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Les Fractions Rationnelles

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

2 f´evrier 2018

F=E+n?

i=1?

αi?

j=1λ ij(X-ai)j?+p? i=1?

βj?

j=1γ ijX+δij(X2+piX+qi)j?

DES surR

1 D´efinition du corps des fractions rationnelles

K[X] est un anneau commutatif int`egre, mais ce n"est pas un corps.

A partir de l"anneauZ, nous avons construit le corpsQ. De la mˆeme mani`ere, nous pouvons construire `a partir de

K[X] le corpsK(X) des fractions rationnelles. Le d´etail de la construction deK(X) n"est pas au programme.

D´efinition 1 :Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle surKest not´eeF(X) =P(X) Q(X)o`uPetQsont deux polynˆomes deK[X], avecQ?= 0. On noteK(X) l"ensemble des fractions rationnelles.

D´efinition 2 :

On d´efinit l"´egalit´e de deux fractions rationnelles par :P1

Q1=P2Q2??P1.Q2=P2.Q1

SiF=P

QalorsPQest appel´e un repr´esentant deF.

Exemple 1.

X X2+ 1,2X2X2+ 2etX2X3+Xsont des repr´esentants de la mˆeme fraction. D´efinition 3 :Repr´esentant irr´eductible

SiF?K(X) s"´ecritF=P

QavecP?Q= 1 alors le couple (P,Q) est unique `a une constante multiplicative non nulle pr`es.P Qest alors appel´e un (et pas "le"!!) repr´esentant irr´eductible deF.

Exemple 2.SoitF=X2-3X+ 2

X2-1. AlorsFadmetX-2X+ 1pour repr´esentant irr´eductible. Remarque1.On obtient un repr´esentant irr´eductible deP

Qen divisantPetQparP?Q.

1 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

D´efinition 4 :Les Lois

On d´efinit surK(X) la somme +, le produit×et la loi externe . par les formules suivantes :

Soient (F1, F2)?K(X) telles queF1=P1

Q1,F2=P2Q2etλ?K

1.F1+F2=P1Q2+P2Q1

Remarque2.

On v´erifie simplement que les r´esultats de ces 3 op´erations sont ind´ependants des r´epr´esentants choisis.

Th´eor`eme 1 :Structure

Muni des lois pr´ec´edentes,?K(X),+,×?est un corps.

Preuve 1 :Il faut red´emontrer une `a une toutes les propri´et´es qui d´efinissent la structure de Corps.

Remarque3.

ToutP?K[X] s"indentifie `a la fractionP

1et on peut donc consid´erer queK[X]?K(X).

D´efinition 5 :Degr´e d"une fraction rationnelle

Soit une fraction rationnelleF=P

Q?K(X). On appelle degr´e deF, l"´el´ement deZd´efini par : degF= degP-degQ LorsqueF?= 0, le degr´e deFest un entier relatif.

LorsqueF= 0, degF=-∞.

Remarque4.La fonction "degr´e" est bien ind´ependante du repr´esentant choisi!

Exemple 3.SiF=X2

X4+ 1etG=X2X-1alors deg(F) =-2 et deg(G) = 1.

ATTENTION

Une fraction rationnelle de degr´e positif n"est pas forc´ement un polynˆome (cf la fractionGci-dessus). Proposition 2 :Propri´et´es du degr´e d"une fraction rationnelle On a les mˆemes propri´et´es que pour le degr´e des polynˆomes :

2. deg(F1F2) = degF1+ degF2

3. deg(λ.F) = deg(F) siλ?= 0 et deg(λ.F) =-∞siλ= 0.

Preuve 2 :Il suffit de faire les calculs ...

Remarque5.Si deg(F1)?= deg(F2), alors on a deg(F1+F2) = max(degF1,degF2).

Proposition 3 :Soitn?Z.

L"ensembleKn(X) des fractions rationnelles de degr´e inf´erieur ou ´egal `anest un sev deK(X).

