Fonction Trigo
Ensemble de définition = R . (rappel de 1er : cos ' x = - sin x ). Quel que soit le réel x cos(x + 2?) = cos x ; On dit que la fonction cosinus est
4. Fonctions usuelles
Définition 4.2 On appelle ensemble de définition d'une fonction f noté Df en général
domaine de définition Exercice 3
Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante Après avoir déterminé son ensemble de définition montrer que la courbe ...
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction
Ensemble de définition : La fonction ln est définie sur ]0 +?[. 2. Limites et asymptotes : Pour la fonction ln
Chapitre 2 : Fonctions usuelles
22 sept. 2014 Définition 1. Une fonction f : Df ?? R est un objet mathématique associant à tout réel x appartenant à un sous-ensemble Df de R ...
FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp » : 2
Définition 1 Une équation différentielle est une équation définie par une Ensemble de définition : La fonction exp est définie sur R tout entier ...
Fonctions de plusieurs variables
Définition (Graphe). Soit f une fonction de deux variables Df son ensemble de définition. On appelle graphe de f
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
fonction sinus est impaire. Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D –x appartient à D et f (?x)
I Fonctions et domaines de définition II Limites
La continuité signifie que sur chaque intervalle de l'ensemble de définition '« on peut tracer la courbe de f sans lever le crayon ». Proposition. Si f est
I Fonctions et domaines de définition II Limites
La continuité signifie que sur chaque intervalle de l'ensemble de définition '« on peut tracer la courbe de f sans lever le crayon ». Proposition. Si f est
Chapitre 2 : Fonctions usuelles
PTSI B Lycée Eiffel
22 septembre 2014
Logarithme et exponentielle dînent ensemble au resto. C"est exponentielle qui paye toute la note, pourquoi ?Parce que logarithme népérien!
Ce deuxième chapitre de l"année a pour principal objectif deconstituer un catalogue des fonctions
que nous considérerons comme suffisamment classiques pour que leur maîtrise soit indispensable.
Certaines de ces fonctions ont déjà été étudiées au lycée (logarithme népérien et exponentielle),
les autres ne font intervenir aucune théorie supplémentaire, si ce n"est la notion de bijection qui
sera abordée en début de chapitre. Nous reverrons égalementà l"occasion de ce chapître quelques
propriétés de la dérivation, thème que nous reprendrons nettement plus en profondeur un peu plus
tard dans l"année.Objectifs du chapitre :
maîtrise du vocabulaire classique sur les fonctions, et capacité à calculer sans erreur et rapide-
ment toute dérivée faisant intervenir les formules classiques de dérivation.maîtrise des règles de calcul sur l"exponentielle, le logarithme et les puissances : résolution
d"équations se ramenant à du second degré, manipulation aisée des racines carrées. connaissance des dérivées et représentations graphiques des fonctions hyperboliques.1 Généralités
1.1 Domaine de définition
Définition 1.Unefonctionf:Df?→Rest un objet mathématique associant à tout réelxappartenant à un sous-ensembleDfdeR, un réelyégalement notéf(x). L"ensembleDfest appelé
domaine de définitionde la fonctionf.Méthode :Pour déterminer un domaine de définition, on fera notamment attention au trois pro-
blèmes suivants : annulation d"un dénominateur : sif(x) =x+ 1 x2-4, alorsDf=R\{-2;2}. positivité sous une racine : sif(x) =⎷4-2x, alorsDf=]- ∞;2].
stricte positivité sous un ln : sif(x) = ln(x2-9), alorsDf=]- ∞;-3[?]3;+∞[1.2 Parité, périodicité
Définition 2.Une fonctionfestpairesi son domaine de définition est symétrique par rapport à0
et?x? Df,f(-x) =f(x). Elle estimpairesi son domaine de définition est symétrique par rapportà0et?x? Df,f(-x) =-f(x).
