?1a p/q

4. Soient(p,q),(p?,q?)?Z×N?, deux couples d"entiers tels quep/q < p?/q?. Alors :

sia >1, alorsap/q< ap?/q?, sia <1, alorsap/q> ap?/q?. Démonstration: elle consiste à se ramener aux propriétés connues des puissances entières. 1.pq =p?q ???pq?=p?q .

Donc :

a 2. a p/q+p?/q?=a(pq?+p?q)/qq?= (apq?+qp?)1/qq?

Orpq?etp?qsont deux entiers. Donc :

(apq?+qp?)1/qq?= (apq?ap?q)1/qq?=apq?/qq?ap?q/qq?=ap/qap?/q?.

3. En utilisant la relation précédente :

a p/q-p/q=a0= 1 =?a-p/q=1a p/q=?1a p? 1/q =?1a p/q

4. Poura >1:

pq On passe dea >1àa <1par la propriété3. Étant donné un rationnelr, il existe une infinité de manières de l"écrire comme rap- port de deux entiers. Le point1de la proposition 2 montre que la puissance fractionnaire ne dépend que du rapportp/q. Nous avons donc définiarpour toutrrationnel. Nous allons étendre la définition à tous lesxréels. Définition 1.Soitaun réel strictement positif. On appellefonction puissancede base ala fonction deRdansR+définie par : •poura>1: ?x?R, ax= sup{ar, r?Q∩]-∞,x[}. 2

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenobleax

a=a=a=a=a= a= a= a= a=1/31/41/5 1/25 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 312345678910 xfonctions puissance

0.Figure1 - Fonctions puissancex?→axpour plusieurs valeurs dea.

•poura61: ?x?R, ax= inf{ar, r?Q∩]-∞,x[}. La figure 1 montre le graphe des fonctions puissance pour plusieurs valeurs dea. Voici la liste des propriétés des fonctions puissances. Théorème 1.Soitaun réel strictement positif.

1. La fonction puissance de baseaest un morphisme du groupe additif(R,+)vers

le groupe multiplicatif(R?,×). ?x,y?R, ax+y=axay.(1)

2. (a) Sia= 1, alors pour toutx?Rax= 1,

(b) sia >1, alorsx?→axest strictement croissante, et : lim x→-∞ax= 0etlimx→+∞ax= +∞, (c) sia <1, alorsx?→axest strictement décroissante, et : lim x→-∞ax= +∞etlimx→+∞ax= 0.

3. La fonctionx?→axest convexe.

4. La fonctionx?→axest dérivable et sa dérivée estx?→Laax, oùLaest une

constante.

5. La fonctionx?→axest indéfiniment dérivable surR.

Démonstration: elle consiste essentiellement à vérifier les propriétés souhaitées sur les

rationnels, puis à les étendre aux réels par passage à la limite. Pour simplifier, nous supposonsa>1. Les démonstrations poura61s"en déduisent facilement. 3

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble1. Soientxetydeux réels. Soient(un)et(vn)les suites des approximations décimales

par défaut dexety. Ce sont deux suites croissantes de rationnels, qui convergent respectivement versxety. La suite(un+vn)est elle-aussi une suite croissante de rationnels, et elle converge versx+y. Or nous connaissons déjà la propriété pour les rationnels : ?n?N, aun+vn=aunavn. Par définition de la borne supérieure, et comme la fonction puissance est crois- sante pour les rationnels, les suites(aun),(avn)et(aun+vn)convergent respecti- vement versax,ayetax+y. D"où le résultat.

2. Soitxun réel, et(un)la suite de ses approximations décimales :1xest la limite

de la suite(1un). Or pour toutn,1un= 1. D"où le résultat. Passons au casa >1. Soientxetydeux réels tels quex < y. Il existe un rationnelrtel quex < r < y. Soient(un)et(vn)les suites des approximations décimales par défaut dexety. Il existe un certain rangn0tel que pour tout n>n0,un< r < vn. Poura >1, les suites(aun)et(avn)sont croissantes. etaun< ar< avn. Par passage à la limite,ax6ar< ay. Doncx?→axest strictement croissante poura >1. Toute fonction croissante admet une limite en -∞et en+∞. Pour identifier ces limites, il suffit de considérer une suite tendant vers-∞et une suite tendant vers+∞, par exemple les suites d"entiers(-n)et (n). Or : lim n→∞a-n= 0etlimn→∞an= +∞.

D"où le résultat.

Poura <1, inutile de refaire les démonstrations : il suffit d"utiliser la formule a -x= 1/ax, conséquence de (1).

3. Nous souhaitons montrer que pour toutx < y, et pour toutλ?[0,1],

a

λx+(1-λ)y6λax+ (1-λ)ay.(2)

Il existe plusieurs démonstrations, mais l"auteur est tellement fan de celle qui suit, qu"il ne résiste pas au plaisir de vous la servir.