Preuve 3 :On utilise la m´ethode usuelle pour d´emontrer qu"un ensemble est un sev. Remarque6.En revanche, commeKn(X) n"est pas stable par×, ce n"est pas une sous-alg`ebre deK(X). D´efinition 6 :Z´eros, pˆoles d"une fraction rationnelle

SoitF=P

Q?K(X) o`uPQest irr´eductible. Les racines de?Ps"appellent lesz´erosdeF

Qs"appellent lespˆolesdeF.

2 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Remarque7.

1. La d´efinition des?z´erospˆolesd"une fraction rationnelle est ind´ependante du repr´esentant irr´eductible choisi.

2. Un pˆole (resp. z´ero)a?Kde la fractionF=P

Qest dit demultiplicit´ek?N, lorsqueaest une racine d"ordre de multiplicit´ekdu polynˆomeQ(resp.P).

Exemple 4.SoitF=(X-1)2

(X2+ 1)(X+ 1).

1. DansR(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1 est le seul pˆole deF.

2. DansC(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1, i et -i sont les pˆoles deF.

D´efinition 7 :D´eriv´ee d"une fraction rationnelle

SoitF=P

Q?K(X).

La fraction rationnelle d´eriv´ee deFest alors d´efinie par :F?=P?Q-PQ? Q2

D´efinition 8 :fonctions rationnelles

SoitF=P

Q?K(X) o`uPQest irr´eductible etPest l"ensemble des pˆoles deF. Lafonction rationnelle?Fassoci´ee `aFest d´efinie par :?F:K\ P -→K x?→?P(x) ?Q(x). On pourra noterK(x) l"ensemble des fonctions rationnelles. Remarque8.Comme pour les polynˆomes, la fonction rationnelle?Fsera plus simplement not´eeF.

2 D´ecomposition en ´el´ements simples - La th´eorie

Th´eor`eme Fondamental 4 :Formule g´en´erale

SoitF=P

Q?K(X) irr´eductible telle queQadmet pour d´ecomposition en facteurs irr´eductibles dansK[X] :

Q=n? k=1P

αkk

La fractionFs"´ecrit alors de fa¸conuniquesous la forme :

F=E+?Q11

P1+Q12P21+···+Q1α1Pα11?

avec :

1.Ele quotient de la division euclidienne dePparQappel´ee lapartie enti`eredeF.

2.Qij?K[X] avec degQij Cette relation s"appellela D´ecomposition en El´ements Simples (DES) deFsurK.

Preuve 4 :Admise.

Remarque9.

1. La fraction

?F=F-Eest appel´ee lapartie fractionnairedeF.

2. Les termes apparaissant dans la d´ecomposition pr´ec´edentedeFsont appel´es des´el´ements simples.

Les ´el´ements simples

dansK(X) sont donc : 3 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ (a) Les polynˆomes deK[X]. (b) Les fractions rationnelles de la forme Q

PαavecP?K[X] irr´eductible,?Q?K[X]

degQ DES surRet surC:

1. La DES surCest de la forme :F=E+n?

i=1?

αi?

j=1λ ij (X-ai)j?

2. La DES surRest de la forme :F=E+n?

i=1?

αi?

j=1λ ij (X-ai)j?+p? i=1?

βj?

j=1γ ijX+δij(X2+piX+qi)j? Exemple 5.(?) Donner la forme de la DES deF=X11-X5+ 1 (X2+X+ 1)3(X-2)3surCet surR.

Python

La d´ecomposition en ´el´ements simples de F(X) sous Pythonest donn´ee par les instructions :

>>> from sympy import var, apart >>> var("X") >>> apart(F(X),X) Proposition 5 :Soitn?N?etP?Kn[X] scind´e?de racinesa1, ..., an d"ordre de multiplicit´eα1, ..., αn. La d´ecomposition en ´el´ements simples de P?

Pest alors :

P P=n? k=1α kX-ak

Preuve 5 :Il suffit de faire le calcul ...

Exercice : 1

(??) SoitP?C[X] de degr´en?N?et de racinesx1, ...xndistinctes ou non. Soita?Ctel queP(a)?= 0.