1Remarque1.La condition sur la symétrie de l"ensemble de définition est nécessaire pour assurer que
-xappartienne toujours au domaine de définition def. Méthode :Pour prouver qu"une fonction est paire (ou impaire), on exprimef(-x)en fonction de xet on essaie de le mettre sous une forme permettant de constater quef(-x) =f(x). Pour prouver qu"une fonction n"est pas paire, il suffit de trouver un contre-exemple, donc une valeur dexpour laquellef(-x)?=f(x). Attention tout de même, le fait quef(-2) =f(2)par exemple ne prouve rien. Proposition 1.La courbe représentative d"une fonction paire dans un repère orthogonal est sy-métrique par rapport à l"axe(Oy)du repère. La courbe représentative d"une fonction impaireest
symétrique par rapport à l"origine0du repère. Démonstration.Graphiquement, la parité s"exprime comme ceci : si un pointA(x;f(x)), le point A?(-x,f(x))appartiendra également à la courbe (et vice-versa). Or,A?n"est autre que le symétrique
deApar rapport à l"axe(Oy). Le raisonnement est le même pour les fonctions impaires. Définition 3.Une fonctionfest périodique de périodeTsi, quel que soitxappartenant àDf, x+Tappartient àDfetf(x+T) =f(x).Remarque2.Une fonction périodique possède plusieurs périodes différentes, puisque tout multiple
d"une période est également une période. Ainsi, la fonctioncosest périodique de période2π, mais
aussi4πou encore-56π. Il existe toutefois toujours une période qui sera la plus petite période
positive de la fonctionf, et qu"on appelle par abus de langage la période de la fonctionf. Proposition 2.La courbe représentative d"une fonctionfpériodique de périodeTest invariante par translation de vecteurT-→i. Démonstration.Le point(x,f(x))ayant pour image par cette translation le point(x+T,f(x)), c"est une conséquence immédiate de la définition.1.3 Monotonie
Définition 4.Une fonction réellefestcroissante(resp.décroissante) sur un intervalleIsi, ?(x,y)?I2,x < y?f(x)?f(y)(resp.f(x)?f(y)). Je vous épargne les définitions de croissance et décroissance stricte. Définition 5.Une fonction réellefadmet unmaximum(local) enxsur l"intervalleIsix?Iet ?y?I,f(y)?f(x). On parle demaximum globalsiI=Df. On définit de mêmeminimum local et global. Définition 6.Le réelmest unminorantde la fonctionfsur l"intervalleIsi?x?I,f(x)?m. De même,Mest unmajorantdefsurIsi?x?I,f(x)?M. On dit quefest bornée surIsi elle y admet à la fois un majorant et un minorant.Proposition 3.La somme de deux fonctions croissantes (respectivement décroissantes) sur un même
intervalleIest croissante (resp. décroissante) surI.Démonstration.C"est évident à partir de la définition : sif(x)?f(y)etg(x)?g(y), alorsf(x) +
g(x)?f(y) +g(y).Définition 7.Sifest une fonction définie sur un intervalleIetgune fonctions définie surf(I),
alors lacomposéedefet degest la fonction définieg◦fsurIparg◦f(x) =g(f(x)). Proposition 4.Si les fonctionsfetgsont de même monotonie surIet surf(I)respectivement, alorsg◦fest croissante surI. Si les fonctionsfetgsont de monotonie opposée surIet surf(I)respectivement, alorsg◦fest décroissante surI. 2Démonstration.C"est là encore très facile : si par exemple les deux fonctions sont décroissantes,
x?yimpliquef(x)?f(y), puis par décoirssance degsurf(I), on trouveg(f(x))?g(f(y)), donc g◦fest décroissante. Les autres cas sont très similaires. Exemple :La fonctionf:x?→e⎷xest croissante surR+comme composée de deux fonctions croissantes.1.4 Variations
Commençons par l"essentiel : un petit tableau récapitulatif des dérivées à connaitre sur le bout des
doigts, incluant les dérivées de fonctions usuelles ainsi que les formules de dérivation classiques :
fonctiondérivéeDfDf?condition k0RRc?R xnnxn-1RRn?N? 1 xn-nxn+1R?R?n?N? exexRR ln(x)1 xR?+R?+ cos(x)-sin(x)RR sin(x)cos(x)RR u+vu?+v? uvu?v+uv? 1 v-v?v2u v u?v-uv? v2g◦ff?×g?◦fRemarque3.Cette dernière formule (dérivation d"une composée) généralise d"un seul coup tous les
cas particuliers que vous avez pu voir au lycée, notamment(ln(u))?=u? uet(eu)?=u?eu. Théorème 1.Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI, alorsfest croissante surIsi etseulement sif?est positive surI, etfest décroissante surIsi et seulement sif?est négative surI.
Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI, alors sif?est strictement positive surI, sauféventuellement en un nombre fini de points où elle s"annule, la fonctionfest strictement croissante
surI. De même, sif?est strictement négative surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points
où elle s"annule,fest strictement décroissante surI.Proposition 5.Soitfune fonction dérivable en un pointa, alors la tangente à la courbe représen-
tative en son point d"abscisseaa pour équationy=f?(a)(x-a) +f(a).Démonstration.En effet, cette droite a une équation de la formey=αx+β, et doit vérifier deux
conditions : elle a pour coefficient directeurf?(a), doncα=f?(a), et elle doit passer par le point
de la courbe de coordonnées(a,f(a)), doncf(a) =αa+β, soitβ=f(a)-αa=f(a)-af?(a). L"équation est doncy=f?(a)x+f(a)-af?(a) =f?(a)(x-a) +f(a).1.5 Bijections
Définition 8.Une fonctionf:I→Jest unebijectionde l"intervalleIdans l"intervalleJsi tout élément deJadmet exactement un antécédent par la fonctionfdans l"intervalleI. Définition 9.Sifest une fonction bijective deIdansJ, on appellebijection réciproquedeflafonctiong:J→Iqui, à un réelyappartenant àI, associe son unique antécédentxpar la fonction
f. L"applicationgest alors une bijection de l"intervalleJdans l"intervalleI. On la notef-1. 3 Exemple :La notion de réciproque est intuitivement simple, il s"agitsimplement de créer unefonctiongqui " fait le contraire » de la fonctionf. Mais pour cela, la condition sur l"unicité des
antécédents est indispensable, sinon on aura plusieurs possibilités pour la définition de la fonctiong.
Un exemple que vous connaissez déjà est celui de la racine carrée, qui est la réciproque de la fonction
carréf:x?→x2. Attention tout de même, la fonctionfn"est pas une bijection deRdansR, puisque
les réels négatifs n"ont pas d"antécédent parf, mais que les réels strictement positifs en ont deux.
Par contre, cette même fonctionfest bijective deR+dansR+. C"est pour cela que la racine carréeest une fonction définie seulement surR+, à valeurs dansR+(dans la définition de la racine carrée,
on précise bien qu"il s"agit d"un nombre positif). Remarque4.Pour toutxappartenant àI, on af-1(f(x)) =x; pour toutxdansJ,f(f-1(x)) =x. De plus, les représentations graphiques des fonctionsfetf-1dans un repère orthogonal sont des courbes symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Théorème 2.Soitf:I→June fonction continue et strictement monotone. Alorsfeffectue une bijection deIdansJ. De plus, sa réciproquef-1est également continue et strictement monotone, de même monotonie quef. Proposition 6.Soitf:I→June bijection dérivable surIet telle que?x?I,f?(x)?= 0, alors sa bijection réciproque est dérivable surJet?y?J,(f-1)?(y) =1 f?(f-1(y)).Exemple :Si on reprend l"exemple de la racine carrée, on trouve en utilisant le fait que(x2)?= 2x,
la formule bien connue(⎷ x)?=12⎷x.2 Logarithmes et exponentielles
Éternel dilemme du professeur de maths au moment d"aborder cette partie du cours : exponentielle d"abord ou logarithme en premier? Quel que soit le choix, soyez conscients que la constructions"appuiera à ce stade sur des résultats puissants que nous neserons pas en mesure de démontrer :
existence d"une primitive à une fonction continue pour le logarithme, existence d"une solution à
une équation différentielle pour l"exponentielle. Nous commencerons avec le logarithme (c"est le plus
traditionnel) car les démonstrations sont plus faciles à enchaîner dans ce sens, mais je vous donnerai
également des définitions indépendantes de l"exponentielle.2.1 La fonction logarithme népérien
Définition 10.La fonctionln(logarithme népérien) est l"unique primitive de la fonction inverse
x?→1 xsur l"intervalle]0;+∞[s"annulant pourx= 1. Proposition 7.Principales propriétés de la fonctionln: Pour tous nombres réels strictement positifsxety,ln(xy) = ln(x) + ln(y). Les formules suivantes découlent de la première propriété :ln?1 x? =-ln(x);ln?xy? ln(x)-ln(y); pour tout entier relatifn,ln(xn) =nln(x). La fonctionlnest strictement croissante surR+?. limx→0ln(x) =-∞etlimx→+∞ln(x) = +∞ Il existe un unique réel, notée, vérifiantln(e) = 1.Démonstration.