Nous allons d"abord montrer que pour toutn?N?:

?(x1,...,xn)?Rn, a(x1+···+xn)/n61n ?ax1+···+axn?.(3) La démonstration de (3) est une récurrence curieuse. Observons d"abord que (3) est trivialement vraie pourn= 1. Montrons qu"elle est vraie pourn= 2. Par application de (1) et puisqueax>0, on a : a (x1+x2)/2=⎷a x1ax2.

Il est facile de vérifier que siαetβsont deux réels positifs, alors⎷αβ6(α+β)/2,

d"où (3) pourn= 2. Nous en déduisons ensuite que si (3) est vraie pour un entier 4

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoblen, alors elle est vraie pour2n. Pour faciliter la lecture, nous notonsfal"application

x?→ax. f =fa? x1+···+xnn +xn+1+···+x2nn 2 6 12 f a?x1+···+xnn +fa?xn+1+···+x2nn 6 12 fa(x1) +···+f(xn)n +fa(xn+1) +···+f(x2n)n fa(x1) +···+fa(xn) +fa(xn+1) +···+fa(x2n)2n. Montrons maintenant que si (3) est vraie pour un entierm>2, alors elle est vraie pourm-1. f a?x1+···+xm-1m-1? =fa( 6 1m f a(x1) +···+fa(xm-1) +fa?x1+···+xm-1m-1??

Soit en regroupant les termes :

f a?x1+···+xm-1m-1?? m-1m 61m
f a(x1) +···+fa(xm-1)? d"où le résultat pourm-1. Maintenant, si (3) est vraie pour un entiern, elle est vraie pour2n, et d"après ce qui précède, aussi pour2n-1,2n-2, ...,n+1. Elle est donc vraie pour toutn. Soientpetqdeux entiers positifs tels quep < q, etx,ydeux réels tels quex < y. Appliquons (3) pourn=q,x1=···=xp=x, etxp+1=···=xq=y. On obtient : f a?pq x+? 1-pq y? 6pq fa(x) +? 1-pq f a(y), soit (2) pourλ=pq . Donc (2) est vraie pour toutλrationnel. On en déduit le résultat pour toutλréel, en utilisant les approximations rationnelles comme nous l"avons déjà fait plusieurs fois.

4. La dérivabilité se déduit de la convexité, en utilisant la propriété (1). Commençons

par montrer quefaest dérivable en0. Considérons la fonctionτ0, qui àh?R? associe le taux d"accroissement :

0(h) =ah-a0h-0=ah-1h

5

Maths en LigneFonctions usuellesUJF GrenobleLa fonctionfaétant convexe, elle est continue et ses accroissements sont crois-

sants. Donc la fonctionτ0admet une limite à gauche et une limite à droite en0. La fonctionfaest donc dérivable à gauche et à droite en0. Nous devons montrer que les deux dérivées sont égales. Pour cela, calculonsτ0(-h), en utilisant (1).

0(-h) =a-h-1-h=1a

h-1-h=1a h1-ah-h=1a hτ0(h). Or quandhtend vers0,1/ahtend vers1, par continuité en0. Donc la limite à gauche deτ0en0est égale à sa limite à droite, ce qui entraîne quefaest dérivable en0. NotonsLala dérivée en0. Pour en déduire la dérivabilité en un pointxquelconque deR, il suffit d"appliquer une fois de plus la propriété (1) : lim h→0a x+h-axh =axlimh→0a h-1h =Laax.

5. La dérivée étant proportionnelle à la fonction, elle est elle même dérivable. Donc

f aest indéfiniment dérivable et sa dérivéen-ième estLnafa.

1.2 Logarithme et exponentielle

Il se trouve que le facteur par lequel on multiplie la fonction puissance de basea pour obtenir sa dérivée, cette constante que nous avons sournoisement notéeLadans le théorème 1, est lelogarithme naturel, oulogarithme népériendea. Définition 2.Soitaun réel strictement positif. On appellelogarithme natureldea, et on noteln(a)la dérivée en0de la fonctionx?→ax.

Théorème 2.

1. Pour touta,b >0, on a :

ln(ab) = ln(a) + ln(b).

2. Pour touta >0etx?R, on a :

ln(ax) =xln(a).

3. La fonctionlnest strictement croissante, et :

lim x→0+ln(x) =-∞,limx→+∞ln(x) = +∞. Démonstration: Nous reprenons la notation de la section précédente pour les fonctions puissances :fadésigne la fonctionx?→ax. 6

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble1. Soientaetbdeux réels strictement positifs. Considérons la fonctionfab. On a :

f ab(x) = (ab)x=axbx=fa(x)fb(x). On calcule la dérivée defaben0, en dérivant le produitfafb: ln(ab) =f?ab(0) =f?a(0)fb(0) +fa(0)f?b(0) = ln(a) + ln(b).