Calculer `a l"aide des donn´ees, les sommes :

1. n? i=11 a-xi2.n? i=1x ia-xi3.n? i=11(a-xi)24.n? i=1λ.x i+μ(a-xi)2(λ?= 0)

Exercice : 2

(??) SoitP?R[X] n"ayant que des racines r´eelles. Montrer que pour toutx?R, on aP?2(x)-P(x)P??(x)≥0.

3 D´ecomposition en El´ements Simples - La pratique

M´ethode g´en´erale de d´ecomposition en ´el´ements simples

1. On commence par donner la forme g´en´erale de la d´ecompositionen ´el´ements simples.

2. A l"aide des techniques vues au paragraphe suivant, on d´etermine dans l"ordre :

- la partie enti`ereE, puis la partie fractionnaire?F. - les coefficients associ´ees aux pˆoles simples - les coefficients associ´es aux pˆoles multiples - les coefficients associ´es aux polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2 4 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 6.Ainsi, on pourra directement ´ecrire que : X 4 (X-1)(X-2)2=aX+b+cX-1+dX-2+e(X-2)2 et rechercher les coefficientsa,b,c,dete`a l"aide des techniques suivantes...

3.1 Recherche de la partie enti`ereE

On commence par regarder si degF <0 car dans ce cas, on aE= 0.

Sinon, on d´eterminera la partie enti`ereE:

1. Soit directement en effectuant la division euclidienne dePparQ

2. Soit en ´ecrivantEsous sa forme g´en´erale en remarquant que degE= deg(F).

On trouve alors les coefficients deEen comparant les ´equivalents des fonctions rationnelles associ´ees en +∞

puis en recommen¸cant l"op´eration apr`es avoir soustrait l"´equivalent obtenu.

Exemple 7.(?) D´eterminer par deux m´ethodes diff´erentes la partie enti`erede la fractionF=X4

(X-1)(X-2)2.

3.2 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles simples

NotonsF=P

Qirr´eductible avecaun pˆole simple.

Nous pouvons alors ´ecrire au choix :

F=P (X-a)?Qavec?Q(a)?= 0 ouF=P(X-a)Q?(a) + (X-a)2.Ten appliquant Taylor On en d´eduit alors les deux formules suivantes : Recherche de la partie polaireλX-aassoci´ee `a un pˆole simplea Pour trouver le scalaireλ, on peut utiliser l"une des deux formules suivantes : λ=P(a)?Q(a)o`uQ= (X-a)ˆQλ=P(a)Q?(a)lorsqueQn"est pas factoris´e Exemple 8.(?) D´ecomposer les fractions rationnelles suivantes surC.

1.F(X) =X-4

(X-1)(X+ 1)X2.G(X) =X4+X+ 1X(X-1)(X-2)3.H(X) =Xn-1Xn-1(n?N?)

3.3 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles multiples

Supposons quea?Ksoit un pˆole d"ordren≥2.

La DES est alors de la forme :

F=E+a1

X-a+a2(X-a)2+···+an(X-a)n+ˆF

On souhaite d´eterminer les valeurs deak.

5 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

3.3.1 M´ethodes G´en´erales

M´ethode G´en´erale 1 : En s"inspirant du cas des pˆoles simples

1. On multiplie la relation obtenu par la DES par (X-a)npuis on prendx=a.

On obtient alors la valeur dean.

2. En soustrayant

an (X-a)nde part et d"autre de la relation, on diminue de 1 l"ordre du pˆolea.

3. On peut alors r´e-it´erer l"algorithme pr´ec´edent.

Exemple 9.(?) D´ecomposer en ´el´ements simples surRla fractionF=X5+ 1 (X-3)(X-1)2.