Puisque tout ce que nous savons pour l"instant sur le logarithme est qu"il est une primitive de1 x, la démonstration va passer par une dérivation. Fixons doncune valeur dey >0, et posonsg(x) = ln(xy)-ln(x)-ln(y). La fonctiongest définie et dérivable sur]0;+∞[, de 4 dérivéeg?(x) =yxy-1x= 0. La fonctiongest donc constante surR+?. Commeg(1) = ln(y)-ln(1)-ln(y) = 0, on en déduit que?x >0,ln(xy)-ln(x)-ln(y) = 0, ce qui estéquivalent à notre propriété.
En choisissanty=1
xdans la formule précédente, on obtientln(1) = ln(x)+ln?1x? , soitln(x)+ ln ?1 x? = 0, ce qui prouve le premier point. Il suffit ensuite d"écrireln?xy? = ln? x×1y? ln(x) + ln?1 y? = ln(x)-ln(y)pour obtenir le deuxième. La dernière formule se prouve, pour les valeurs positives den, par récurrence. Pourn= 0,ln(x0) = ln(1) = 0 = 0×ln(x). Ensuite, si on suppose vraie la proptiété au rangn, alorsln(xn+1) = ln(xn×x) = ln(xn) + ln(x) =nln(x)+ln(x) = (n+1)ln(x), ce qui prouve l"hérédité de la propriété. Pour les valeurs négatives
den, on écrit simplementln(x-n) = ln?1 xn? =-ln(xn) =-nln(x). Sa dérivée étant strictement positive, c"est clair.La fonction étant croissante, elle admet nécessairement une limite (finie ou infinie) en+∞, il
suffit donc de prouver qu"elle n"est pas majorée pour obtenir une limite infinie. Or, en prenant unxpour lequelln(x)>0(par exemplex= 2), on aln(xn) =nln(x), qui a pour limite+∞lorsquentend vers+∞. La fonction ne peut donc être majorée, etlnx→+∞(x) = +∞. En posant
X=1 x, on a alorslimx→0ln(x) =-limX→+∞ln(X) =-∞.La fonctionlnétant continue et strictement croissante, et au vu des limites calculées précé-
demment, elle effectue une bijection deR+?versR. Le nombre réel1admet donc un unique antécédent par la fonctionln.Ajoutons la courbe représentative de la fonction, que je couple avec celle de la fonction exponentielle
que nous allons maintenant aborder.0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
0123-1 -2 -3 e^x ln(x)
2.2 La fonction exponentielle
Définition 11.Lafonction exponentielle, que l"on noteraexp, est définie surRcomme la réci- proque de la fonctionln.Remarque5.On peut définir la fonction exponentielle de façon indépendante, sans référence au
logarithme. Par exemple, la fonction exponentielle est l"unique fonction dérivable surRsolution de
5l"équation différentielle et vérifiant de plusf?=f. Une autre définition nettement plus maniable mais
faisant intervenir des séries (vous la reverrez l"an prochain) est la suivante :?x?R,exp(x) =+∞?
n=0x n n!. Proposition 8.Principales propriétés de la fonction exponentielle :La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, et strictement croissante surR.
