yellow STATISTIQUE I S1 - Module M5 Filière: Sc.[origin=c
II) La moyenne Géométrique. III) La moyenne Harmonique. IV) La moyenne Quadratique. VI) Résultat comparatif. Driss TOUIJAR. STATISTIQUE I S1 - Module M5
Moyennes géométriques arithmétiques
http://www.numdam.org/item/NAM_1859_1_18__353_1.pdf
Recueil dexercices et de problèmes
PROBLÈME N° 1 : Moyenne arithmétique et moyenne harmonique Calculer les moyennes arithmétique géométrique
Ya moyen de moyenner ?
Apr 4 2022 la moyenne arithmétique : la moyenne géométrique : la moyenne quadratique : 1. DE LA MOYENNE HARMONIQUE ET DE L'INÉGALITÉ HARMONICO- ...
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m est appelée moyenne arithmétique de a et b; g est la moyenne géométrique et h la moyenne harmonique de ces deux nombres.
Les moyennes en mathématiques
La moyenne arithmétique de deux réels et est Méthodes de comparaison de deux nombres ... géométrique quadratiques et harmoniques des longueurs et .
Preuves pour démontrer linéga- lité entre moyennes arithmétique et
Inégalité arithmético-géométrique L'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique pour des nombres ... usuelles (harmonique quadratique
Problème n 1 Partie A : cas de deux nombres
strictement positifs a et b donnés où se situe le point ?Fi . Moyenne arithmétique. Moyenne quadratique. Moyenne géométrique. Moyenne harmonique.
EXERCICES SUR LES MOYENNES
est la moyenne arithmétique de a et de b Comparaisons géométriques : ... harmonique est EF et enfin la moyenne quadratique est.
Sur la notion de moyenne dune variable quantitative: clarifications
Nov 13 2020 préciser un type de moyenne commune (arithmétique
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MOYENNES GÉOMÉTRIQUES ARITHMÉTIQUES HARMONIQUES COMPARÉES; D'APRÈS M SCHLOMILCH ZEITSHRIFT 3e année i858 p 187
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II) La moyenne Géométrique III) La moyenne Harmonique IV) La moyenne Quadratique VI) Résultat comparatif Driss TOUIJAR STATISTIQUE I S1 - Module M5
arithmétique géométrique harmonique et quadratique (Version 2)
Donc les moyennes classées dans l'ordre décroissant sont : la moyenne quadratique; la moyenne arithmétique; la moyenne géométrique; la moyenne harmonique
Inégalités des moyennes - Mathraining
8 déc 2014 · Moyenne quadratique Un peu comme pour la moyenne harmonique on peut aussi calculer la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des
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Calculer les moyennes arithmétique géométrique harmonique et quadratique des nombres 2 et 05 5 Dans un problème de double pesée quel type de moyenne
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16 déc 2021 · Aujourd'hui on parle de moyennes :Les moyennes arithmétique harmonique géomtrique et Durée : 10:38Postée : 16 déc 2021
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La moyenne arithmétique apparaît clairement dans Harmonique < Géométrique < Arithmétique < Quadratique Moyenne pondérée
Quels sont les différents types de moyenne ?
La moyenne est un indicateur qui présente l'intérêt de résumer une série par une valeur. L'apprenti économiste est amené à calculer plusieurs types de moyennes : moyenne arithmétique simple, moyenne pondérée, ou encore taux de croissance annuel moyen.Comment interpréter la moyenne harmonique ?
La moyenne harmonique de n nombres est définie comme n divisé par la somme des inverses de chaque nombre. Autrement dit, pour calculer la moyenne harmonique, on additionne les nombres inverses de chacune des observations. Puis on divise le nombre total d'observations de notre série de valeurs par la somme obtenue.Quand on utilise la moyenne arithmétique ?
Exemple. On parle de moyenne arithmétique quand on souhaite calculer le prix moyen que l'on a dépensé en faisant nos courses. Ce prix moyen correspond à un nombre qui, multiplié par le nombre d'articles, est égal au montant total que l'on a payé.- C'est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des termes. La moyenne harmonique est donc utilisée lorsqu'on veut déterminer un rapport moyen, dans un domaine où il existe des liens de proportionnalité inverses.
![Preuves pour démontrer linéga- lité entre moyennes arithmétique et Preuves pour démontrer linéga- lité entre moyennes arithmétique et](https://pdfprof.com/Listes/18/14192-18L29_Inegalite.pdf.pdf.jpg)
Inégalité arithmético-géométrique
Preuves pour démontrer l"inéga-
lité entre moyennes arithmétique et géométriqueJacques Bair
Mots clés : Moyennes arithmétique et géométrique, analyse et synthèse, preuves sans mots, preuves par récurrence.Résumé.L"inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique pour des nombres positifs est importante
en mathématiques. Elle peut être démontrée de multiples façons.Nous donnons un aperçu de quelques preuves qui nous semblent à la fois esthétiques et accessibles pour
des élèves de fin du secondaire ou du début du supérieur.Nous en profitons pour émettre quelques réflexions générales relatives aux démonstrations.