Exercice : 3

(?) D´ecomposer dansC(X) les fractions rationnelles suivantes :

1.I=X2-1

X(X-i)32.J=2X2+ 5(X2-1)3

M´ethode G´en´erale 2 :avec un D´eveloppement Asymptotique

1. CommeF=E+a1

X-a+a2(X-a)2+···+an(X-a)n+ˆF, alors au voisinage deanous avons :

F(x) =an

Ce qui est un D´eveloppement Asymptotique deF(x) au voisinage de 1.

2. On constate alors, d"apr`es l"unicit´e du DA, qu"il suffit de d´eterminer un DA deF(x) au voisinage de 1

pour obtenir les valeurs dea1, ...,an Exemple 10.(?) Appliquer cette m´ethode pour obtenir la DES deF=X2+ 1

X(X-1)3

Exercice : 4

(? ? ?) D´eterminer le DES surR[X] deF=1Xm(1-X)navecm, n?N?.

3.3.2 Autres m´ethodes classiques

Les m´ethodes suivantes permettent parfois de gagner beaucoup de temps dans les calculs des coefficients :

1.M´ethode 1 :SiFest paire o`u impaire, on peut trouver des relations entre les coefficients en consid´erant?F(-X).

Exemple :F=X

X4+ 1

2.M´ethode 2 :Si on cherche une DES dansC(X) deF?R(X), on peut trouver des relations entre les coefficients de la DES

dansC, en consid´erant la fraction conjugu´ee de?F. Il est inutile d"utiliser cette m´ethode en compl´ement de la m´ethode 1...

Exemple :F=X+ 1

(X2+ 1)2

3.M´ethode 3 :On peut multiplier la DES de?FparXet faire tendrexvers∞dans la fonction rationnelle associ´ee.

6 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

4.M´ethode 4 :On peut facilement obtenir des relations v´erifi´ees par les coefficients en choisissant des valeurs simples dex

(diff´erentes des valeurs des pˆoles) dans les fractions rationnelles associ´ees.

5.M´ethode 5 :On peut proc´eder par identification des coefficients.Cette m´ethode est d´econseill´ee car elle aboutit `a des syst`emes longs `a r´esoudre...

6.M´ethode 6 :On peut proc´eder `a une d´ecomposition intuitive du num´erateur.

Exemple :F=X3-X2+ 1

(X2+ 1)3dansR(X).

Exercice : 5

(?) D´ecomposerF=X4+X2+ 1X2(X2-1)en ´el´ements simples.

Exercice : 6

(??) Soita?R?etn?N?. D´ecomposer surCla fraction rationnelle suivante :F=1 (X2-a2)n.

Aide : on pensera a utiliser la parit´e et on effectuera un d´eveloppement asymptotique deFau voisinage dea.

3.3.3 Autres m´ethodes possibles

Certaines m´ethodes, plus anecdotiques, peuvent cependant s"av´erer tr`es efficaces :

1.M´ethode 7 :Lorsqu"il s"agit de d´ecomposer en ´el´ements simplesA

(X-a)kavec?degA≥1

A?K[X], on peut d´ecomposerAen

utilisant la formule de Taylor :A=a0+a1(X-a) +···+an(X-a)n.

Exemple :F=X2+ 1

(X-1)3(voir aussi la m´ethode 6)

3.4 Recherche des coefficients associ´es aux polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2

Bien entendu, ceci ne concerne que les DES dansR(X). Plusieurs m´ethodes peuvent ˆetre envisag´ees.

On peut :

1.M´ethode 1 :D´eterminerγX+δde l"´el´ement simpleγX+δ

(X2+pX+q)n(n´etant la plus grande des puissances) en appliquant la formule : (z2+pz+q)nF(z) =γz+δo`uzest racine deX2+pX+q

2.M´ethode 2 :Proc´eder par identification (`a ´eviter si les calculs sont trop longs).

Pour cela, on exprime la fraction et sa DES sous la mˆeme forme et on identifie les coefficients.

3.M´ethode 3 :Quand le facteur irr´eductibleX2+pX+qest uniquement `a la puissance 1, on peut commencer par effectuer

une DES surC, puis regrouper les ´el´ements simples complexes. Attention, cette m´ethode ne marche plus si la puissance vautn≥2.