Sa dérivée est la fonction exponentielle elle-même. limx→-∞exp(x) = 0etlimx→+∞exp(x) = +∞. Pour tous nombres réelsxety,exp(x+y) = exp(x)×exp(y). En particulier,exp(-x) =1 exp(x), et(exp(x))n= exp(nx). Pour tout entiern,exp(n) =en(oùe, rappelons-le, est l"unique réel vérifiantln(e) = 1; on étendra comme vous en avez l"habitude la notationexà toutes les valeurs de l"exponentielle).Démonstration.
On peut appliquer le théorème de la bijection rappelé plus haut. La fonctionexpest définie
surR, à valeurs dansR+?, et de même monotonie queln. De plus, sa dérivée est donnée par
exp ?(x) =1 ln?(exp(x))= exp(x). Les limites découlent également du théorème de la bijection.Le but ici est d"utiliser les règles de calcul vues sur le logarithme. Notonsaetbles antécédents
(uniques à chaque fois par bijectivité duln) dexetypar la fonctionln, on peut écrire exp(x+y) = exp(ln(a) + ln(b)) = exp(ln(ab)) =ab= exp(x)×exp(y). Commeln(1) = 0, on a par ailleursexp(0) = 1, doncexp(x)×exp(-x) = exp(x-x) = 1, soitexp(-x) =1 exp(x)(on peut aussi revenir au logarithme pour démontrer cette formule). Ensuite,exp(nx) = exp(nlna) = exp(ln(an)) =an= (exp(x))n. En particulier,exp(n) = (exp(1))n=en, puisque ln(e) = 1?exp(1) =e.2.3 Fonctions logarithmes et exponentielles quelconques
Définition 12.Soita?R?+\{1}, la fonctionlogarithme en baseaest définie surR+?par log a(x) =lnx lna. Remarque6.La fonctionlncorrespond en fait au logarithme en basee. Un autre logarithme est assezfréquemment employé, le logarithme en base10, aussi appelé logarithme décimal et noté simplement
log(c"est à cette fonction que correspond la touchelogdes calculatrices). Proposition 9.Principales propriétés des fonctions logarithmes : Lorsquea >1, la fonctionlogaest strictement croissante et admet les mêmes limites que le logarithme népérien. Lorsque0< a <1, la fonctionlogaest strictement décroissante;limx→0loga(x) = +∞et lim x→+∞loga(x) =-∞.Toutes les règles de calcul vues sur le logarithme népérien restent valables pour le logarithme
en basea.Démonstration.
La fonctionlogaétant proportionnelle au logarithme népérien, elle est dérivable, de dérivée
log a(x) =1 xln(a). Lorsquea >1,ln(a)>0, la fonction est donc strictement croissante, et leslimites découlent de celles de la fonctionlnpar simple application des règles usuelles de calculs
de limites. 6 Cette fois-ci,ln(a)<0, ce qui explique à la fois le changement de sens de variation,et le changement de signe des limites. Il suffit de reprendre chacune des formules pour leln, et de diviser partout parln(a), pour obtenir les équivalents pour le logarithme en basea. Pour finir, quelques exemples de courbes, qui ont la même allure que celle de la fonctionln:0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
0123-1 -2 -3 ln(x) log(x) ln(x)/ln(0.5) Définition 13.Soita?R+?\{1}, la fonctionexponentielle en baseaest définie surRcomme la réciproque de la fonctionloga. On la noteexpa. Proposition 10.Principales propriétés des exponentielles : On dispose de la formule explicite suivante :expa(x) =exln(a). Lorsquea >1, la fonctionexpaest strictement croissante et admet les mêmes limites que l"exponentielle.
Lorsque0< a <1, la fonctionexpaest strictement décroissante;limx→-∞expa(x) = +∞et
lim x→+∞expa(x) = 0. Toutes les règles de calcul vues sur l"exponentielle restent valables pour l"exponentielle en basea. On notera généralement, similairement à ce qu"on fait pourl"exponentielle de basee, exp a(x) =ax.Démonstration.