1. Introduction
Nous nous proposons de prouver, de diverses ma-
nières, un résultat fondamental dans la théorie des nombres : il s"agit de l"inégalité arithmético- géométrique(IAG en abrégé, encore appelée dans la littérature lethéorème des moyennes arithmé- tique et géométrique); elle sera notée simplement I npour un entier positifnquelconque. Nous consi- dérons des nombres positifsa1,a2, ...,anet allons donc démontrerIn, à savoir : a1+a2+...+an
n?n⎷a1a2...an Nous ne nous attarderons pas sur le fait qu"il s"agit d"une égalité si et seulement si tous les nombresai considérés sont les mêmes, et donc que l"inégalité en question est stricte en général. De même, nous ne chercherons pas à fournir des applications (pourtant fort nombreuses) de cette relation, ni à l"étendre à d"autres moyennes (éventuellement pondérées). En- fin, nous ne viserons pas une étude exhaustive don- nant toutes les démonstrations de l"IAG disponibles dans la littérature (car, par exemple, l"ouvrage [ 4] en reprend plusieurs dizaines). Nous en retiendrons certaines qui nous paraissent intéressantes ou sur- prenantes (ce qui est un critère fort subjectif) et aussi qui pourraient être présentées (avec d'éven- tuels ajustements) à des étudiants de n du secon- daire ou du début du supérieur. Pour ne pas al- longer trop notre texte, nous n'allons parfois qu'es- quisser les preuves, en insistant surtout sur les idées fondamentales des raisonnements, laissant alors le soin aux lecteurs de fournir plus de justications (des références gurant dans la bibliographie pou- vant les aider dans cette tâche). En corollaire, nous viserons un objectif plus géné- ral : rééchir sur la variété et la diversité des dé- monstrations mathématiques, ainsi que sur l'ingé- niosité des idées utilisées et l'ecacité de certains concepts théoriques. Nous traiterons d'abord le cas, évidemment le plus facile mais très riche, de deux nombres, avant d'aborder le cas général.2. Démonstrations pour deux
nombres Il s"agit de prouver que, pour des nombres positifs arbitrairesaetb, on a a+b2?⎷ab
Nous allons fournir diverses preuves en les ratta- chant à des domaines mathématiques qui se re- trouvent habituellement dans les programmes sco- laires, à savoir l"algèbre, la géométrie et l"analyse.22Losanges•N?29•2015•22 -29
Inégalité arithmético-géométrique
2.1. Preuves algébriques
L"inégalitéI2peut être vue comme étant une consé- quence immédiate de l"égalité suivante, donnée parLiouville([
9], p. 493) :
a+b2=⎷ab+?
a-⎷b? 2 2Nous nous proposons de détailler davantage une
autre démonstration, peut-être plus laborieuse mais relativement classique : elle nous paraît surtout in- téressante dans la mesure où elle laisse entrevoir la possibilité de dégager une manière assez naturelle pour construire une preuve mathématique en toute généralité. Il s"agit essentiellement de démontrer l"implication "H?T», où l"hypothèse considéréeHpeut se mettre sous la forme "a >0etb >0» (en admet- tant implicitement les règles usuelles de l"algèbre), tandis que la thèseTest l"inégalitéI2. Nous al- lons faire appel à cinq propositions intermédiaires,à savoir :
•P1: "(a-b)2?0» •P2: "a2+b2-2ab?0» •P3: "a2+b2+ 2ab?4ab» •P4: "(a+b)2?4ab» •P5: "?a+b2?2??⎷ab?
2» Les règles classiques de l"algèbre permettent aisé- ment d"écrire (les justifications étant laissées aux lecteurs) :H?P1?P2?P3?P4?P5?T(1)
ce qu"il fallait démontrer.Bien entendu, toutes ces implications sont " tri-
viales », mais la question qui se pose réellement est double : comment les " deviner » et pourquoi les mettre dans cet ordre qui paraîta posterioriidéal? Pour répondre à ces interrogations, reprenons ce problèmeà rebours, c"est-à-dire en partant de la thèseT. Nous allons constater que les propositions P iconsidérées apparaissent alors assez naturelle- ment; les justifications algébriques sont simples et ne seront à nouveau pas développées au sein de ce texte. Dans l"inégalité à démontrer apparaît une racine carrée. En pareille circonstance, on cherche souvent à s"en débarrasser par élévation au carré des deux membres de la formule, ce qui est ici permis; on obtient de la sorteP5. On élimine le dénomina- teur intervenant dansP5en y quadruplant les deux membres, d"oùP4. En développant le carré du pre- mier membre de cette dernière, on trouve aisément P3. On en déduitP2en y soustrayant le produit
4abdes deux membres. Une écriture équivalente de
P2livreP1. Cette dernière est évidente et découle
donc deH. Il suffit alors de remettre les proposi- tions dans l"ordre inverse de celui dans lequel elles ont été trouvées : on obtient de la sorte la chaîne d"implications ( 1). Comme l'illustre la petite démonstration qui vient d'être analysée, un raisonnement mathématique peut comprendre deux étapes distinctes dans sonélaboration complète.
1.Une première approche exploratoire est obliga-
toire pour construire les propositions qui intervien- dront dans la preuve : c'est une phase d'analysedu problème. Le travail demandé est alors semblable à celui d"un détective qui doit examiner en profondeur le problème posé et essayer de trouver des pistes, ou d"un médecin qui effectue un diagnostic, ou d"un garagiste qui recherche la cause d"une panne, ... Souvent, il est efficace à ce stade initial de suppo- ser le problème résolu et de raisonner à rebours, en partant de la thèse. À première vue, il ne semble pas très naturel de supposer connue la thèse que l"on souhaite démontrer. Mais, en fait, il s"agit dequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] les moyennes arithmetique geometrique et harmonique
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