Exemple :F=X2

(X+ 2)(X2+ 1)et contre-exemple :G=X2-1(X2+ 1)2 7 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

4.M´ethode 4 :Prendre des valeurs dexparticuli`eres diff´erentes des pˆoles.

On obtient ainsi des relations entre les coefficients.

5.M´ethode 5 :Prendre la limite dexkF(x) en +∞et obtenir ainsi une nouvelle relation portant sur les coefficients de laDES.

Exercice : 7

(?) D´ecomposer en ´el´ements simples surR(X) les fractions rationnelles suivantes : 1.F=1

1 +X42.F=X3-1X(X2+ 1)23.F=1(X2+ 2X+ 2)(X2+ 2X+ 5)

Remarque10.La d´ecomposition en ´el´ements simples sert en particulier dans le calcul de primitives mais trouve de

nombreuses autres applications comme nous le verrons dans les exercices de TD.

4 Connaissez-vous votre cours?

Vous devez imp´erativement savoir r´epondre aux diff´erentes questions suivantes :

QuestionsR´eponses attendues

1.De quel degr´e est la fraction rationnelleF=X(X2-1)X5+ 3X-2degF=-2

2.Quelle diff´erence faites-vous entre racines et pˆoles d"un polynˆome?cf cours

3.Quel est le degr´e de la partie enti`ere de la fractionF=X7-X21 +X3+X(X2+ 2)X-1?degE= 4

4.Quelle est la premi`ere ´etape de la DES d"une fraction?Div. Euclidienne

5.Comment obtenir la DES deA(X-a)no`u degA < n?On peut appliquer

Taylor `aAena.

6.Quelle est la forme de la DES deF=X3+X-1(X-1)2(X+ 2)b+c(X-1)2+

d (X-1)+e(X+2)

7.Comment gagner du temps dans la DES dansCdeF=X31 +X2Fimpaire

8.Rappeler la DES deP?PlorsquePest scind´e.cf cours

9.Donner la DES dansRdeF=3(X-2)2.C"est un ´eltsimple!

8 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

10.Valeur du coef associ´e au pˆole simpleades parties fractionnairesF=PQ?α= [(X-a)F(X)](a)

α=P(a)Q?(a)

11.Donner le coefficient associ´e au pˆoleωk=e2ikπndeF=Xn-1Xn-1.αk=1n

12.Rappeler la m´ethode pour trouver la DES de la partie polaire associ´ee `a un pˆole d"ordre 2.cf cours

13.Rappeler la m´ethode pour trouver la DES de la partie polaire associ´ee `a un pˆole d"ordre 3.cf cours

14.Que doit-on penser `a regarder avant d"effectuer la DES d"une partie fractionnaire?La parit´e!

15.Quelles sont les diff´erentes techniques pour des relations entre coef?Utiliser la parit´e

UtiliserF?R[X]

Prendre une valeur

Limite en∞

5 Exercices de TD

Codage

1. Les exercices avec des coeurs♥sont `a traiter en priorit´e.

2. Le nombre d"´etoiles?ou de coeurs♥correspond `a la difficult´e des exercices.

I] Divers

Exercice de TD : 1

(??) Montrer qu"il n"existe pas de fractionFdeC(X) telle queF?=1X. Aide : On pourra proc´eder par l"absurde en examinant les termes dominants ou en utilisant Gauss II] D´ecompositions en ´el´ements simples

Les techniques de d´ecomposition en ´el´ements simples ont ´et´evues en d´etail dans le cours.

1. On commence toujours par ´etudier le degr´e de la fraction afin de rechercher la partie enti`ere ´eventuelle

(souvent par division euclidienne).

2. On d´etermine alors la d´ecomposition en facteurs irr´eductiblesdu d´enominateur afin de donner la forme

g´en´erale de la DES.