En effet,loga(exln(a)) =ln(exln(a))
ln(a)=x, doncexln(a)est bien l"unique antécédent dexpar la fonctionloga.On peut au choix utiliser le théorème de la bijestion comme onl"a fait pour l"exponentielle, ou
simplement utiliser la formule explicite vue ci-dessus.Cf le point précédent.
Là encore, on peut reprendre la méthode utilisée dans le cas de l"exponentielle, ou utiliser la
formule explicite. Par exemple,expa(x+y) =e(x+y)ln(a)=exln(a)+yln(a)=exln(a)×eyln(a)= exp a(x)×expa(y).Remarque7.En utilisant la notation introduite en fin de proposition précédente, on peut écrire
les règles de calcul sous une forme plus simple, par exempleax+y=axay. Toutes ces formules 7correspondent à des propriétés classiques de manipulationdes puissances, qui se généralisent ainsi
sans difficulté à des exposants et des bases non entiers. Et pour changer, on conclut avec quelques courbes :0 1 2 3 4-1-2-3-4
01234-1(1/3)^x 2^x
6^xe^x
3 Fonctions puissances
3.1 Fonctions puissances entières
Définition 14.Soitxun nombre réel. Lespuissances positivesdexsont définies par récurrence :
x0= 1et?n?N,xn+1=xn×x. Lorsquex?= 0, on peut également définir despuissances
négativescomme inverses des puissances positives :x-n=1 xn. Les fonctions puissancesx?→xn sont donc définies surRlorsquen?0, et surR?lorsquen <0. Proposition 11.Principales propriétés des fonctions puissances entières:Les fonctions puissances sont continues et dérivables sur leur domaine de définition, de dérivée
nx n-1lorsquen?= 0(la dérivée de la fonction constantex0étant nulle). Lorsquenest un entier pair strictement positif, la fonction puissancenest paire, décroissante sur]- ∞;0]et croissante sur[0;+∞[. Elle a pour limite+∞en-∞et en+∞. Lorsquenest impair positif, la fonction est impaire, croissante surR, de limites respectives -∞et+∞en-∞et en+∞.Lorsquenest pair strictement négatif, la fonction est paire, strictement croissante sur]-∞;0[
et décroissante sur]0;+∞[. De plus,limx→±∞xn= 0+etlimx→0xn= +∞.Lorsquenest impair négatif, la fonction est impaire, décroissante sur]-∞;0[et sur]0;+∞[.
De plus,limx→±∞xn= 0;limx→0-xn=-∞etlimx→0+xn= +∞.Démonstration.Nous nous contenterons de démontrer la formule pour la dérivée, les limites étant
" évidentes » à ce stade de l"année (on reviendra sur ces calculs après avoir rigoureusement défini les
limites dans un chapitre ultérieur). Prouvons donc la formule quandn >0par récurrence, ce qui nous
donnera une occasion de réviser un peu la théorie de la dérivation. Pourn= 1, la fonctionx?→xa
pour taux d"acroissement au point d"abscissexl"expressionτx(h) =x+h-x h= 1. Cette expressionayant évidemment pour limite1quandhtend vers0, la dérivée de la fonctionx?→xest constante
égale à1. Supposons désormais la formule vraie pour un certain entiern, et appliquons la formule de
défivation d"un produit à la fonctionf:x?→xn+1=xn×x:f?(x) =nxn-1×x+xn×1 =nxn+xn= 8(n+ 1)xn, ce qui prouve l"hérédité et achève la récurrence. Pour les puissances négatives, on peut
utiliser la dérivée d"un inverse. Sin >0,x-n=1 xna pour dérivée-nxn-1(xn)2=-nxn-1x2n=-nx-n-1.La formule annoncée est donc toujours valable.