2. Soitaun réel strictement positif et soientx,ydeux réels quelconques.

f a(xy) =axy= (ax)y=fax(y). Fixonsx, dérivons par rapport àyet prenons la dérivée en0. On obtient : xf ?a(0) =f?ax(0), soitxln(a) = ln(ax).

3. Fixonsa >1. D"après le point2(b)du théorème 1, la fonctionfaest strictement

croissante. On en déduit d"une part queln(a)est strictement positif, d"autre part quefaest une bijection deRdansR+?. La relationln(ax) =xln(a)montre que la fonction réciproque deaxest la fonction qui ày?R+?associeln(y)/ln(a). Cette fonction est donc strictement croissante et bijective deR+?dansR. Les limites en0+et+∞se déduisent aussi du point2(b)du théorème 1. Il nous reste à définir la fonction exponentielle, qui est la réciproque du logarithme.

D"après le point3du théorème 2, il existe un réel unique, strictement supérieur à 1,

dont le logarithme vaut1. On le notee. Définition 3.On appelleexponentielle, et on noteexp, la fonction qui àx?Rassocie e x, oùeest l"unique réel tel queln(e) = 1. Ainsi, on pourra noter l"exponentielle dexindifféremmentexouexp(x)(la seconde notation est préférable pour les grosses formules). Théorème 3.L"exponentielle est la réciproque du logarithme. Les deux fonctions sont strictement croissantes et dérivables. ?x?R,exp?(x) = exp(x)et?y?R+?,ln?(y) =1y Démonstration: Puisqueln(e) = 1, on aln(exp(x)) =x, par le point2du théorème

2. La dérivée de l"exponentielle est donnée par le point4du théorème 1. On dérive le

logarithme comme une fonction réciproque : ln ?(y) =1exp ?(ln(y))=1exp(ln(y))=1y 7 Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble-2 -1 0 1 2 3 44 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4f(x) exponentielle et logarithme x lnexp -4 -3.Figure2 - Fonctionsexpetln. La figure 2 montre les graphes des fonctionsexpetln. Comme elles sont réciproques l"une de l"autre, leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Comme nous l"avons vu dans la démonstration du théorème 2, le couple de fonctions réciproques(exp,ln)n"est qu"un cas particulier. Pour touta >0, la fonction puissance de baseaadmet pour réciproque la fonctionx?→ln(x)/ln(a), que l"on appelle le logarithme en basea. Définition 4.Soitaun réel strictement positif. On appellelogarithme en baseala fonction réciproque de la fonction puissance de basea. C"est la fonction deR+?dans

Rqui àx >0associe :

log a(x) =ln(x)ln(a). À part le logarithme en basee, qui est le logarithme naturel, les deux bases les plus utilisées sonta= 10(logarithme décimal) eta= 2(logarithme binaire). Par définition, le logarithme en baseadexest le nombreytel queay=x. Ainsi : log

10(0.001) =-3,log10(100) = 2,log21/16 =-4,log2(1024) = 10.

Il est facile de passer du logarithme en baseaau logarithme naturel, de même qu"il est facile de passer de l"exponentielle à une autre fonction puissance, par la formule : a x= exp(xln(a)). 8

Maths en LigneFonctions usuellesUJF GrenobleNous terminons cette section par deux résultats d"approximation de l"exponentielle.

Le premier se redémontre facilement, le second est absolument fondamental et doit être connu par coeur.

Théorème 4.Pour tout réelx,

e x= limn→∞? 1 +xn n= limn→∞1 +x+x22! +···+xnn!. Démonstration: Pour la première limite, écrivons : 1 +xn n= exp(nln(1 +x/n)) = exp? xln(1 +x/n)x/n

Orln(1) = 0etln?(1) = 1. On en déduit :

lim h→0ln(1 +h)h = 1et donc,limn→∞ln(1 +x/n)x/n = 1. Comme la fonctionexpest continue, ceci entraîne bien : lim n→∞? 1 +xn n= limn→∞exp? xln(1 +x/n)x/n = exp(x). Nous démontrons la seconde formule à partir de la première, en utilisant la formule du binôme de Newton. 1 +xn n=n k=0? n k? xkn k= 1+x1! x+1(1-1n )x22! +···+1(1-1n )···(1-kn )xkk!+···+xnn n.

Supposons d"abordx>0. Fixonsk?N?: pour toutn>k:

1 +xn n>1 +x1! +1(1-1n )x22! +···+1(1-1n )···(1-kn )xkk!.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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