3. On recherche alors les coefficients associ´es aux diff´erents pˆoles.

(a) en utilisant l"une des deux formules du cours dans le cas des pˆolessimples

(b) en utilisant les "ruses" du cours pour d´eterminer des relationsentre les coefficients cherch´es

(c) en effectuant l"une des deux m´ethodes g´en´erales (DA ou Produit par (X-a)n) dans le cas des pˆoles

d"ordre multiple

Exercice de TD : 2

(♥) D´ecomposer en ´el´ements simples les fractions rationnelles suivantes : 9 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

1.F(X) =1(X2-4)(X-1)4dansR[X]2.F(X) =XX3-1dansR[X]

Exercice de TD : 3

(♥♥♥) SoitF=UVavecaun pˆole double deF.

Exprimer les coefficients de la d´ecomposition en ´el´ements simples associ´es `a ce pˆole double uniquement en fonction de

UetVet de leur d´eriv´ee!

Aide : pensez `a appliquer la formule de Tayor `aVena. III] Applications de la d´ecomposition en ´el´ements simples

Les DES peuvent servir en particulier `a :

1. calculer l"int´egrale ou une primitive d"une fonction rationnelle

2. calculer des sommes en se ramenant `a des sommes t´elescopiques

3. calculer des d´eriv´ees de fonctions rationnelles

Exercice de TD : 4

(?) Exprimer la d´eriv´ee d"ordrendeF=1X(X2+ 1)

Exercice de TD : 5

1. D´ecomposer la fractionF=1

(X-1)3(X+ 1)3en ´el´ements simples.

2. En d´eduire deux polynˆomesUetVtels que (X+ 1)3U+ (X-1)3V= 1

Exercice de TD : 6

(♥) Calculer l"int´egrale suivante :? 2 1x

4-2x(x+ 1)2dx.

Exercice de TD : 7

(♥) D´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eralSn=n?k=11k(k+ 1)(k+ 2)

Exercice de TD : 8

(♥) Soitfla fonction arctan.

D´ecomposerf?(x) dansC(X), puis utiliser cette d´ecomposition pour calculer explicitementf(n)(x).

En d´eduire les z´eros def(n).

Exercice de TD : 9

(♥) Soitn?N?,p?[[0,n-1]] etz1, ...,zndes complexes non nuls deux `a deux distincts. SoitQ=n? k=1(X-zk).

1. D´eterminer la d´ecomposition en ´el´ements simples de

Xp Q.

2. En d´eduire la valeur de

n?k=1z p k

Q?(zk)

Exercice de TD : 10

(??) Soit un polynˆomePde degr´en`a coefficients r´eels admettantnracines r´eelles distinctes.

1. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelleF=P?

P.

Exercice de TD : 11

(? ? ?) SoitP?R[X] scind´e `a racines simples etaun nombre r´eel non nul. Montrer queP?+aPest aussi scind´e surR`a racines simples. Aide : vous pourrez ´etudier la fonctionx?→P?(x) P(x) 10 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Exercice de TD : 12

(??) SoitP?C[X], de degr´en≥2 `a racines simples :x1, ...xnnon nulles.

Montrer que :

n? i=11 xi.P?(xi)=-1P(0).

Exercice de TD : 13

Calculer :

n? k=1Q(xk)

P?(xk)

Exercice de TD : 14

(?) Soienta,b cdes complexes etd=a+b+c2. On supposea,b,cetddistrincts. (X-a)(X-b)(X-c)=?P(a)(a-b)(a-c).1X-a

2. En d´eduire la valeur de

?a2 (a-b)(a-c)(b+c-a)

Exercice de TD : 15

(??) Calculer4? k=1z

3k+ 2(z2k-1)2o`uz1, ...,z4sont les racines complexes deP=X4-X3+ 1.

On pensera `a utiliser la DES deP?/P.

Exercice de TD : 16

(??) Soitn?N?etPn=n-1?k=0(k+ 1)Xk.

Montrer quePnadmet une racine dansQ\]1,2].

On pensera `a transformer l"expression dePnet on pourra envisager de tester la valeurx0= 1 +1 n. 11quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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