Vous commencez à avoir l"habitude, quelques petites courbes pour illustrer tout cela :0 1 2 3-1-2-3
0123-1 -2 -3 x^0 x x^2 x^3 x^6 1/x 1/x^2 1/x^5
3.2 Racinesn-èmes
Définition 15.Soitnun entier pair strictement positif. On définit la fonctionracinen-èmecomme
la réciproque de la fonction puissancensur l"intervalle[0;+∞[. On la noten⎷ x. Lorsquenest impairstrictement positif, on peut définir la fonction racinen-ème surRpuisque la puissancenest alors
bijective deRdansR. La notation reste la même. Remarque8.Lorsquen= 2, comme vous en avez l"habitude, on notera la racine carrée⎷ x.Encore quelques exemples de courbes :
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
012 -1 -2 x^(1/2) x^(1/10) x^(1/3) 93.3 Puissances quelconquesDéfinition 16.Soita?R?, la fonctionpuissance en baseaest définie surR+?parxa=ealnx.
Remarque9.Cette définition prolonge bien celle donnée pour les puissances entières et les racines
n-èmes. Pour les puissances entières par exemple, on a vu quenlnx= ln(xn), doncenlnx=xn. Proposition 12.Principales propriétés des fonctions puissances : La fonctionx?→xaest dérivable surR+?, de dérivéeaxa-1. Sia >0, la puissance en baseaest strictement croissante surR+?. De plus,limx→0+xa= 0et lim x→+∞xa= +∞.Sia <0, la puissance en baseaest strictement décroissante surR+?. De plus,limx→0+xa= +∞
etlimx→+∞xa= 0.Les fonctions puissances en baseaet en base1
asont réciproques l"une de l"autre. En particulier, la fonction puissance en base 1 ncoïncide avec racinen-ème.Les propriétés algébriques des puissances entières restent valables pour les puissances quel-
conques :xa×xb=xa+b;(xa)b=xab;1a= 1.Démonstration.
En effet,ealn(x)se dérive comme une composée, et a pour dérivéea xealn(x)=aeln(x)ealn(x)= ae (a-1)ln(x)=axa-1.En effet, la dérivée est alors positive. Les limites se calculent via les règles usuelles de calculs
de limites. Par exemple,limx→0aln(x) =-∞, et par compositionlimx→0ealn(x)= limX→-∞eX= 0.
Même principe que ci-dessus.
Vérifions :ealn(x)=yest équivalent àaln(x) = ln(y), soitln(x) =1 aln(y)ou encorex= e 1 aln(y), ce qui prouve le proposition.Tout cela se vérifie aisément à l"aide des propriétés du logarithme et de l"exponentielle. Par
exemple,xa×xb=ealn(x)×ebln(x)=e(a+b) ln(x)=xa+b. De même,(xa)b=ebln(ealn(x))= e abln(x)=xab. Quant au1a= 1, c"est une conséquence directe du fait queln(1) = 0. Remarque10.La fonction puissance en baseaest prolongeable par continuité en0en posant0a= 0 lorsquea >0. Sia >1, sa dérivée est également prolongeable par0en0(cf les résultats de croissance comparée), ce qui prouve que la courbe représentative de ces fonctions admet en0unetangente verticale (on reviendra sur ce genre de calculs dans un chapitre ultérieur sur la dérivation.
Vous attendiez les courbes? Il n"y en aura pas, les fonctionspuissances quelconques ayant des allures
très similaires à celles des puissances entières et des racinesn-èmes vues plus haut.4 Limites classiques
Proposition 13.Les deux limites suivantes en0peuvent permettre de lever des indéterminations complexes :limx→0ln(1 +x) x= 1; etlimx→0e x-1x= 1.Démonstration.Ce sont des conséquences des formules pour les dérivées des fonctionslnetexp. Le
taux d"accroissement de la fonctionf:x?→ln(1+x)en0vautτ0(h) =ln(1 +h)-ln(1) h=ln(1 +h)h. La fonctionfétant dérivable, de dérivée1 x+ 1, l"expression converge donc quandhtend vers0vers f?(0) = 1. De même, en considérant simplement le taux d"accroissement de la fonction exponentielle
en0, la deuxième limite est égale àe0= 1. 10quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les fondations d'une nouvelle France pendant la Révolution et l'Empire
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